PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Toán học có vị trí rất quan trọng phù hợp với cuộc sống thực tiễn, đó cũng là công cụ cần thiết cho các môn học khác và để giúp cho học sinh nhận thức thế giới xung quanh, để hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực.
Môn Toán ở trường tiểu học bên cạnh mục tiêu trang bị kiến thức toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho học sinh các năng lực toán học. Trong đó, hoạt động giải toán được xem là hình thức chủ yếu để hình thành phẩm chất và năng lực toán học cho học sinh vì thông qua việc giải toán, học sinh tiểu học thấy được nhiều khái niệm trong toán học như các số, các phép tính, các đại lượng, các yếu tố hình học đều có nguồn gốc trong cuộc sống hiện thực, thấy được mối quan hệ biện chứng giữa các sự kiện, giữa cái đó cho và cái phải tìm.
Kết quả khảo sát trong nhiều năm qua cho thấy, chất lượng dạy học toán ở trường tiểu học chưa đạt kết quả như mong muốn, biểu hiện ở năng lực giải toán của học sinh còn nhiều hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm về kiến thức và kĩ năng trong khi nhiều giáo viên còn thiếu hụt kinh nghiệm trong việc phát hiện các sai lầm, tìm nguyên nhân sai lầm và đưa ra các biện pháp để sửa chữa các sai lầm.
Từ yêu cầu cấp bách và nhận thức như trên, tôi đã chọn đề tài là: "Một số biện pháp phát triển năng lực giải toán cho học sinh lớp 5".
II. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các sai lầm phổ biến của học sinh lớp 5 khi giải toán có lời văn từ đó đề xuất các biện pháp sư phạm để hạn chế và sửa chữa các sai lầm này nhằm phát triển năng lực toán học cho học sinh và góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong trường tiểu học.
III. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là những sai lầm phổ biến của học sinh lớp 5 khi giải toán có lời văn.
Phạm vi: đề tài được thực hiện tại trường Tiểu học Giáp Bát - Quận Hoàng Mai - Hà Nội.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu : Nhiệm vụ nghiên cứu của sáng kiến bao gồm:
4.1. Điều tra các sai lầm phổ biến của học sinh lớp 5 khi giải toán có lời văn.
4.2. Phân tích nguyên nhân các sai lầm của học sinh khi giải toán có lời văn.
4.3. Đề xuất các biện pháp sư phạm với các tình huống điển hình để hạn chế, sửa chữa các sai lầm của học sinh lớp 5 khi giải toán có lời văn.
4.4. Thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp được đề xuất.
V. Phương pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các cơ sở lí luận về tâm lí học, giáo dục học, lí luận dạy học môn toán, điều khiển học, thông tin học để phân tích các nguyên nhân và xây dựng các biện pháp dạy học nhằm hạn chế, sửa chữa các sai lầm của học sinh tiểu học khi giải toán có lời văn.
5.2. Nghiên cứu thực tiễn: Nghiên cứu trên cơ sở thực tiễn giảng dạy hàng ngày. Phát hiện những sai lầm của học sinh, tìm nguyên nhân và đưa ra các giải pháp khắc phục, sửa chữa sai lầm.
PHẦN II. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
1. Lý luận về phương pháp dạy học
Phương pháp là cách thức, con đường để đạt được mục tiêu đề ra. Theo GS. Nguyễn Ngọc Quang “Phương pháp dạy học là cách thức làm việc của thầy và trò trong sự phối hợp thống nhất và dưới sự chỉ đạo của thầy, nhằm làm cho trò tự giác, tích cực, tự lực đạt tới mục đích dạy học” [Nguyễn Ngọc Quang, Lý luận dạy học đại cương, tập 1, 2 Trường cán bộ quản lý Giáo dục Trung ương, Hà Nội, 1986 - 1989].
Như vậy, có thể hiểu phương pháp dạy học toán là cách thức hoạt động của GV và HS, dưới sự chỉ đạo của GV nhằm đạt được các mục tiêu dạy học toán.
Các nhà tâm lý học đã khẳng định rằng “Mọi trẻ em bình thường không có bệnh tật gì đều có khả năng đạt được học vấn toán học phổ thông, cơ bản dẫu cho chương trình toán đã hiện đại hoá'' [21, tr. 49].
Sai lầm trong giải toán cũng là sản phẩm của quá trình nhận thức nhưng là sự nhận thức lệch lạc. Nhận thức này có thể được thay thế bằng một nhận thức khác đúng đắn hơn. Khi nhận thức lệch lạc được thay thế bằng nhận thức đúng đắn có nghĩa là sai lầm đã được phát hiện và sửa chữa.
Như vậy có thể thấy rằng các sai lầm của HS khi giải toán là có thể khắc phục được.
Giáo dục học môn toán liên hệ khăng khít với một số khoa học khác: khoa học duy vật biện chứng, khoa học toán học, giáo dục học, tâm lý học, lôgíc học và điều khiển học. Vì vậy các biện pháp sửa chữa sai lầm cho HS khi giải toán cũng phải dựa trên mối liên hệ hữu cơ của các bộ môn khoa học trên.
Mặc khác, các biện pháp sửa chữa sai lầm của HS phải phản ánh được cấu trúc và quá trình nhận thức của chủ thể; phải chỉ ra được các thao tác trí tuệ, cách thức tổ chức lôgíc của sự nhận thức của HS.
Xung quanh việc chỉ ra các sai lầm của HS khi giải toán cũng tồn tại nhiều quan điểm khác nhau. Có ý kiến cho rằng việc chú ý tới các sai lầm của HS trong giờ học có ảnh hưởng xấu đến việc tiếp thu bài giảng. ý kiến này đề nghị không viết lại lời giải sai lên bảng vì điều này làm củng cố thêm sai lầm trong ý thức HS. Thực ra quan niệm này máy móc, nặng về suy diễn chủ quan, không dựa trên cơ sở khoa học của quá trình nhận thức có ý thức của HS.
Tôi tán đồng quan điểm của R.A.Axanop: “việc tiếp thu trí thức một cách có ý thức được kích thích bởi việc tự HS phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà HS phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và tư duy, lý luận về bản chất của các sai lầm" [25, tr.79].
Đồng ý với quan điểm trên, các nhà nghiên cứu về phương pháp dạy học đã đưa ra một số phương pháp mới mà tình huống mắc sai lầm của HS được coi là cơ hội của sự khám phá, của sự điều chỉnh lại nhận thức của HS. Đặc trưng của phương pháp dạy học này là dựa trên tình huống có vấn đề trong dạy học. Khi HS mắc sai lầm ở lời giải là xuất hiện tình huống có vấn đề, tạo ra mâu thuẫn và mâu thuẫn này chính là động lực thúc đẩy quá trình nhận thức của HS. Từ sai lầm đã làm nảy sinh nhu cầu cho tư duy mà tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng tình huống có vấn đề.
Sai lầm của HS xuất hiện sẽ kích thích hoạt động học tập mà HS sẽ được hướng đích, gợi động cơ để tìm ra sai lầm và đi tới lời giải đúng.
2. Những quan điểm định hướng cho việc sử dụng các biện pháp sư phạm nhằm hạn chế và sửa chữa các sai lầm của HS khi giải toán có lời văn
2.1. Đảm bảo tính kịp thời
Các biện pháp sư phạm chỉ phát huy hiệu quả cao nhất ở những thời điểm thích hợp nhất, nói cách khác, biện pháp chỉ phát huy hiệu quả nếu được áp dụng đúng lúc. Đặc biệt, thời gian mà GV tiếp xúc trực tiếp với HS là có hạn, do vậy, sự không kịp thời sẽ gây lãng phí thời gian và HS càng có nguy cơ lún sâu vào những sai lầm kế tiếp.
Tính kịp thời của các biện pháp đòi hỏi sự nhanh nhạy của GV trước các tình huống điển hình, nhằm tác động đúng hoạt động học của HS.
Để đảm bảo kịp thời, đòi hỏi người GV phải chủ động dự toán trước các sai lầm của HS ở từng thời điểm ứng với từng dạng toán và luôn ở tư thế thường trực nhằm hạn chế và sửa chữa sai lầm của HS khi giải toán. Sai lầm càng được sửa sớm bao nhiêu thì càng tiết kiệm được thời gian và công sức bấy nhiêu.
