CHUYÊN ĐỀ
:
HỆ THỨC VI ÉT
Các kiến thức cần nhớ
- Định lí Vi ét:
Cho phương trình ax
2
+ bx + c \= 0 [a≠0]. Nếu phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thì:
1 21 2
.
b x x ac x x a
��� + \=-������ \=����
Lưu ý: Khi đó ta cũng có:
1 2
x x a
D- \=�
- Áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm
1 2
1;
c x x a
\= \=
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm
1 2
1;
c x x a
\=- \=-
- Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Hai số x; y có: x + y = S; x.y \= P thì hai số x; y là nghiệm của phương trình:X
2
– SX + P = 0Điều kiện S
2
4P.
Bài tập
DẠNG THỨ NHẤT
:
Lập phương trình khi biết hai nghiệm
:Bài 1:a] x
1
\=2; x
2
\=5b] x
1
\=-5; x
2
\=7c] x
1
\=-4; x
2
\=-9d] x
1
\=0,1; x
2
\=0,2e]
1 2
13;4
x x
\= \=
1 2
35;2
x x
\=- \=-
1 2
1 3;4 2
x x
\= \=-
1 2
1 12 ; 34 3
x x
\=- \=
1 2
11 ; 0,93
x x
\= \=-
1 2
1 2; 1 2
x x
\= - \= +
1 2
13 2;3 2
x x
\= + \=+
1 2
5 2 6; 5 2 6
x x
\= + \= -
1 2
3 2 2; 3 2 2
x x
\= + \= -
1 2
1 1;2 3 2 3
x x
\= \=+ -
1 2
1 1;10 72 10
72
x x
\= \=- +
1 2
4 3 5; 4 3 5
x x
\= - \= +
1 2
3 11; 3 11
x x
\= + \= -
1 2
3 5; 3 5
x x
\= - \= +
1 2
4; 1 2
x x
\= \= -
1 2
1; 2 33
x x
\=- \= +
1 2
1,9; 5,1
x x
\=- \=
Bài 2: Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình:
2
2 7 3 0
x x
- - \=
. Không giải phươngtrình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:a] 3x
1
và 3x
2
- -2x
1
và -2x
2
1
1
x
và
2
1
x
21
1
x
và
22
1
x
21
x x
và
12
x x
11
1
x x
+
và
22
1
x x
+
12
1
x x
+
và
21
1
x x
+
12
1
x x
+
và
21
1
x x
+
12
1
x x
+
và
21
1
x x
+
2
12
x
+
và
1
12
x
+
Bài 3: Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình:
2
5 0
x px
+ - \=
. Không giải phươngtrình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:a] -x
1
và -x
2
- 4x
1
và 4x
2
1
13
x
và
2
13
x
1
1
x
và
2
1
x
21
x x
và
12
x x
11
2
x x
-
và
22
2
x x
-
12
3
x x
- +
và
21
3
x x
- +
12
1
x x
-
và
21
1
x x
-
12
1
x x
-
và
21
1
x x
-
21
x
và
22
x
12
1
x x
+
và
21
1
x x
+
- x
12
x
2
và x
1
x
22
Bài 4: Gọi p; q là hai nghiệm của phương trình
2
3 7 4 0
x x
+ + \=
. Không giải phương trình.Hãy lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:
1
pq
-
và
1
q p
-
Bài 5: Tương tự:a]
2
4 2 0
x x
+ + \=
2
5 3 0
x x
- - \=
2
2 6 7 0
x x
+ - \=
Bài 6: a] Chứng minh rằng nếu a
1
; a
2
là hai nghiệm của phương trình:
2
1 0
x px
+ + \=
, b
1
; b
2
là hainghiệm của phương trình:
2
1 0
x qx
+ + \=
thì:
[ ] [ ] [ ] [ ]
2 21 1 2 2 1 1 2 2
a b a b a b a b q p
- - + + \= -
- Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của pt:
2
1 0
x ax
+ + \=
với mộ nghiệm nào đó của pt
2
1 0
x bx
+ + \=
là nghiệm pt thì:
2 2 2 2
4 1 12
ab a b
- - \=
- Cho pt
2
0
x px q
+ + \=
Chứng minh rằng nếu
2
2 9 0
p q
- \=
thì pt có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
DẠNG THỨ HAI
:
Tìm tổng và tích các nghiệm
:Bài 1: Cho phương trình:
2
5 3 0
x x
- + \=
. Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình khônggiải phương trình hãy tính:a]
2 21 2
x x
+
3 31 2
x x
+
1 2
x x
-
2 21 2
x x
-
3 31 2
x x
-
1 2
1 1
x x
+
2 21 2
1 1
x x
+
1 21 2
3 3
x x x x
- -+
1 2
1 12 2
x x
+- -
1 22 1
5 5
x x x x
+ ++
1 21 2
1 1
x x x x
+ + +
1 21 2
1 12 2
x x x x
- -+
2 21 2 1 2
x x xx
+
1 22 1
x x x x
+
Bài 2: Tương tự:
2
2 5 1 0
x x
- + \=
;
2
3 4 3 0
x x
+ - \=
;
2
3 2 5 0
x x
- + + \=
Bài 3: Cho phương trình:
2
4 1 0
x x
- - + \=
. Không giải phương trình hãy tính:a] Tổng bình phương các nghiệmb] Tổng nghịch đảo các nghiệmc] Tổng lập phương các nghiệmd] Bình phương tổng các nghiệme] Hiệu các nghiệmf] Hiệu bình phương các nghiệmBài 4: Cho pt:
2
4 3 8 0
x x
+ + \=
có hai nghiệm x
1
; x
2
. Không giải pt hãy tính:
2 21 1 2 23 31 2 1 2
6 10 65 5
x xx x A xx x x
+ +\=+
DẠNG THỨ BA
:
Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Bài 1:a]Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180. b]Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.c]Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 33 , tích của chúng bằng 270.