Bài tập xác suất thống kê có lời giải

Bài tập xác suất thống kê from Trinh Tu

Gọi Aj là biến cố trong 4 lá có j lá cơ. Aj = 0,1,2,3,4 j=0,1,2,3,4, hệ Aj là 1 hệ đầ y đủ ngoài.Tính P[Aj]

P[ A0 ] = C0C4  82251  6327  P[ A1 ] =C1C3118807  9139  13 39= =  ,1339=    =   ,  4 27072520825  4270725 20825   C52         C52    P[ A2 ] = C 2C 2  57798  4446  P[ A3 ] = C3C111154  858   13 39 =  =   , 13   39=    =   , 4  270725 20825 427072520825  C52         C52  P[ A4 ] = C 4C 0 =715 =55 ,P[ A0 ] + P[ A1 ] + P[ A2 ] + P[ A3 ] + P[ A4 ] =1 13 39       4  270725 20825   C52                      

a/ Tìm phân phối XS củ a X= 0, 1, 2. Bây giờ có 4 lá bài trên bàn, rút 2 trong 4 lá. Với X= k= 0,

P[ X = 0] = P[ A ]PéX = 0Aù+P[ A ]PéX = 0Aù+P[ A ]PéX = 0Aù+P[ A ]PéX = 0Aù+     0ê   ú 1 ê    ú 2êú3êú       ë   0û    ë    1û    ë2û  ë3û  é=0 Aù                               P[ A4 ]PêXú                                ë   4û                               é= 0 A ù  C42   é = 0 Aù C31   3 1            PêX ú=    = 1,PêXú=   = =   ,              2 2  62           ë0û  C4   ë  1û C4                é  ù C221  é    ù    é      ù         PêX= 0 A ú=   = ,PêX = 0 Aú = 0,PêX= 0 Aú= 0           26        ë2 û C4  ë   3û    ë     4û         

P[X = 0] = 0.3038 + 0.2194 + 0.0356 + 0 = 0.5588

Vớ i X = k tổng quát,

Do ta xét trong 2 lá rút lầ n II có k lá cơ.

  éù Cik C42––ikAi [4 lá] = [4- i, i lá cơ ]PêX = kA ú= 4  ëi û C4

Suy ra

P[X=1] = 0 + 0.2194 + 0.1423 + 0.0206 + 0 = 0.3824

P[X=2] = 0 + 0.0356 + 0.0206 + 0.0206 + 0.0026 = 0.0588

P[X=3] = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0= 0.0

P[X=4] = 0 + 0 + 0 +0 + 0 + 0= 0.0

Nhận xét: P[X=1]+ P[X=2]+ P[X=3]+ P[X=4]

= 0.5588 + 0.3824 + 0.0588 + 0 + 0= 1

b/ Tính XS trong 2 lá đó chỉ có 1 lá cơ = P[X=1] = 0.3824.

BÀI 3

Gọi Ai là biến cố lầ n I có i lá cơ, i = 0, 1 ,2

  C 0 C 2   741 C1C1  507P[A0]=13 39 =P[A1]=1339=C522  1326C5221326  C 2C0   78       P[A2]= 13 39 =         C522  1326                         

Gọ i B là biế n cố lầ n II rút đượ c lá cơ khi lầ n I rút 2 lá cơ

P[A]=C111=11         A2150           C50          Gọ i A là biến cố rút 3 lá cơ    P[A] = P[ A2 ]P[A] = 78 ·11=11   1326 50850      A2   

b/ B là biến cố rút lầ n II có 1 lá cơ vớ i không gian đầ y đủ Ai,i=0,1,2

P[B] = P[ A0 ]P[B] + P[ A1 ]P[B] + P[ A2 ]P[B]AAA0 1 2                B       C13113           B    C12112   Trong đó P[ A0] =        =          P[ A1] =    =        C50150          C50150   P[B  ] =  C111= 11                                       A2                                                     C50150                                            741    13     50712 78  11    1          P[B]=     ´   +       ´   +   ´   =  = 0.25    132650 1326501326 50   4    c/ Ta tính XS đầ y đủ trong                            A      P[ A0 ]P[B]    741  ´13                                                                                                   P[  ] = A0 = 1326  50 = 0.581                0                                                                             B                  P[B]       0.25                                                                        A     507 ´ 12                     A2   78´11  P[  1]=    = 0.367                        1326  50         P[] =1326  50 = 0.052                B                 0.25                       B0.25                                                    

Kì vọng Mx = [-1] ´0.581 + 2 ´0.367 +5 ´0.052 = 0.413

Vậ y trong trò chơ i tôi có lợi.