Tính kịp thời đòi hỏi GV phải tranh thủ giúp đỡ HS không chỉ ở trên lớp mà còn trong mọi hoàn cảnh có thể để tận dụng tối đa cơ hội thực hiện các biện pháp dạy học. Tính kịp thời cũng đòi hỏi GV phải tìm cách hạn chế các nguyên nhân dẫn tới sai lầm của HS kể cả khi các sai lầm chưa xuất hiện.
Tính kịp thời còn đòi hỏi GV phải thường xuyên cảnh báo các sai lầm, củng cố các sai lầm đã sửa chữa cho HS, nhằm không để các sai lầm tái diễn.
2.2. Đảm bảo tính cụ thể, chính xác
Đảm bảo tính cụ thể đòi hỏi sai lầm của HS phải được GV chỉ ra một cách tường tận, giúp HS nhận rõ được sai lầm.
Tính chính xác đòi hỏi GV phải diễn đạt chính xác, từ ngôn ngữ đời thường đến ngôn ngữ toán học. GV phải mẫu mực về phương pháp suy luận, tư duy chính xác, trình bày lời giải các bài toán.
Tính chính xác đòi hỏi GV phải chỉ ra chính xác nguyên nhân sai lầm của HS trong lời giải.
Tính chính xác đòi hỏi GV đánh giá chính xác mức độ sai lầm của HS. Sử dụng chính xác các từ phản ánh sự sai lầm trong từng tình huống cụ thể như: quên, nhớ nhầm, viết nhầm, hiểu nhầm, lầm tưởng,... Với HS tiểu học, rất cần sự động viên, khích lệ. Nếu GV cường điệu hoá sai lầm có thể sẽ vô tình thủ tiêu động lực và niềm tin của HS.
Tính chính xác đòi hỏi GV phải nhận xét, đánh giá bài giải của HS một cách công bằng và biết hướng dẫn HS sửa chữa lời giải sai và tìm ra lời giải đúng.
2.3. Đảm bảo tính giáo dục
Tính giáo dục đòi hỏi GV phải lấy sự phát triển nhân cách của HS làm mục tiêu cho các biện pháp. Đảm bảo tính giáo dục đòi hỏi người GV phải làm cho HS:
- Thấy được tầm quan trọng của một lời giải chính xác.
- Chủ động tránh các sai lầm khi sai lầm chưa xuất hiện.
- Xác định được động cơ học tập môn toán, có ý chí vươn lên trong học toán, giải toán; cẩn thận, kiên trì để đi đến lời giải đúng. Có ý thức rèn luyện những thói quen tốt như biết tự kiểm tra việc làm của mình, biết thừa nhận sai lầm và biết giúp bạn nhận ra sai lầm.
- Có niềm tin rằng mọi sai lầm đều có thể sửa chữa được nếu tìm ra nguyên nhân và có ý chí khắc phục.
Đảm bảo tính giáo dục, đòi hỏi người GV phải:
- Không làm cho HS bị xúc phạm về nhân cách khi mắc sai lầm.
- Biết khen ngợi, khích lệ HS khi đã sửa chữa được sai lầm.
- Dám nhận ra sai lầm của mình trong lời giải, trong đánh giá HS.
- Không nóng vội trong việc thực hiện các biện pháp để mong muốn chấm dứt ngay sai lầm của HS.
Ba quan điểm và cũng là ba phương châm trên hỗ trợ, bổ sung cho nhau làm cho các biện pháp thực hiện đúng mục đích và đạt kết quả. Tính kịp thời làm cho tính giáo dục đạt được nhanh hơn và ngược lại, tính giáo dục giúp cho các biện pháp thực hiện được kịp thời.
II. Cơ sở khoa học:
Toán có lời văn là một trong 5 mạch kiến thức toán cơ bản ở tiểu học và được phân bố từ lớp 1 đến lớp 5. Trong chương trình lớp 5 toán có lời văn có trong 8 dạng toán
* Giải toán về đại lượng tỉ lệ [thuận, nghịch]
* Giải toán về tỉ số phần trăm
* Giải toán có liên quan đến chu vi, diện tích, thể tích các hình
* Giải toán về chuyển động đều.
Các bài toán lớp 5 thường kết hợp với các dạng toán lớp 4 như:
* Tìm số trung bình cộng
* Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó
* Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số
* Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số
Các bài toán có lời văn trong chương trình lớp 5 chủ yếu là các bài toán hợp. Một lời giải đầy đủ cho bài toán có lời văn phải đảm bảo các yêu cầu sau:
- Xác lập được mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm trong điều kiện cụ thể của bài toán.
- Đặt được các câu trả lời cùng các phép tính đúng cho mỗi câu trả lời.
- Tìm được đáp số của bài toán.
Theo Pôlya [27, tr. 18 - 19] thì quá trình giải một bài toán gồm 4 bước:
Trước hết, phải hiểu bài toán [thấy rõ phải tìm gì ?]
Thứ hai, phải nắm được mối quan hệ giữa các yếu tố khác nhau của bài toán, giữa cái chưa biết với những cái đã biết để tìm thấy cái ý của cách giải, để vạch ra được chương trình [dự kiến].
Thứ ba, là thực hiện chương trình đó.
Thứ tư, là nhìn lại cách giải một lần nữa, nghiên cứu và phân tích nó.
III. Cơ sở thực tiễn:
Ngay từ đầu năm học, khi mới nhận lớp, trong quá trình ôn tập lại kiến thức lớp 4 cho học sinh, tụi nhận thấy: HS còn phạm nhiều sai lầm khi giải toán và mọi đối tượng HS đều có thể mắc sai lầm khi giải toán.
Nguyên nhân của các sai lầm thường là:
- Không hiểu khái niệm, kí hiệu
- Không nắm vững quy tắc, công thức, tính chất toán học
- Không lôgíc trong suy luận
- Không nắm vững phương pháp giải các bài toán điển hình
- Không thấy được mối quan hệ giữa các yếu tố toán học
- Tính toán nhầm lẫn
- Diễn đạt, trình bày kém.
* Điều tra từ học sinh
Đầu năm, tôi phát phiếu điều tra cho 54 học sinh trong lớp với thời gian làm bài 20 phút.
Câu 1. Trung bình cộng của hai số là số lớn nhất cú hai chữ số. Tìm hai số đó biết số lớn hơn số bé 32 đơn vị.
Câu 2. Một hình chữ nhật có chu vi là 350m, chiều rộng bằng chiều dài. Tìm chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó [Toán 4, tr. 148].
Kết quả như sau :
Lớp Số HS | Lớp 5 | |||
Câu 1 | Câu 2 | |||
SL | % | SL | % | |
Không làm được bài | 4 | 6,6 | 7 | 11,6 |
Làm đúng | 26 | 43,4 | 26 | 43,4 |
Có sai sót, nhầm lẫn | 30 | 50 | 27 | 45 |
Cộng | 60 | 100 | 60 | 100 |
Các sai lầm được bộc lộ như sau:
Câu 1 :
- S1: Coi số tự nhiên lớn nhất có 2 chữ số là 90 [nhầm với số tròn chục lớn nhất có 2 chữ số].
- S2: Coi trung bình cộng của hai số chớnh là tổng của hai số.
- S3: nhầm lẫn tìm số bé bằng cách lấy số lớn cộng với hiệu số hoặc ngược lại tìm số lớn bằng cách lấy số bộ trừ đi hiệu số.
Câu 2:
- S1: học sinh đã tính nhầm “tổng” do không phân tích kỹ đề bài và do biểu tượng “chu vi”, “nửa chu vi” còn mờ nhạt do vậy đã nhầm lẫn nửa chu vi [tổng ] thành chu vi [2 lần tổng].
- S2: Nhầm tổng thành hiệu nên sai dạng bài.
- S3: Nhầm lẫn trong tính toán [lời giải đúng nhưng tính toán sai].
* Những kết luận cần thiết:
- HS còn mắc nhiều sai lầm khi giải toán có lời văn, kể cả HS khá, giỏi.
- Việc lĩnh hội tri thức toán học của HS đưa vào chương trình tiểu học còn gặp nhiều khó khăn, đôi khi lại xuất phát từ phương pháp dạy học của GV.
