1] PHƯƠNG PHÁP
Bước 1 : Cô lập m đưa về dạng $m \ge g\left[ x \right]$ hoặc $m \le g\left[ x \right]$
Bước 2 : Đưa bài toán ban đều về bài toán giải phương trình, bất phương trình đã học.
2] VÍ DỤ MINH HỌA
VD1-[Thi thử chuyên KHTN lần 2 năm 2017]
Tìm tập hợp tất các các giá trị của m để phương trình ${\log _2}x – {\log _2}\left[ {x – 2} \right] = m$ có nghiệm :
A. $1 \le m < + \propto $
B. $1 < m < + \propto $
C. $0 \le m < + \propto $
D. $0 < m < + \propto $
GIẢI
Đặt ${\log _2}x – {\log _2}\left[ {x – 2} \right] = f\left[ x \right]$ khi đó m=f[x] [1]. Để phương trình [1] có nghiệm thì m thuộc miền giá trị của f[x] hay $f\left[ {\min } \right] \le m \le f\left[ {\max } \right]$ Tới đây bài toán tìm tham số m được quy về bài toán tìm min, max của một hàm số. Ta sử dụng chức năng Mode với miền giá trị của x là Start 2 End 10 Step 0.5
Vậy $m = \log \left[ {1 + \frac{2}{{x – 2}}} \right] > 0$
Bình luận :
- Một bài toán mẫu mực của dạng tìm tham số m ta giải bằng cách kết hợp chức năng lập bảng giá trị MODE 7 và chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE một cách khéo léo.
- Chú ý : m=f[x] mà F[x]>0 vậy m>0 một tính chất bắc cầu hay và thường xuyên gặp
VD2-[Thi thử chuyên KHTN lần 2 năm 2017] Tìm tham số m để phương trình $\ln x = m{x^4}$ có đúng một nghiệm : A. $m = \frac{1}{{4e}}$ B. $m = \frac{1}{{4{e^4}}}$ C. $\frac{{{e^4}}}{4}$
D. $\frac{{{e^4}}}{4}$
GIẢI
Cô lập $m = \frac{{\ln x}}{{{x^4}}} = f\left[ x \right]$ [m>0] Tới đây bài toán tìm m trở thành bài toán sự tương giao của 2 đồ thị. Để phương trình ban đầu có đúng 1 nghiệm thì hai đồ thị $y = \frac{{\ln x}}{{{x^4}}}$ và y=m có đúng 1 giao điểm. Để khảo sát sự biến thiên của hàm $y = \frac{{\ln x}}{{{x^4}}}$ ta sử dụng chức năng MODE với thiết lập Start 0 End 5 Step 0.3
Cách tham khảo : Tự luận
Điều kiện : x>2 Phương trình $ \Leftrightarrow m = {\log _2}\left[ {\frac{x}{{x – 2}}} \right]$ $ \Leftrightarrow m = {\log _2}\left[ {1 + \frac{2}{{x – 2}}} \right]$ Vì x>2 nên $x – 2 > 0 \Rightarrow 1 + \frac{2}{{x – 2}} > 1$ $ \Rightarrow {\log _2}\left[ {1 + \frac{2}{{x – 2}}} \right] > {\log _2}1 = 0$Vậy $m = \log \left[ {1 + \frac{2}{{x – 2}}} \right] > 0$
Bình luận :
- Một bài toán mẫu mực của dạng tìm tham số m ta giải bằng cách kết hợp chức năng lập bảng giá trị MODE 7 và chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE một cách khéo léo.