Bài 4:

Một hộp đựng 5 chai thuốc trong đó có 1 chai giả. người ta lần lượt kiểm tra từng chai cho tới khi phát hiệ n được chai thuốc giả thì thôi[ giả thiết các chai phải qua kiểm tra mới xác định được là thuốc giả hay thật] . Lập luật phân phối xác suất củ a số chai đượ c kiểm tra.

         

Bài giải:

       X   1   2    3   4   5          PX   0.2   0.16    0.128  0.1024   0.4096

P[X=1] = 15 = 0,2

P[X=2] = P[ A1.A2 ] = 0,8.0,2 = 0,16

P[X=3] = P[ A1.A2 .A3 ] =0,8.0,8.0,2 = 0,128

P[X=4] = P[ A1.A2 .A3 .A4 ] = 0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,1024

P[X=5] = P[ A1.A2 .A3 .A4 .A5 ] =0,8.0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,4096

Câu 5:

Ba người cùng làm bài thi. Xác suất làm đượ c bài của sinh viên A là 0,8; củ a sinh viên B là 0,7; củ a sinh viên C là 0,6. Xác suất để có 2 sinh viên làm được bài.

Bài làm:

Gọ i A, B, C lầ n lượ t là xác suấ t làm đượ c bài của 3 sinh viên A, B, C.

D là xác suấ t có 2 sinh viên làm được bài.

A=0,8; B=0,7; C=0,6.

Ta có:

D = [A Ç B Ç C] È [A Ç B Ç C] È [A Ç B Ç C]

P[D] = P[AÇBÇC] + P[AÇBÇC] + P[AÇBÇC]

Vì A, B, C độ c lập nên:

P[D] = P[A].P[B].P[C] + P[A].P[B].P[C] + P[A].P[B].P[C]

• 0,2.0,7.0,6 + 0,8.0,3.0,6 + 0,8.0,7.0,4

• 0,451.

Vậ y xác suấ t để có 2 sinh viên làm được bài là : 0,451.

Câu 6.

Chia ngẫu nhiên 9 hộp sữ a [trong đó có 3 hộp kém phẩm chất] thành 3 phần bằng nhau. Xác suất để trong mỗi phần đề u có 1 hộ p sữ a kém chất lượng.

Bài Giải

Gọi Ai là hộ p thứ i có đúng mộ t sả n phẩ m xấu:

C = A1∩A2∩A3        [với i = 3]

Vậ y xác suấ t để trong mỗ i phầ n đều có mộ t sả n phẩ m kém chấ t lượng là:

 X ~ B[50,0.02]   =C 2 C1C 2 C1.1 =15.3.6.2 9 P[C]= P[A1].P[A2/A1].P[A3/A1∩A2]63.4 2  = .3 C3 84.2028    C  6        9          

Bài

7:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Một trò chơi có xác suất thắ ng mỗ i ván là 1/50. Nế u mộ tngườ i chơi 50 ván thì xác suất để ngườ i này tháng ít nhất một ván.

Bài giải

 

Xác suấ t thắ ng mỗi ván: p = 150 = 0.02

 

Ta có xác suấ t để ngườ i ấ y chơ i 50 ván mà không thắng ván nào:

 

Goi X là số lầ n thành công trong dãy phép thử Becnuli:

 

• P[ X = 0] = C500 020 0.9850 = 0.364

• Xác suấ t để người chơ i 50 ván thì thắ ng ít nhấ t một ván là:

 

P = 1 – 0.364 = 0.6358

 

 

Câu 8.