- Sự cần thiết phải có một nghiên cứu khoa học về các sai lầm của HS khi giải toán có lời văn trên các phương diện: thể hiện, nguyên nhân, ngăn ngừa, khắc phục để nâng cao hiệu quả dạy học toán.
1. Một số sai lầm phổ biến của học sinh lớp 5 khi giải toán có lời văn
Trong sáng kiến này, tôi không đặt nhiệm vụ thống kê mọi sai lầm của HS tiểu học khi giải toán có lời văn, mà chỉ nêu lên những sai lầm phổ biến của HS, kể cả HS khá giỏi. Đó là các sai lầm chủ yếu có nguyên nhân từ kiến thức của HS. Đây là những sai lầm mà qua nghiên cứu, tôi nhận thấy có tần số cao trong các lời giải toán của HS. Những sai lầm này có khi khá tinh vi, mà nhiều khi khó phát hiện kịp thời. Việc hệ thống các sai lầm của HS khi giải toán cũng là một công việc không dễ dàng. Để thuận lợi cho việc theo dõi, tôi xin trình bày các ví dụ phân theo 7 dạng toán có lời văn thường gặp ở chương trình toán lớp 5. Trong mỗi dạng toán, tôi có đưa ra các nhận định khái quát về các sai lầm phổ biến mà HS thường mắc phải đối với dạng toán đó kèm theo các ví dụ minh hoạ.
1.1. Sai lầm khi giải toán liên quan đến tỉ số
Các bài toán trong chương trình lớp 5 có liên quan đến tỉ số là các bài toán có dạng:
Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số
Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số
Toán về đại lượng tỉ lệ thuận
Toán về đại lượng tỉ lệ nghịch.
Các sai lầm phổ biến của HS khi giải các dạng toán trên là:
*Nhầm lẫn giữa tìm phân số của một số với tìm một số khi biết giá trị của phân số.
* Tính sai tổng [hoặc hiệu, tỉ]
* Lầm lẫn giữa đại lượng tỉ lệ thuận với đại lượng tỉ lệ nghịch
* Thực hiện các phép toán không cùng đơn vị đo.
Sau đây là một số ví dụ tiêu biểu:
Ví dụ . Một vườn hoa hình chữ nhật có chu vi là 120m, chiều rộng bằng chiều dài.
- Tìm chiều dài, chiều rộng của vườn hoa đó.
- Người ta sử dụng diện tích vườn hoa để làm lối đi. Hỏi diện tích
lối đi là bao nhiêu? [ SGK Toán 5- tr 18]
Tổng số phần bằng nhau là:
5 + 7 = 12 [phần]
Chiều dài hình chữa nhật là:
120 : 12 ´ 7 = 70 [m]
Chiều rộng hình chữ nhật là:
120 – 70 = 50 [m]
Diện tích vườn hoa là:
70 x 50 = 3500 [m]
Diện tích lối đi là:
3500 : 25 = 14 [m]
Đáp số: a. Chiều dài: 70m , chiều rộng: 50m.
b.14m
Ở trường hợp này học sinh đã tính nhầm “tổng” do không phân tích kỹ đề bài và do biểu tượng “chu vi”, “nửa chu vi” còn mờ nhạt do vậy đã nhầm lẫn nửa chu vi [tổng ] thành chu vi [2 lần tổng]. Có những học sinh còn nhầm lẫn đơn vị đo diện tích hoặc chia quên hạ chữ số 0.
1.2. Sai lầm khi giải toán về tỉ số phần trăm
Khi giải các bài toán về tỉ số phần trăm, HS thường bộc lộ các hạn chế sau:
* Lúng túng khi chọn đại lượng làm đơn vị quy ước [100%]
* Biểu thị sai các đại lượng còn lại sau khi đã chọn đại lượng làm đơn vị quy ước.
* Thực hiện các phép toán không cùng đơn vị đo.
Sau đây là một số thí dụ:
Ví dụ. Một người bỏ ra 42 000 đồng tiền vốn mua trái cây. Sau khi bán hết số trái cây người đó thu được 52 500 đồng. Hỏi người đó lãi bao nhiêu phần trăm ?
Số phần trăm tiền lãi thu được là:
42 000 : 52 500 = 0,8 = 80%.
Khi mới học về tỉ số phần trăm, học sinh thường mắc sai lầm khi tìm tỉ số phần trăm của 2 số bằng cách lấy số bé chia cho số lớn mà ít quan tâm đến tỉ lệ của các đại lượng [A so với B hay B so với A?]. Cách giải trên đã nhầm lẫn với tìm tỉ số phần trăm của tiền vốn so với tiền thu về.
1.3. Sai lầm khi giải toán có nội dung hình học
Khi giải các bài toán có nội dung hình học, HS thường mắc phải các sai lầm:
* Sai lầm khi áp dụng công thức tính chu vi, diện tích, thể tích các hình.
* Sai lầm khi vận dụng công thức một cách máy móc vào các tình huống biến đổi của thực tế đời sống.
* Không đưa số đo về cùng một đơn vị khi tính toán.
Ví dụ. Một hình thang có diện tích là 22,5m2, đáy lớn 2,5m và đáy nhỏ 2m. Tính chiều cao hình thang.
Chiều cao hình thang đó là:
22,5 : [2,5 + 2] = 5 [m]
Đáp số: 5m.
Học sinh thường quen thuộc với dạng toán tìm diện tích hình thang khi biết trước số đo đáy lớn, đáy nhỏ, chiều cao. Khi đó chỉ việc áp dụng công thức đã biết là tính được diện tích. ở trường hợp này, đòi hỏi phải có năng lực biến đổi công thức S = thành h = S ´ 2 : [a + b] và với học sinh yếu về năng lực biến đổi công thức thì dễ mắc sai lầm như đã trình bày.
1.4. Sai lầm khi giải toán có nội dung giải tích tổ hợp
Sai lầm thường gặp của HS khi giải các bài toán có nội dung giải tích tổ hợp là lầm lẫn giữa chỉnh hợp với tổ hợp, giữa chỉnh hợp lặp với chỉnh hợp không lặp.
Ví dụ . Giải bóng chuyền nữ các câu lạc bộ châu á năm 2005 gồm 7 đội thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận ?
Mỗi một đội sẽ phải thi đấu 6 trận với 6 đội còn lại, vậy tổng số trận đấu là: 6 ´ 7 = 42 [trận].
Thực tế trận đội A gặp đội B cũng chính là trận đội B gặp đội A, do vậy số trận đấu sẽ là:
6 ´ 7 : 2 = 21 [trận].
1.5. Sai lầm khi giải một số bài toán vui và toán cổ
Đặc điểm của các bài toán vui và toán cổ là luôn chứa đựng những yếu tố thú vị và bất ngờ, đó là những yếu tố hoặc tình tiết dễ làm người giải bị "đánh lừa". Học sinh tiểu học thường thiếu kinh nghiệm và vốn sống thực tế nên khả năng bị "sa bẫy" khi gặp các bài toán này là rất cao. Dưới đây là thí dụ.
Ví dụ . Một con ốc sên bò lên ngọn một cây cau cao 5m. Ban ngày sên leo được 3m nhưng đêm lại tụt xuống 2m. Hỏi muốn lên đến ngọn cây thì sên phải mất mấy ngày ?
Sau một ngày đêm sên leo được: 3 – 2 = 1 [m].
Để lên được ngọn cây, sên cần số ngày là: 5 : 1 = 5 [ngày].
Lập luận trên chỉ đúng với 2 ngày đầu. Với 3m còn lại sên chỉ cần 1 ngày là lên được ngọn cây. Lời giải đúng là sau 3 ngày sên lên tới ngọn cây.
2. Phân tích các nguyên nhân dẫn tới sai lầm của học sinh lớp 5 khi giải toán có lời văn.
2.1. Nguyên nhân 1: Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của khái niệm toán học
HS tiểu học là nhận thức cảm tính còn chiếm ưu thế nên phần lớn các khái niệm toán học được đưa vào chương trình tiểu học không phải bằng con đường định nghĩa toán học mà chủ yếu hình thành biểu tượng toán học thông qua trực quan hoặc từ các ví dụ cụ thể, sinh động [con đường quy nạp không hoàn toàn]. Điều này có ưu điểm là phù hợp với đặc điểm nhận thức của HS tiểu học song cũng tồn tại mặt hạn chế là thiếu tính chặt chẽ, chính xác. Điều đó cũng đồng nghĩa với việc xuất hiện nguy cơ HS hiểu một cách lệch lạc, phiến diện và sai lầm các khái niệm toán học từ đó dẫn tới suy luận sai và kết quả sai khi giải toán có lời văn.
