Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt cực hay, chi tiết
DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI
1. Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp thế
- Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
- Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
- Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
1. Phương pháp giải
a. Hệ đối xứng loại 1
Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng:
[Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f[x, y] và g[x, y] không thay đổi].
Cách giải
- Đặt S = x + y, P = xy
- Đưa hệ phương trình [I] về hệ [I'] với các ẩn là S và P.
- Giải hệ [I'] ta tìm được S và P
- Tìm nghiệm [x; y] bằng cách giải phương trình: X2 - SX + P = 0
b. Hệ đối xứng loại 2
Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng:
[Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì [1] biến thành [2] và ngược lại]
- Trừ [1] và [2] vế theo vế ta được: [II]
- Biến đổi [3] về phương trình tích: [3] [x-y].g[x,y] = 0
- Như vậy [II]
- Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ [II]
c. Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là [x0; y0] thì [y0; x0] cũng là một nghiệm của nó
DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
1. Phương pháp giải
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng:
- Giải hệ khi x = 0 [hoặc y = 0]
- Khi x 0, đặt y = tx. Thế vào hệ [I] ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được [x; y]
Bài 1: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a. Đặt S = x + y, P = xy [S2 - 4P 0]
Ta có :
S2 - 2[5-S] = 5 S2 + 2S - 15 = 0
S = -5; S = 3
S = -5 P = 10 [loại]
S = 3 P = 2[nhận]
Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0
X = 1; X = 2
Vậy hệ có nghiệm [2; 1], [1; 2]
b. ĐKXĐ: x 0
Hệ phương trình tương đương với
Vậy hệ phương trình có nghiệm [x; y] là [1; 1] và [2; -3/2]
Bài 2: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a. Hệ phương trình tương đương
Với x-y = 4 x = y + 4 y[y+4] + y + 4 - y = -1
y2 + 4y + 5 = 0 [vn]
Vậy nghiệm của hệ phương trình là [x; y] = {[0; 1], [-1; 0]}
b. Đặt S = x+y; P = xy, ta có hệ:
- Với S = 2 + 2; P = 22 ta có x, y là nghiệm phương trình:
Với S = -4-2; P = 6 + 42 ta có x, y là nghiệm phương trình:
X2 + [4+2]X + 6 + 42 = 0 [vô nghiệm]
Vậy hệ có nghiệm [x; y] là [2; 2] và [2; 2]
Bài 3: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a. Hệ phương trình tương đương
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: [x; y] = {[0;0], [2;2]}
b. Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:
[y2 - x2 = x3 - y3 - 3[x2 - y2] + 2[x-y] [x-y][x2 + xy + y2 - 2x - 2y + 2] = 0 1/2[x-y][x2 + y2 + [x + y - 2]2] = 0 x = y]
[vì x2 + y2 + [x+y-2]2 > 0]
Thay x = y vào phương trình đầu ta được:
x3 - 4x2 + 2x = 0 x[x2 - 4x + 2] = 0
Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: [0; 0]; [2+2; 2+2] và [2-2; 2-2]
Bài 4: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a. Ta có : x3 - 3x = y3 - 3y [x-y][x2 + xy + y2] - 3[x-y] = 0
[x-y][x2 + xy + y2 - 3] = 0
Khi x = y thì hệ có nghiệm
Khi x2 + xy + y2 - 3 = 0 x2 + y2 = 3 - xy, ta có x6 + y6 = 27
[x2 + y2][x4 - x2y2 + y4] = 27
[3-xy][[3-xy]2 - 3x2y2] = 27 3[xy]3 + 27xy = 0
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm
b. Hệ phương trình tương đương
Bài 5: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a. Ta có
Nếu x = 0 thay vào [1] y = 0, thay vào [2] thấy [x; y] = [0; 0] là nghiệm
của phương trình [2] nên không phải là nghiệm của hệ phương trình
Nếu x 0, đặt y = tx , thay vào hệ ta được
Với t = 1/2 thay vào [**] ta được 4x2 + x2 + 6x = 27 5x2 + 6x - 27 = 0
Với t = 1/3 thay vào [**] ta được 4x2 + [2/3]x2 + 6x = 27
14x2 + 18x - 81 = 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm [x; y] là:
b. Dễ thấy x = 0 không thoả hệ
Với x 0, đặt y = tx, thay vào hệ ta được
Suy ra 3[t2 - t + 1] = 2t2 - 3t + 4 t = ±1
Thay vào [*] thì
Vậy hệ phương trình có nghiệm [x; y] là [1/3;[-1]/3], [[-1]/3;1/3], [-1;-1] và [1;1]
Bài 6: Cho hệ phương trình. Tìm giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có nghiệm [x; y] và tích x.y nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Đặt S = x + y, P = xy [S2 - 4P 0]
Ta có
Đẳng thức xảy ra khi a = -1 [nhận]
Bài 7: Xác định m để hệ phương trìnhcó nghiệm
Hướng dẫn:
Hệ phương trình tương đương
[x2 + y2 - 2xy] - [x + y - 4xy] = m + 1 - 2m [x+y]2 - [x+y] + m - 1 = 0
Để hệ phương trình có nghiệm Δ 0 1 - 4[m-1] 0 5 - 4m 0
m 5/4
Từ phương trình thứ 2 ta có[x-y]2 = m + 1 m + 1 0 m -1
Do đó -1 m 5/4
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi