Uploaded by
Truong Ngoc
0% found this document useful [0 votes]
254 views
3 pages
Original Title
PHƯƠNG-TRÌNH-VI-PHÂN-TUYẾN-TÍNH-CẤP-1
Copyright
© © All Rights Reserved
Available Formats
DOCX, PDF, TXT or read online from Scribd
Share this document
Did you find this document useful?
Is this content inappropriate?
0% found this document useful [0 votes]
254 views3 pages
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1
Uploaded by
Truong Ngoc
Jump to Page
You are on page 1of 3
Search inside document
Reward Your Curiosity
Everything you want to read.
Anytime. Anywhere. Any device.
No Commitment. Cancel anytime.
Phương trình [*] có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình [*], ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.
Muốn vậy, ta chọn u[x] sao cho [**]
Ta dễ dàng tìm được hàm u[x] thỏa [**] vì [**] chính là phương trình tách biến. Khi đó:
Chọn C = 1 ta có:
Như vậy ta tìm được hàm u[x] nên từ [*] ta sẽ có:
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình [1] là:
2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange [pp biến thiên hằng số]
Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng với u[x] là nghiệm phương trình [**] – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.
Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được:
Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình [1] lại là: chỉ sai khác so với u[x] ở chỗ thế hằng số C bằng hàm cần tìm v[x].
Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v[x] sẽ giải được bài toán. Vậy:
Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình [1]:
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:
Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất [1] có dạng:
Ta có:
Thế vào phương trình ta có:
Suy ra: . Từ đó tìm được v[x].
Nhận xét:
Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v[x], ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v[x] và chỉ còn lại v’[x]. Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v[x] thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót
3. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: [1]
Ta giải bằng phương pháp biến thiên hằng số. [Các phương pháp khác, các bạn thử tự giải và so sánh kết quả nhé]
Bước 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất liên kết với [1]. Ta có:
Hay:
Bước 2: Nghiệm tổng quát của phương trình [1] có dạng:
Ta có: . Thế vào phương trình [1] ta có:
.
[Rõ ràng ta triệt tiêu được những gì liên quan đến v[x]].
Từ đó:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [1] là:
Ví dụ 2: Giải phương trình: [2]
Trước tiên, ta chuyển về dạng rồi nhận diện dạng phương trình. Ta có: [*]
Rõ ràng, đây không phải là phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, pt đẳng cấp được cũng không phải là phương trình tuyến tính với y là hàm theo x. Ở đây, vế phải là phân số mà tử số chỉ có 1 số hạng. Do đó, ta coi x là hàm theo biến số y, khi đó nghịch đảo phương trình [*] ta sẽ có:
Hay: [2′]
Đây chính là phương trình tuyến tính cấp 1 với x là hàm theo biến y:
Vậy: giải phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với [2′]:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [2′] có dạng:
Ta có: Thế vào pt [2′] ta có:
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình [2′] là:
4. Phương trình Bernoulli:
Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng: [4]
Cách giải:
Nhân 2 vế của pt [4] cho . Ta có:
[4′]
Khi đó, ta đặt: . Ta có:
Thế vào phương trình [4′] ta có:
Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với z là hàm theo biến x. Bài toán được giải quyết!