Biểu tượng hình học của HS tiểu học còn khá mờ nhạt, do vậy gặp khó khăn khi xác định các yếu tố đáy, đường cao của hình tam giác, hình thang khi các hình này có sự thay đổi về hình dạng và góc độ quan sát.
2.2. Nguyên nhân 2: Không nắm vững các quy tắc, công thức, tính chất toán học
Do đặc điểm nhận thức của HS tiểu học là nhận thức cảm tính còn chiếm ưu thế trong khi các quy tắc, công thức, tính chất toán học lại mang tính khái quát và trừu tượng cao nên việc HS gặp khó khăn khi vận dụng vào giải toán là điều khó tránh khỏi, nhất là với HS có lực học trung bình yếu. Biểu hiện là dễ bị lẫn lộn công thức tìm số lớn với công thức tìm số bé [toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó]; lẫn giữa toán tổng – hiệu với toán tổng – tỉ; không nắm vững dẫn tới nhầm lẫn khi vận dụng công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật. Sự hạn chế còn biểu hiện yếu năng lực khi vận dụng các công thức toán học [tìm được diện tích tam giác khi biết đáy, đường cao tương ứng nhưng lại không tính được đáy khi biết diện tích và đường cao tương ứng đáy].
2.3. Nguyên nhân 3: Thiếu các kiến thức cần thiết về lôgíc
Khi giải toán có lời văn, đòi hỏi HS phải suy luận. Quá trình suy luận rất cần đến những kiến thức về lôgíc, đặc biệt là các quy tắc suy luận lôgíc. Chương trình toán tiểu học hiện nay chưa trang bị lí thuyết về các quy tắc suy luận mà HS được cung cấp kiến thức chủ yếu thông qua thực hành những bài toán cụ thể từ đó tích luỹ dần kinh nghiệm và hình thành kĩ năng để vận dụng giải quyết các bài toán tương tự.
Do không được trang bị lý thuyết về lôgíc nên khả năng mắc sai lầm trong suy luận là rất cao. Rút ra kết luận vội vàng mang tính tổng quát mà chỉ dựa trên một số hiện tượng đơn lẻ; từ mệnh đề đúng nếu p thì q vội rút ra kết luận: có q suy ra có p. Cũng do không được trang bị lí thuyết lôgíc nên HS gặp nhiều khó khăn khi giải quyết những bài toán cần đến sự lập luận. Sự thiếu hụt kiến thức lôgíc còn là nguyên nhân của những sai lầm khi HS diễn đạt, trình bày lời giải.
2.4. Nguyên nhân 4: Không nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản
Phương pháp giải các bài toán cơ bản giữ vị trí quan trọng trong giải toán có lời văn vì phần lớn các bài toán trong SGK tiểu học đều được xây dựng từ các bài toán cơ bản [toán điển hình]. Không nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản thì khó có thể giải quyết trọn vẹn các bài tập trong SGK và không thể giải quyết các bài toán có nội dung nâng cao khi mà các tình huống đã có sự biến đổi.
Thực tế là không ít HS đã không nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản [mặc dù nắm vững quy tắc, công thức toán học]. Biểu hiện là không nhớ hoặc lẫn lộn các dạng toán; khi học dạng toán mới thì lại quên dạng toán cũ do vậy có hiện tượng không giải nổi cả những bài mà trước đây đã từng giải đúng. Do không nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản nên HS thường mắc sai lầm ngay từ những bước giải đầu tiên.
2.5. Nguyên nhân 5: Yếu kĩ năng chuyển một bài toán về dạng toán cơ bản
Trong chương trình nâng cao, các bài toán được xây dựng từ các bài toán cơ bản nhưng có sự thay đổi điều kiện để tăng độ khó như tăng yếu tố, đại lượng [chẳng hạn, từ trung bình cộng của 2 đại lượng nâng lên trung bình cộng của nhiều đại lượng]; “ẩn” đi một hay một số dữ kiện đề bài như ẩn tổng bằng cách cho trung bình cộng, ẩn hiệu bằng cách cho dãy số lẻ [hoặc chẵn] trong toán tổng – hiệu; hoặc cho một đại lượng không đổi nhưng đòi hỏi phải suy luận mới tìm ra [chẳng hạn, hiệu số tuổi của các thành viên trong nhiều bài toán tìm tuổi]. Trong toán chuyển động là sự tham gia của nhiều động tử và xuất phát, kết thúc chuyển động ở những thời điểm khác nhau. Các động tử cũng biến đổi từ cụ thể như chuyển động của người, xe máy, ô tô...đến trừu tượng như chuyển động của các bánh xe trong dây chuyền hay các vòi nước cùng chảy vào một bể ...
III. Một số biện pháp sư phạm nhằm hạn chế và sửa chữa sai lầm của HS lớp 5 khi giải toán có lời văn
1. Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ, chính xác các kiến thức về bộ môn toán.
Biện pháp này nhằm giải quyết các tình huống cụ thể sau đây:
* Dạy các khái niệm toán học để HS tránh được sai lầm khi giải toán .
Chương trình toán tiểu học được xây dựng theo cấu trúc đồng tâm, lấy số học làm hạt nhân, do vậy các khái niệm toán học cũng có sự mở rộng theo các lớp. Trong quá trình giảng dạy, cần đặc biệt lưu ý khắc sâu mối quan hệ giữa các kiến thức có liên quan. Không ít mối quan hệ giữa các kiến thức không được trình bày trong SGK mà phải do GV cung cấp.
Kiến thức về trung bình cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống. Một dấu hiệu nào đó biểu thị mối quan hệ về số lượng của sự vật có thể được biểu thị bằng nhiều giá trị khác nhau, thì số trung bình cộng được xem như là giá trị “đại diện” cho dấu hiệu đó. Ở lớp 5 chỉ có một bài lý thuyết về số trung bình cộng. Lý thuyết đó giúp HS có thể tìm được trung bình cộng của hai hay nhiều số cho trước nhưng chưa đảm bảo chắc chắn để tránh được các sai lầm. Để hạn chế mắc sai lầm cho HS, khi dạy dạng toán trung bình cộng, GV cần bổ sung thêm:
- Mối quan hệ giữa số trung bình cộng với tổng của các số. Mối quan hệ này được thể hiện: khi biết tổng của các số thì tính được trung bình cộng. Ngược lại khi biết trung bình cộng thì tính được tổng của các số.
- Cách tính vận tốc trung bình cộng một số dạng toán chuyển động thường gặp.
Một dạng toán khác mà nhiều HS gặp khó khăn và dễ mắc sai lầm là toán về tỉ số phần trăm. So với chương trình cải cách, chương trình Toán 5 hiện hành đã tăng thời lượng dạy giải toán tỉ số phần trăm nhằm trang bị cho HS những kỹ năng khi giải loại toán này. Song, trong thực tế, HS vẫn còn gặp nhiều khó khăn mà theo chúng tôi, nguyên nhân là do chưa nắm vững khái niệm tỉ số phần trăm, ký hiệu phần trăm [%] và mối quan hệ giữa tỉ số phần trăm với tỉ số. HS càng lúng túng và dễ mắc sai lầm khi giải các bài toán tỉ số phần trăm có liên quan đến việc kinh doanh, mua bán do không nắm chắc khái niệm vốn, lãi, giá mua, giá bán và mối quan hệ giữa chúng.
Để giúp HS vượt qua những khó khăn trên, khi dạy giải toán về tỉ số phần trăm, GV cần dành thời gian ôn lại tỉ số [Toán 4, chương 5], nhấn mạnh mối quan hệ tỉ số với tỉ số phần trăm; tỉ số phần trăm với phân số [tỉ số phần trăm là một dạng của tỉ số [hay phân số] khi số chia [hay mẫu số] bằng 100]. Với các bài toán về tỉ số phần trăm có liên quan đến kinh doanh cần cung cấp cho HS các khái niệm:
- Vốn: tương ứng với giá mua hay chi phí ban đầu.
- Lãi [hay lời]: bằng giá bán trừ giá mua.
- Giá bán: Bao gồm cả vốn và lãi.