Một phân xưởng có 40 nữ công nhân và 20 nam công nhân. Tỷ l ệ t ốt nghiệp phổ thông đối vớ i nữ là 15%, vớ i nam là 20%. Chọ n ngẫu nhiên 1 công nhân củ a phân xưởng. Xác suất để chọn được công nhân tốt nghiệo phổ thông trung học

 

Giải:

 

Số công nhân củ a phân xưở ng tố t nghiệ p trung họ c phổ thông là:

 

Đố i vớ i nữ:             40×15% = 6 người

 

Đố i với nam:          20×20% = 4 người

 

Tổng số công nhân tốt nghiệp phổ thông trung họ c củ a phân xưởng là:

 

6 + 4 = 10 người

 

Xác suấ t để chọ n đượ c công nhân tố t nghiệ p trung họ c phổ thông là:

 

C101  = 10 = 1

C601  60     6

 

Bài 9

 

Trong hộp I có 4 bi trắng và 2 bi đen ,hộp II có 3 bi trắng và 3 bi đen .Các bi có kích cỡ như nhau chuyển 1 bi từ h ộp II sang hộ p I ,sau đó lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp I .Xác suất để l ấy ra bi trắng.

Giải

Gọi

A1: là bi trắ ng lấ y từ hộ p II sang hộp I

A2 : là bi đen lấ y từ hộ p II sang hộp I

• : lấ y viên bi cuối cùng là bi xanh Áp dụ ng cong thứ c xác suấ t đầ y đủ

P[C]= P[A1].P[ C/A1]+P[A2].P[C/A2]

P[A1]= 12

P[A2] = 12

P[C/A1]= 73

P[C/A2]= 75

P[C]= 12.73 + 12.75 =148 = 74

BÀI 10

Gọi Ai la phầ n i có 1 bi đỏ . A là bc mỗ i phầ n có 1 bi đỏ

 A2 A3 C1C3·C1C3·1=0.2857A=A1A2A3==> P[A1A2A3] = P[A1]P[ ]P[ ]=3926A1A1 A2C 4 C4      12  8  

Bài 11:

Một lô hàng do 3 nhà máy I, II, III sả n xuấ t. tỷ lệ sả n phẩm do 3 nhà máy sản xuất lần lượt là 30%, 20%, 50% và tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 1%, 2%, 3%. chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng. Xác suất để sản phẩm này là phế phẩm?

Bài giải:

 

Gọi:  A là biến cố sả n phẩm đượ c chọ n là phế phẩm.

Bi sả n phẩ m đượ c chọ n do nhà máy thứ i sả n xuất [ i = 1, 2, 3]

Vì chỉ lấ y ngẫ u nhiên 1 sả n phẩm nên có { B1, B2, B3} là mộ t hệ đầ y đủ . Theo gải

thiết ta có:P[B1] = 3           10                            P[B2] =2                              10               P[B3] =5               10             Áp dụ ng công thứ c xác suấ t toàn phầ n ta được:     3       3  2  5  P[A] = å P[Bi ].P[ A / Bi ] =.0,01 +.0,02 +.0,03 = 0,022 101010 i=1       

Câu 12:

Có 3 hộp thuốc, hộp I có 5 ống tốt và 2 ống xấu, hộp II có 4 ống tốt và

• ống xấu, hộp III có 3 ống tốt và 2 ống xấu . Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó rút ra 1 ống thuốc thì được ống tốt . Xác suất để ống này thuôc hộp II.

Bài làm:

 

Gọi Ai là biến cố chọ n hộ p thứ i [i = 1,3] . B là biến cố chọ n 1 ống tốt.

Vậ y xác suấ t để B thuộ c hộp II là:

P[A2 ] =P[A2 ÇB]BP  [B]

Trong đó:

+P[A2 ÇB]= P[A2 ].P[ BA2] =1.3= 4.    24    ü  15      ý        

+ Ta có: A , A , A độ c lập

1       2        3              þ

A1 Ç A2 Ç A3 = W , {A1 , A 2 , A3 } là hệ đầ y đủ.

Áp dụ ng công thứ c xác suấ t đầ y đủ ta có:

P[B] = P[A1].P[ BA1] + P[A2 ].P[ BA2 ] + P[A3].P[ BA3]

     1 æ5+4+ 3 ö  74            ç    ÷           =3755= 105 .      è   ø   PA   = P[A2 ÇB]  = 415  =14×  ]  P    74    2          37[ B         105            [B]          

Vậ y xác suấ t để ố ng thuố c đượ c lấ y ra thuộ c hộp II là: 1437 ×

Câu 13.

