4 dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn

1. Các kiến thức cần nhớ 

a. Định nghĩa tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.

Ví dụ:  Trong Hình $1$ , tứ giác \[ABCD\] nội tiếp \[\left[ O \right]\] và \[\left[ O \right]\] ngoại tiếp tứ giác \[ABCD.\]

Định lý

- Trong  một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng \[180^\circ \].

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng \[180^\circ \] thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Ví dụ: Trong hình \[1\] , tứ giác nội tiếp\[ABCD\] có \[\widehat A + \widehat C = 180^\circ ;\widehat B + \widehat D = 180^\circ \].

Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \[180^\circ \].

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó.

- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm [mà có thể xác định được]. Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc \[\alpha \].

Chú ý : Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được đường tròn.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1:  Chứng minh tứ giác nội tiếp

Phương pháp:

Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách sau :

Cách 1. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng \[180^\circ \].

Cách 2. Chúng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc \[\alpha \].

Cách 3. Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó.

Cách 4. Tìm được một điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác.

Dạng 2:  Chứng minh các góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song, hệ thức giữa các cạnh…

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp.

Trong chương trình hình học lớp 9, chúng ta được học về tứ giác nội tiếp. Một vấn đề được đặt ra là Làm sao để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp. Trong nội dung bài viết này, chúng tôi sẽ gửi tới Quý độc giả các thông tin về dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Mời Quý vị tham khảo:

Trước khi đi vào nội dung về các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, chúng tôi làm rõ tới Quý độc giả thông tin về khái niệm, tính chất, định lý của tứ giác nội tiếp.

Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác nội tiếp hay tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn.

Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp và các đỉnh của tứ giác nằm trên đường tròn là đồng viên.

Tính chất của tứ giác nội tiếp là gì?

– Mọi tam giác đều có một đường tròn ngoại tiếp nhưng không phải mọi tứ giác đều nội tiếp đường tròn.

– Tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác nội tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh.

– Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc đối diện là góc vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của đường chéo nối liền 2 đỉnh kia.

– Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc vuông cùng nhìn 1 cạnh thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh mà 2 góc cùng nhìn vào cạnh đó.

Định lý vềb tứ giác nội tiếp

– Định lý thuận: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.

– Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

5 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp như sau:

1/ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180O

2/ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

3/ Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm [mà ta có thể xác định được]. Điểm này chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

4/ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới 1 góc α.

5/ Tứ giác đó là một trong các hình sau: hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.

Một số bài tập về tứ giác nội tiếp

Để giúp Quý độc giả hiểu hơn về dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp chúng tôi hướng dẫn giải một số bài tập về tứ giác nội tiếp, cụ thê như sau:

Bài tập 1: Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a] Tứ giác BCEF nội tiếp.

b] HA.HD = HB.HE = HC.HF

Hướng dẫn giải:

a] Ta có ∠BEC = ∠BFC = 90°.

Suy ra tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn có đường kính BC.

b] Gọi O là trung điểm của BC, vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC. Xét ΔBHF và ΔCHE có:

∠FHB = ∠EHC [đối đỉnh].

∠EBF = ∠ECF [hai góc nội tiếp cùng chắn].

Suy ra ΔBHF ∼ ΔCHE

BH/CH = HF/HE hay HB.HE = HC.HF [1].

Chứng minh tương tự đối với ΔAHE và ΔBHD, ta có: HA.HD = HB.HE [2].

Từ [1] và [2] suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF [điều phải chứng minh].

Bài tập 2: Tứ giác ABCD có góc ABC + góc ADC = 180°. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.

Hướng dẫn giải:

Tứ giác ABCD có ∠ABC + ∠ADC=180°.

⇒ ABCD là tứ giác nội tiếp.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

⇒ OA = OB = OC = OD = R.

Do OA= OC nên ΔOAC cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AC.

Do OB= OD nên ΔOBD cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của BD.

Do OA= OB nên ΔOAB cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AB.

⇒ O thuộc đường trung trực của AC, BD, AB.

Vậy các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua O.

Bài tập 3: Cho ΔABC cân tại A. Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC tại E. Kẻ EN vuông góc AC. Gọi M là trung điểm của BC; AM và EN cắt nhau tại F.

a/ Chứng minh các tứ giác MCNF.

b/ Chứng minh EB là phân giác của góc AEF.

Hướng dẫn giải:

a, Ta có: ∠CMF = ∠CNF = 90°.

Suy ra MCNF là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b, Xét hai tam giác ΔAME và ΔFME có ME là cạnh chung, ∠EMF = ∠EMA = 90°.

Suy ra ΔAME = ΔFME

⇒ AM = MF.

Từ đó có thể suy ra EB là phân giác của góc AEF.