Khi giải loại toán này, điểm mấu chốt là biết chọn đại lượng quy ước nào đó làm đơn vị [100%] và biểu diễn các đại lượng còn lại thông qua đại lượng đơn vị
Vấn đề cuối cùng chúng tôi trình bày về những sai lầm của HS có liên quan đến việc hiểu không đầy đủ khái niệm toán học là sự mờ nhạt về biểu tượng hình học khi giải các bài toán lời văn có liên quan đến hình học [ví dụ 4,6 mục 2.2.5 chương 1]. Giải pháp khắc phục sai lầm là cần tăng cường cho HS thực hành và thao tác trên mô hình hoặc mẫu vật, đây là biện pháp tốt nhất để hình thành biểu tượng hình học vững chắc cho HS.
* Dạy các quy tắc, công thức, tính chất toán học
Ở bậc Tiểu học, các quy tắc, công thức nhìn chung được xây dựng theo con đường quy nạp không hoàn toàn, chỉ yêu cầu HS nhớ và biết vận dụng, không yêu cầu chứng minh quy tắc, công thức. Trong cách trình bày của SGK, các công thức được đóng khung, còn các quy tắc được in đậm. Dưới đây, tôi xin trình bày những điểm cần lưu ý để giúp HS hiểu, nắm vững các quy tắc, công thức toán học, tránh được các sai lầm khi giải toán.
- Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó là dạng toán điển hình được giới thiệu ngay đầu lớp 4. Việc xây dựng công thức tìm 2 số khá dễ dàng nhờ sử dụng thành công phương pháp trực quan. Cách trình bày bài giải 2 bài toán mẫu của SGK đảm bảo tính khoa học, tính chặt chẽ và nhấn mạnh đến mối quan hệ tổng hiệu của 2 số. Điều này thể hiện qua cách giới thiệu tìm số thứ hai [sau khi đã tìm được số thứ nhất], đó là:
Số bé = [tổng – hiệu] : 2 |
Hoặc:
Số lớn = [tổng + hiệu] : 2 |
Khi vận dụng công thức trên vào giải toán, HS thường bộc lộ sai lầm sau:
Sử dụng đồng thời cả 2 công thức trong một bài toán cụ thể do vậy phải tính toán phức tạp và dễ nhầm lẫn. Mặt khác HS nhầm lẫn cách tìm số thứ hai [sau khi đã tìm được số thứ nhất] [ví dụ 1, mục 2.2.1 chương 1].
Để hạn chế sự nhầm lẫn cho HS, GV nên khuyến khích HS lựa chọn một trong 2 cách giải sau:
Số bé = [tổng – hiệu] : 2 |
Hoặc:
Số lớn = [tổng + hiệu] : 2 |
Đối với những học yếu, chỉ yêu cầu nắm chắc một cách giải.
Có nhiều công thức toán học có thể được phát biểu dưới các hình thức ngôn từ khác nhau, mà mỗi cách phát biểu lại gợi ra một sự lựa chọn tối ưu trong những tình huống cụ thể. Thí dụ:
Công thức tính diện tích hình tam giác: [a là độ dài đáy, h là chiều cao].
Nếu nắm vững các cách phát biểu trên, khi gặp bài toán: Tính diện tích hình tam giác biết đáy bằng 257,5cm; chiều cao tương ứng bằng 200cm, HS sẽ áp dụng quy tắc thứ ba [nửa đường cao nhân đáy] để thuận tiện trong tính toán.
Đối với HS khá giỏi, cần khuyến khích HS viết công thức theo 2 chiều thuận, nghịch: Þ có như vậy mới không lúng túng khi gặp các bài toán “ngược” [cho trước diện tích và một trong 2 yếu tố [đáy hoặc đường cao], tìm yếu tố còn lại].
* Cung cấp các kiến thức về lôgíc
Chương trình toán tiểu học hiện nay chưa có nội dung về lý thuyết lôgíc. Song trong quá trình học toán và thực hành giải toán, HS vẫn phải vận dụng các kiến thức và các quy tắc suy luận lôgíc cơ bản. Việc thiếu hụt các kiến thức về lôgíc là một trong những nguyên nhân dẫn tới sai lầm của HS.
Để bổ sung cho sự thiếu hụt, GV cần chọn lọc và trang bị cho HS những kiến thức lôgíc cần thiết, vấn đề là phải lựa chọn phương pháp phù hợp với HS tiểu học. Chúng tôi tán đồng với phương án sau:
a] Diễn đạt các mệnh đề, các quy tắc suy luận bằng ngôn ngữ thông thường [không dùng ký hiệu, công thức toán học].
b] Các mệnh đề, các quy tắc được thừa nhận, thông qua các ví dụ cụ .thể, không chứng minh tổng quát.
c] Các kiến thức lôgíc cần trang bị cho HS lớp 5 là: phép hội, phép tuyển, phép kéo theo, phủ định một mệnh đề hội, phủ định một mệnh đề tuyển.
* Ôn luyện, củng cố cho HS phương pháp giải các bài toán điển hình
Các bài toán cơ bản [toán điển hình] đều được trình bày khá mẫu mực trong SGK. ở lớp 5, HS cần nắm vững phương pháp giải các dạng toán sau:
- Tìm số trung bình cộng
- Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó
- Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số
- Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số
- Giải toán về tỉ số phần trăm
- Giải toán về đại lượng tỉ lệ [thuận, nghịch]
- Giải toán có liên quan đến chu vi, diện tích, thể tích các hình
- Giải toán về chuyển động đều
Từ lời giải một bài toán cụ thể, GV cần gợi ý cho HS phương pháp giải cho một lớp bài toán [thí dụ từ bài toán điển hình tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó, mở rộng ra với những bài toán tìm tuổi]. Biện pháp này giúp HS hiểu bản chất lời giải và phát triển năng lực tư duy khái quát, tránh tình trạng “làm bài nào, biết bài ấy”. Bên cạnh đó, GV cũng thường xuyên củng cố mối quan hệ giữa các dạng toán điển hình như toán tổng - tỉ với hiệu - tỉ; giữa toán tỉ lệ [thuận, nghịch] với toán chuyển động... Làm như vậy sẽ giúp HS dễ hệ thống kiến thức, hạn chế tình trạng bị nhầm lẫn do bị rối bởi các dạng toán khác nhau.
Việc tổng kết và hệ thống lại các phương pháp giải toán không được trình bày trong SGK mà do GV biên soạn và giúp đỡ HS trong quá trình dạy học toán. Công việc trên nếu được tiến hành có kết quả sẽ giúp HS hạn chế được các sai lầm khi giải toán.
2. Biện pháp 2: Trang bị cho HS phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán có lời văn
Tại mục 4.1, tôi đã đề cập một số dạng toán điển hình với những cách giải mẫu mực đã được trình bày trong SGK. Song thực tế các bài toán nói chung và toán có lời văn nói riêng phát triển rất đa dạng, mà muốn giải được đòi hỏi phải có suy luận và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo chứ không đơn thuần chỉ áp dụng công thức một cách máy móc.
Dưới đây là quy trình giải một bài toán có lời văn mà theo tôi là có mục đích nhằm hạn chế các sai lầm của HS.
* Bước 1: Đọc và tóm tắt bài toán, bước này giải quyết 2 nhiệm vụ:
- Xác định các yếu tố, dữ kiện bài toán đã cho [trả lời cho câu hỏi “Bài toán cho biết gì ?].
- Xác định yêu cầu của bài toán [trả lời cho câu hỏi “Bài toán hỏi gì ? Yêu cầu gì ?].
* Bước 2: Tìm tòi lời giải. Gồm các hành động tư duy sau:
- Xuất hiện liên tưởng: Từ các dữ kiện và yêu cầu của bài toán, liên hệ tới các kiến thức có liên quan, các dạng toán điển hình đã được học.
- Hình thành giả thuyết: Vận dụng tất cả kiến thức đã có của cá nhân, qua các thao tác tư duy để làm xuất hiện các mối quan hệ toán học giữa các yếu tố trong bài toán, từ đó tìm ra hướng giải. Quá trình này thường được diễn ra bằng hai hình thức thể hiện: hoặc đi từ câu hỏi của bài toán với các số liệu, dữ kiện đã cho hoặc đi từ số liệu, dữ kiện đã cho đến câu hỏi của bài toán.