Trong một lô hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên ra 5 sản phẩm có hoàn lại . Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được.

1. X tuân theo quy luật nào? Viết biểu thức xác suất tổng quát của quy luật.

 

1. Tính kỳ vọng và phương sai cua X.

 

1. Tìm số sản phẩm trung bình được lấy ra và tính khả năng để xảy ra điều đó.

Bài Giải

1. a] X tuân theo luật phân phối nhị thức.

Biểu thức tổng quát

• được gọi là có phân phối nhị thức ký hiệu là X : b[ n,p] Có hàm xác suất:

VớiP [ X = k ] = C nk .p k .qn –k    [ q = 1- p ]k ={}, p Î [0;1]  0,1, 2,…, n

1. Kỳ vọng và phương sai của X Kỳ vọng:

X12345PX0,00620,05080,20500,41060,32686 7863 

E[X]= 1.0,00627+2.0,05088+3.0,20506+4.0,41063+5.0,32686

=4,00003

Phương sai:

X 21491625PX 20,00620,05080,20500,41060,32686 7863 

E[X2 ]= 1.0,00627+4.0,05088+9.0,20506+16.0,41063+25.0,32686 =16,79691

D [ X ] = E [ X 2 ] – [E [ X ]]2 = 16,79691- [4,00003]2 = 0,79667

Bài 14:

Ba công nhân cùng làm ra mộ t loạ i sả n phẩ m, xác suấ t đề người thứ 1, 2, 3 làm ra chính phẩ m tư ng ứng là 0.9, 0.9, 0.8. Có mộ t ngườ i trong đó làm ra 8 sả n phẩm thấ y có 2 phế phẩ m. Tìm XS để trong 8 sả n phẩ m tiếp theo cũng do người đó làm ra sẽ có 6 chính phẩm.

Bài giải

Gọi Ai là các sả n phẩm do công nhân thứ i sả n xuất, i = 1, 2, 3

P[A]= P[A1]Pæ Aö+ P[A2]Pæ Aö+ P[A3]Pæ Aö èA1 øèA2 øèA3 ø    ç÷   ç÷   ç÷ =1C86 [0.9]6[0.1]2  +1C86 [0.9]6 [0.1]2  +1C86[0.8]6 [0.2]2  = 0.2  [*] 333             

Sau khi A xả y ra, xác suấ t củ a nhóm đầ y đủ đã phân bố lạ i như sau, biể u thức [*] cho

ta PæAö= 0.248»0.25, tươ ng tự PæAö= 0.248»0.25,ç÷ç÷è A1 ø è A2 ø tươ ng tự PæAö= 0.501»0.5ç÷è A3 ø 

Gọ i B là biế n cố 8 sả n phẩm tiế p theo cũng do công nhân đó sả n xuấ t và có 2 phế phẩm.

P[B] =æ AAöæ ö+æA Aöæ ö+æ AAöæ öPç÷Pç B AA÷Pç÷Pç B AA÷Pç÷Pç B AA÷ è1øè1ø è2øè2ø è3øè3ø

• 25 ´ C86 [0.9]6 [0.1]2 + 0.25 ´ C86 [0.9]6 [0.1]2  + 0.25 ´ C86 [0.8]6 [0.2]2  = 0.23

Câu 15 :

Luậ t phân phố i củ a biến [X, Y] cho bở i bảng:

   2040 60  Y        X        10 λλ0             20 2λλλ            30 3λλλ             Xác định λ và các phân phối X, Y?    

 

Gi ải:

 

 

 

 

 

 

 

 

  Các phân phối X, Y:         X 102030           PX 2 λ4 λ5 λY204060PY6 λ3 λ2 λ  

Xác định λ:

11 λ = 1 Þ  λ = 1/11

Câu 16.

[X,Y] là cặp BNN có hàm mật độ đ ồng thời:

ì6 – x – y

ï                    ,0 < x < 2,2 < y < 4

f [ x, y]í       8

ïî0

Tính P[1