- Sàng lọc và kiểm tra giả thuyết: Bao gồm tìm các giả thuyết khác, lựa chọn giả thuyết [cách giải] tối ưu; đối chiếu kết quả [hay ý tưởng] với dữ kiện bài toán để xác lập tính đúng đắn của giả thuyết. Nếu giả thuyết đúng thì chuyển qua bước 3 [trình bày lời giải], nếu giả thuyết sai lại tiến hành tìm giả thuyết khác.
* Bước 3: Trình bày lời giải. Bao gồm:
- Vẽ sơ đồ, hình vẽ minh hoạ bài toán [nếu cần].
- Đặt các câu trả lời và phép tính tương ứng với mỗi câu trả lời [ở một số bài toán có thể kèm theo các phân tích, lập luận trước khi đưa ra phép tính].
- Ghi đáp số.
* Bước 4: Kiểm tra lại lời giải.
Soát lại lời giải vừa trình bày, sửa chữa, bổ sung [nếu có]. Với HS khá, giỏi cần khuyến khích các em phát triển thành bài toán mới. HS trả lời 2 câu hỏi:
- Có thể xếp bài toán vừa giải vào dạng toán nào đã học ?
- Có thể thay đổi dữ kiện bài toán đã cho như thế nào để được bài toán mới ?
Tôi không đồng nhất những cái bài toán đã cho với những cái đã biết [của HS]. Những cái bài toán đã cho là những dữ kiện được nêu trong bài toán, còn những cái đã biết là tất cả những kiến thức, kỹ năng HS đã có được tính đến thời điểm giải bài toán. Tương tự như vậy, khái niệm những cái phải tìm cũng rộng hơn khái niệm những cái bài toán yêu cầu.
Tôi cũng cho rằng, thao tác thử lại tuy không bắt buộc trình bày trong lời giải, song trong quá trình giải toán, ý thức kiểm tra lại lời giải phải xuất hiện ngay từ khi HS trình bày từng bước giải. Có như vậy mới mong hạn chế sai lầm và phát hiện kịp thời sai lầm [nếu xảy ra].
Ví dụ: Trên một sân tập hình vuông, cạnh 20m, người ta để lại 4 chỗ ở 4 góc để trồng cây, mỗi chỗ là một hình vuông có cạnh 2m. Phần còn lại được lát gạch đỏ, loại gạch có kính thước 25cm ´ 25cm. Hỏi phải cần bao nhiêu viên gạch để lát sân ?
* Bước 1: Tóm tắt bài toán:
- Cạnh hình vuông lớn: 20m.
- Cạnh hình vuông nhỏ: 2m.
- Kích thước gạch lát: 25cm ´ 25cm.
- Số gạch lát sân [phần tô đậm]: ? viên.
* Bước 2: Tìm tòi lời giải
- Xuất hiện quá trình phân tích và suy luận theo hướng sau:
+ Muốn tìm số gạch lát sân, cần phải biết được diện tích phần lát gạch [phần tô đậm]. Khi tính được diện tích lát gạch [phần tô đậm] sẽ chia diện tích phần lát gạch cho diện tích một viên gạch [cùng đơn vị đo]. Như vậy mấu chốt của bài toán được quy về tìm diện tích phần lát gạch.
+ Diện tích phần lất gạch chưa biết, nhưng có thể tính được bằng các cách sau: [hình thành giả thuyết].
Cách 1: S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5
Cách 2: S = S1 + S2 + S3
Cách 3: S = Ssân tập - S4 góc
- Sàng lọc và kiểm tra giả thuyết:
+ Cách 1: Có thể tính được S1, S2, S3, S4, S5 nhưng số đo kích thước các hình S1, S2, S3, S4, S5 đều chưa có sẵn trong đề bài.
+ Cách 2: Có thể thực hiện được, nhưng giống như cách 1, chưa có sẵn chiều rộng của hình chữ nhật S1 và kích thước các hình S2, S3.
+ Cách 3: Tính được khá dễ dàng vì đề bài đã cho sẵn kích thước sân tập [hình vuông lớn] và kích thước các hình vuông nhỏ [chỗ trồng cây].
Vậy cách 3 [giả thuyết 3] là phương án tối ưu được lựa chọn.
- Lập kế hoạch giải:
+ Vẽ sơ đồ H3 [sử dụng hình vẽ tóm tắt đề bài].
+ Tính S phần lát gạch = Ssân tập - S4 góc
+ Đổi kích thước gạch lát và kích thước sân ra cùng đơn vị đo.
+ Chia diện tích sân cần lát cho diện tích 1 viên gạch.
+ Kết luận.
* Bước 3: Trình bày lời giải
* Bước 4: Kiểm tra lại lời giải [soát lại toàn bộ phần trình bày lời giải]
Việc phân chia các bước quy trình giải bài toán có lời văn như trên chỉ có ý nghĩa tương đối. Trong thực tế, thao tác kiểm tra lời giải có thể xuất hiện ngay khi HS trình bày từng bước giải [bước 3].
3. Biện pháp 3: Rèn cho HS có thói quen tự kiểm tra phát hiện sai lầm trong lời giải
Không ít HS thường bằng lòng với việc tìm ra đáp số của bài toán có lời văn mà không chú ý đến khâu kiểm tra lại lời giải. Đi sâu vào nghiên cứu, tôi thấy nổi lên các nguyên nhân sau:
- HS chưa được trang bị các kỹ năng kiểm tra lời giải, đặc biệt là các kỹ năng phát hiện các dấu hiệu sai lầm. Nhiều HS không biết cách thử lại, mặc dù tìm được đáp số đúng.
Tôi xin đi sâu vào 2 nội dung: Thử lại một bài toán và kỹ năng phát hiện các dấu hiệu sai lầm.
Vấn đề thử lại trong bài toán có lời văn, nên khuyến khích. Mục đích của thử lại không phải nhằm loại bỏ nghiệm ngoại lai mà cái chính là để khẳng định chân lý, phát hiện sai lầm [nếu có]. Thao tác thử lại còn giúp HS hiểu bài toán sâu hơn nhờ tái tạo lại mối quan hệ của các yếu tố, các đại lượng của bài toán. HS biết thử lại bài toán cũng có nghĩa mở ra triển vọng có thể phát triển bài toán đã cho thành một bài toán “ngược”. Mặt khác, thói quen kiểm tra lại lời giải còn góp phần hoàn thiện những phẩm chất nhân cách tốt đẹp như tính cẩn thận, chắc chắn, trách nhiệm trước công việc.
Một đáp số đúng phải thoả mãn 2 yêu cầu:
- Thiết lập được sự tương ứng các phép tính giữa các số tìm được với các số [các dữ liệu] đã cho.
- Là kết quả của những bước suy luận hợp lôgíc.
Bên cạnh việc hình thành thói quen tự kiểm tra lời giải, GV cũng cần trang bị cho HS các phương pháp nhận biết một lời giải sai lầm. Các sai lầm thường bộc lộ bởi các dấu hiệu. GV cần trang bị cho HS kỹ năng nhận biết các dấu hiệu quan trọng sau đây:
- Dấu hiệu thứ nhất: Kết quả tìm được mâu thuẫn với thực tế.
Các bài toán có lời văn thường đề cập đến những tình huống gần gũi với thực tế. Ở đây, giả sử rằng bài toán đã phù hợp với thực tế mà nếu kết quả mâu thuẫn thực tế thì lời giải mắc sai lầm.
Các mâu thuẫn thường gặp trong lời giải sai lầm là: bộ phận tìm được lại lớn hơn tổng thể [số HS nữ tìm được lại lớn hơn số HS toàn trường] hoặc ngược lại [số HS toàn trường tìm được lại nhỏ hơn số HS một lớp]. Hoặc bộc lộ rõ sự vô lý [tuổi mẹ tìm được lại ít hơn tuổi con; số người, số đồ vật tìm được không phải là số tự nhiên...].
- Dấu hiệu thứ hai: Kết quả tìm được mâu thuẫn với một yếu tố nào đó trong đề bài
- Dấu hiệu thứ ba: Kết quả lời giải bài toán mâu thuẫn với kết quả trong trường hợp riêng.
- Dấu hiệu thứ tư: Các kết quả tìm được mâu thuẫn nhau. Chẳng hạn, vị thần A vừa là thần thật thà vừa là thần dối trá; số trường tiểu học của tỉnh B tại một thời điểm vừa là 154 vừa là 158.
- Dấu hiệu thứ năm: Sai đơn vị. Chẳng hạn, bài toán yêu cầu tìm thời gian của một chuyển động mà đáp số lại là đơn vị đo độ dài [quãng đường].
4. Biện pháp 4: HS được thử thách thường xuyên với những bài toán dễ dẫn đến sai lầm trong lời giải
Để thực hiện biện pháp này, GV phải biết xây dựng các bài toán có chứa “bẫy”. Thuật ngữ “bẫy” đã được các tác giả Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam nêu ra trong “Mẹo và bẫy trong các đề thi toán” [tập 2, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1992]. Các tác giả đã phân tích khá nhiều thí dụ mà mỗi khi HS mắc sai lầm sẽ được đồng nghĩa với việc “sa bẫy”. Vậy “bẫy” trong các bài toán là các vấn đề được tác giả cài đặt mà nếu HS không vững vàng sẽ mắc sai lầm trong lời giải. Trong các hình thức “bẫy” đó có cả loại “bẫy” làm cho HS bị đánh lạc hướng và mất nhiều thời gian để tìm ra cách giải.
Xin nêu bài toán làm thí dụ:
Trong danh sách ủng hộ nạn nhân chất độc màu da cam năm 2005 của trường tiểu học A, nếu đếm lần lượt từ đầu danh sách xuống và từ dưới danh sách lên thì bạn Mai đều có thứ tự là 100. Hỏi danh sách có bao nhiều người ?
Ở bài toán này, dự kiến HS dễ mắc phải sai lầm khi đưa ra đáp số 200 người [100 + 100 = 200]. Khi được chỉ ra sai lầm [có thể thông qua một bài toán tương tự nhưng số nhỏ hơn, có thể mô hình được] HS sẽ rất ấn tượng và sẽ tránh được sai lầm khi giải các bài dạng "toán trồng cây".
Như vậy, một bài toán có chứa "bẫy” là bài toán có nội dung kiến thức mà HS dễ mắc sai lầm ở một bước vào đó trong lời giải, các kiến thức này được GV chuẩn bị có chủ định nhằm đạt được tính hấp dẫn cùng với tính thử thách năng lực của HS.
Có những bài toán được cài đặt liên tiếp các “bẫy”. HS chỉ đi đến kết quả cuối cùng khi vượt qua được tất cả các bẫy. Đối với học sinh tiểu học, theo chúng tôi, một bài toán không nên có nhiều bẫy. Cần sử dụng “bẫy” có mức độ vì sự lạm dụng “bẫy” sẽ làm giảm, thậm chí phản tác dụng.
5. Biện pháp 5: Theo dõi một sai lầm của HS khi giải toán có lời văn qua các giai đoạn
Để tăng cường hiệu quả của các biện pháp trên, GV phải nhận thức được các giai đoạn cụ thể của một sai lầm nào đó. Đối với một sai lầm [GV có thể dự đoán trước] thì tính giai đoạn thể hiện khá rõ.
* Giai đoạn 1: Sai lầm chưa xuất hiện
Ở giai đoạn này, các biện pháp được huy động nhằm “phòng tránh” sai lầm xuất hiện, không có ý thức về việc này, chúng ta dễ thiếu tích cực trong giai đoạn 1.
Biện pháp chủ yếu trong giai đoạn này là trang bị tốt kiến thức bộ môn toán [biện pháp 1], kiến thức về phương pháp giải toán [biện pháp 2].
Một điều cần lưu ý là ở giai đoạn này, GV có thể dự báo trước các sai lầm, thệ hiện qua các nhắc nhở và lưu ý của GV đối với HS.
Chẳng hạn, khi HS tính diện tích của một thửa ruộng hình thang có số đo đáy và đường cao là những đơn vị đo khác nhau thì cần lưu ý HS phải chuyển về cùng một đơn vị đo.
* Giai đoạn 2: Sai lầm xuất hiện trong lời giải của HS
Đây là giai đoạn đòi hỏi GV phải kết hợp được các yêu cầu: kịp thời, chính xác và giáo dục, cùng với sự tích cực hoá hoạt động học tập của HS để vận dụng các hiểu biết về việc kiểm tra lời giải [biện pháp 3] nhằm tìm ra sai lầm, phân tích nguyên nhân và sửa chữa lời giải. Quy trình ở giai đoạn này gồm 6 bước:
- GV theo dõi thấy sai lầm
- GV gợi ý để HS tìm ra sai lầm
- HS tự tìm ra sai lầm
- GV gợi ý điều chỉnh lời giải
- HS thể hiện lời giải đúng
- GV tổng kết và lưu ý sai lầm đã mắc
* Giai đoạn 3: Sai lầm được phân tích và sửa chữa
Một sai lầm của HS tuy đã được GV phân tích và sửa chữa, vẫn có nguy cơ tái diễn. Đó là do “tính ỳ” của tư duy, đặc biệt là các sai lầm gây ra từ các thói quen không tốt. Việc dứt bỏ một thói quen không đơn giản vì thói quen nằm trong nếp sống của con người. Cùng với việc từ bỏ một thói quen không tốt, GV cần xây dựng cho HS những thói quen tốt.
6. Biện pháp 6: Trau dồi ngôn ngữ cho HS
Ở tiểu học, tiếng Việt vừa được sử dụng như một công cụ lại vừa là đối tượng học tập, có nghĩa là HS sử dụng tiếng Việt thông qua các kỹ năng nghe, nói, đọc, viết, đồng thời phải chiếm lĩnh các tri thức mới về tiếng Việt như từ vựng, ngữ pháp, tập làm văn. Đây là điểm khác biệt so với các bậc học khác và cũng là một khó khăn đối với HS tiểu học.
Toán có lời văn, ngay như tên gọi của nó, đã thể hiện mối quan hệ chặt chẽ với tiếng Việt, vì ở toán có lời văn thì mối qua hệ giữa các yếu tố, các đại lượng trong bài toán phải được diễn đạt bằng lời; trong quá trình tư duy, tìm tòi lời giải, HS phải sử dụng ngôn ngữ làm công cụ tư duy và khi trình bày lời giải cũng phải dùng kiến thức về tiếng Việt để diễn đạt. Như vậy, khi giải toán có lời văn, HS phải đồng thời huy động kiến thức, vốn hiểu biết của mình ở cả 2 lĩnh vực toán học và tiếng Việt và đối với không ít HS thì chỉ riêng việc tìm hiểu đề bài [giải mã] cũng đã trở thành một “bài toán”. Qua kinh nghiệm giảng dạy và qua nghiên cứu chúng tôi thấy trong quá trình giải toán có lời văn, HS tiểu học thường gặp khó khăn khi phân tích đề bài, khi đưa ra các lập luận và khi đặt các câu trả lời cho phép tính.
Để giúp HS vượt qua trở ngại trên, GV cần chú ý bồi dưỡng kiến thức và kỹ năng sử dụng tiếng Việt cho HS. Để hiểu được đề bài, HS trước hết phải hiểu được từ. Theo tôi, có 2 nhóm từ GV cần lưu ý trau dồi cho HS.
- Nhóm từ ngữ thuộc khái niệm, thuật ngữ toán học. Chẳng hạn như các thuật ngữ, khái niệm: tổng, hiệu, trung bình, tỉ số, đơn vị, chu vi, diện tích, thể tích, số p, hình tròn, đường tròn, lớn hơn, bé hơn, nhiều hơn, ít hơn...
- Nhóm từ mới, từ khó: đó là những từ mới không có trong SGK tiếng Việt như: năng suất, sản lượng, thu hoạch, vốn, lãi [lời], lãi suất, bình quân, thu nhập, kế hoạch, thành phẩm, phế phẩm, giá trị, trị giá...
Bên cạnh cung cấp vốn từ, cần chú trọng rèn ngữ pháp cho HS. Các đơn vị kiến thức ngữ pháp rất cần cho môn Toán là:
- Câu đơn: Câu đơn bình thường, câu đơn đặc biệt
- Câu ghép
- Các thành phần cấu tạo nên câu.
Việc nắm vững cấu tạo ngữ pháp và có kỹ năng nhận diện câu sẽ là một thuận lợi lớn đối với HS khi tiếp cận đề toán, vì toán học làm môn khoa học chính xác nên phần lớn các dữ kiện đề bài đều được diễn đạt dưới dạng thông báo một hiện thực khách quan.
Cuối cùng, là việc hướng dẫn HS đặt câu trả lời cho các phép tính của bài toán có lời văn. Hiện nay, đa số các câu trả lời trong lời giải của bài toán có lời văn đều có cấu trúc dạng “A là:” trong đó A là đại lượng cần tìm đóng vai trò chủ ngữ, chẳng hạn: “Diện tính thửa ruộng là:”, “Số cây lớp 5A trồng được là:”, “Quãng đường người đó đi được là:”. Trong một số trường hợp, chúng tôi thấy cần chấp nhận cách đặt câu trả lời cho phép tính dưới dạng câu hỏi, nhằm khắc phục khó khăn cho HS khi diễn đạt, chẳng hạn “Lúc mấy giờ hai xe gặp nhau ?”, “Cần bao lâu để xe máy đuổi kịp xe đạp ?”. Nếu diễn đạt theo cấu trúc thông thường, HS sẽ rất khó phân biệt thời điểm với thời đoạn trong bài toán chuyển động.
7. Các yêu cầu đối với GV và HS để thực hiện có hiệu quả các biện pháp sư phạm đã đề xuất
7.1. Rèn luyện ý thức và ý chí học tập cho HS
Đối với HS tiểu học, vấn đề tương lai, tiền đồ bản thân chưa đặt ra cấp thiết thì vấn đề động cơ, mục đích học tập lại được khởi nguồn từ các nhân tố khác, mà theo chúng tôi, nhân tố hết sức quan trọng là hứng thú học tập môn toán.
Hứng thú không thể có được bởi sự áp đặt của người lớn mà nó phải được hình thành từ bản thân nội dung học tập môn toán vì vậy GV cần tạo hứng thú học toán cho HS thông qua những nội dung có sức hấp dẫn với phương pháp nhẹ nhàng, tự nhiên.
Khi HS càng trưởng thành thì ý thức về động cơ, mục đích học tập cũng càng được hoàn thiện. Học tập trở thành nhiệm vụ của HS. Việc rèn luyện cho mình một ý thức học tập đúng đắn không chỉ dừng lại ở động cơ, thái độ học tập mà còn ở sự trung thực trong học tập, sự vượt qua những sĩ diện tự ái cá nhân để dũng cảm nhận sai lầm, nhận những điểm yếu của bản thân [nhất là với HS khá, giỏi]. Đối với HS kém trước hết là ý chí vượt qua sự mặc cảm, tự ti, biểu hiện trong học toán là ý chí vượt qua các sai lầm.
7.2. Hình thành hoạt động học cho HS
Động cơ học tập của HS không thể áp đặt từ bên ngoài mà phải được xây dựng từ chính nội dung và phương pháp dạy học môn toán. GV phải làm cho HS thấy được sự hấp dẫn của toán học. Cần động viên, khích lệ kịp thời mọi cố gắng của HS, dù là nhỏ, có như vậy, HS mới tin tưởng, phấn khởi, tự tin, có động lực để phấn đấu vươn lên. Từ động cơ học tập môn Toán, trong quá trình học tập, HS cũng dần dần hình thành mục đích học tập.
Trong việc học toán và cụ thể hơn là việc giải toán còn đòi hỏi HS phải có hành động mô hình hoá. Nhiều bài toán phức tạp, nhưng khi được mô hình hoá thì lại trở nên dễ hiểu và dễ xuất hiện lời giải. “Mô hình tựa như cỗ xe chở lôgíc của khái niệm vào trong đầu” [10, tr. 88].
7.3. Xây dựng uy tín của GV trên cơ sở năng lực chuyên môn và phẩm chất người thầy
Chúng ta biết rằng, người thầy giáo là lực lượng giáo dục quan trọng nhất quyết định chất lượng giáo dục và “nhân cách của người GV là nhân tố có ý nghĩa to lớn đối với chất lượng giáo dục” [31, tr. 157].
Nhân cách của người GV có cấu trúc như sau:
Kiến thức bao giờ cũng là nền tảng. Không thể có GV giỏi mà kiến thức yếu, vì vậy yêu cầu kiến thức luôn được đặt lên hàng đầu đối với GV.
Một GV giỏi phương pháp dạy học thì có thể lường trước được những khó khăn và sai lầm của HS. Ngoài nắm vững kiến thức và phương pháp, còn đòi hỏi GV có năng lực giao tiếp, có kiến thức tâm lý học để hiểu được HS.
Thái độ của GV cũng góp phần không nhỏ trong việc giúp HS phát hiện và sửa chữa sai lầm. Không ít GV thường cáu gắt, thậm chí chế giễu khi HS sai lầm. Thái độ như vậy sẽ làm cho HS cảm thấy bị xúc phạm, càng thêm hoang mang mất niềm tin vào bản thân.
Tổng hợp tất cả các yếu tố sẽ tạo nên uy tín của người thầy. “Uy tín là một yếu tố vô cùng quan trọng giúp thầy giáo thành công trong công tác. Người có uy tín là người có ảnh hưởng rất mạnh đến những người khác” [10, tr.173].
Vì vậy: GV cần thiết được trang bị kiến thức về các sai lầm của HS khi giải toán. Có như vậy, việc hạn chế và sửa chữa các sai lầm của HS mới hoàn toàn chủ động. Đặc biệt, tránh được các sai lầm khi giải toán của chính GV.
- GV phải rèn luyện để có được thái độ ứng xử sư phạm khi HS mắc sai lầm. Đây chính là đặc điểm quan trọng nhất trong hành vi và là sự biểu hiện rõ ràng năng lực sư phạm của GV.
Thái độ xử lý khéo léo còn đòi hỏi GV phải biết sử dụng cách khắc phục sai lầm của HS trong từng hoàn cảnh giao tiếp [Có thể là trước cả lớp, có thể chỉ riêng thầy và trò, có thể phân công cho trò kèm cặp, giúp đỡ trò...]
Thái độ xử lý sư phạm cũng đòi hỏi GV hết sức cẩn trọng khi chấm bài, khi đánh giá các phát biểu của HS trên lớp. Sự không công bằng trong đánh giá sẽ làm giảm sút uy tín cá nhân của GV.
PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
Đề tài đã làm sáng tỏ nhận định: Các sai lầm của HS tiểu học khi giải toán là hiện tượng phổ biến, kể cả HS khá, giỏi. Các sai lầm này có thể hệ thống lại, chẳng hạn theo từng dạng toán để GV dễ phát hiện và sửa chữa cho HS.
Đề tài đã phân tích các nguyên nhân chủ yếu về kiến thức của HS dẫn tới các sai lầm khi giải toán và đề xuất 6 biện pháp sư phạm nhằm hạn chế và sửa chữa một cách có hiệu quả các sai lầm của HS. Đề tài cũng đã đưa ra 5 dấu hiệu đặc trưng của lời giải có sai lầm. Những dấu hiệu này là kiến thức cần thiết để HS tự kiểm tra, phát hiện lời giải và rất hữu ích khi HS làm các bài kiểm tra theo hình thức trắc nghiệm.
Các kết quả nghiên cứu của đề tài có thể phát triển theo nhiều hướng. Chẳng hạn, nghiên cứu các sai lầm của HS khi học các phép toán cơ bản [cộng, trừ, nhân, chia] hoặc nghiên cứu các sai lầm của HS khi giải toán có nội dung hình học hay đại lượng.
Qua quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài SKKN, tôi xin đề xuất một số khuyến nghị:
Thứ nhất, Giáo viên Tiểu học cần được trang bị những hiểu biết này để tiến hành điều tra, phân tích về các sai lầm của HS khi giải toán giúp học sinh nâng cao năng lực học Toán.
Thứ hai, cần bổ sung vào hệ thống bài tập những dạng bài thử thách năng lực tránh các “bẫy” sai lầm của HS; các dạng bài “ngụy biện” để HS tập phát hiện các sai lầm.
Cuối cùng, việc phát hiện và sửa chữa các sai lầm của HS khi giải toán cần được mọi GV quan tâm theo dõi và tiến hành thường xuyên, kiên trì, có biện pháp phù hợp với từng đối tượng, có như vậy mới có thể đạt được kết quả như mong đợi.
Quận Hoàng Mai