- Chú ý : m=f[x] mà f[x]>0 vậy m>0 một tính chất bắc cầu hay và thường xuyên gặp
VD3-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Tìm m để phương trình $4{\left[ {{{\log }_2}\sqrt x } \right]^2} – {\log _{\frac{1}{2}}}x + m = 0$ có nghiệm thuộc khoảng [0;1] ? A. $ – 1 \le m \le \frac{1}{4}$ B. $m < \frac{1}{4}$ C. $0 < m \le \frac{1}{4}$
D. $m \le \frac{1}{4}$
GIẢI
Cô lập $m = – 4{\left[ {{{\log }_2}\sqrt x } \right]^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}x$ Đặt $ – 4{\left[ {{{\log }_2}\sqrt x } \right]^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}x = f\left[ x \right]$ khi đó m=f[x] [1]. Để phương trình [1] có nghiệm thuộc khoảng [0;1] thì m thuộc miền giá trị của f[x] hay $f\left[ {\min } \right] \le m \le f\left[ {\max } \right]$khi x chạy trên khoảng [0;1] Bài toán tìm tham số m lại được quy về bài toán tìm min, max của một hàm số. Ta sử dụng chức năng Mode với miền giá trị của x là Start 0 End 1 Step0.1
Cách tham khảo : Tự luận
Điều kiện : x>0 Ta có $m = – 4{\left[ {{{\log }_2}\sqrt x } \right]^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}x = – 4{\left[ {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right]^2} – {\log _2}x = – {\left[ {{{\log }_2}x} \right]^2} – {\log _2}x$ Vây $m = \frac{1}{4} – {\left[ {{{\log }_2}x + \frac{1}{2}} \right]^2} \le \frac{1}{4}$Dấu = xảy ra $ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow {\log _2}x = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {2^{ – \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$
Bình luận : Để xem dấu = xảy ra hay không thì ta sẽ thử cho dấu = xảy ra và sử dụng chức năng dò nghiệm. Nếu xuất hiện nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài thì dấu = xảy ra.
VD4-[Thi HK1 chuyên Amsterdam -HN năm 2017] Với giá trị nào của tham số m thì phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left| {x – 2} \right| – {\log _{\frac{2}{3}}}\left[ {x + 1} \right] = m$ có 3 nghiệm phân biệt ? A. m>3 B. m0
D. m=2
GIẢI
Đặt ${\log _{\frac{1}{2}}}\left| {x – 2} \right| – {\log _{\frac{2}{3}}}\left[ {x + 1} \right] = f\left[ x \right]$ khi đó m=f[x] [1]. Bài toán tìm tham số m trở lại bài toán sự tương giao của 2 đồ thị. Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm thì đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y=f[x] tại 3 điểm phân biệt Ta có y=m là đường thẳng song song với trục hoành Để khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y=f[x] ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị TABLE với thiết lập Start -1 End 8 Step 0.5
Dấu = xảy ra $ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow {\log _2}x = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {2^{ – \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ Bình luận : • Hai giao điểm có hoành độ trái dấu thì phải nằm về 2 phía của trục tung • Đáp án A sai vì 2 đồ thị chỉ cắt nhau tại 1 điểm nằm ở bên phải trục tung • Nếu 18>m>8 thì 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm đều nằm bên phải trục tung vậy đáp án C sai.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình năm 2017]
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể phương trình ${4^{{x^2}}} – {2^{{x^2} + 2}} + 6 = m$ có 3 nghiệm phân biệt ?
A. m=3
B. m>2
C. $2 \le m \le 3$
D. $2 < m < 3$
Bài 2-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Số nguyên dương lớn nhất để phương trình ${25^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} – \left[ {m + 2} \right]{5^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} + 2m + 1 = 0$ có nghiệm ? A. 20 B. 35 C. 30 D. 25 Bài 3-[Thi HK1 chuyên Amsterdam -HN năm 2017] Tập giá trị của tham số m để phương trình ${5.16^x} – {2.81^x} = m{.36^x}$ có đúng 1 nghiệm ?
A. m>0 B. $\left[ \begin{array}{l} m \le – \sqrt 2 \\ m \ge \sqrt 2 \end{array} \right.$ C. Với mọi m
D. Không tồn tại m
Bài 4-[Thi HK1 THPT Ngô Thì Nhậm – HN năm 2017] Phương trình ${\log _3}x – {\log _3}\left[ {x – 2} \right] = {\log _{\sqrt 3 }}m$ vô nghiệm khi : A. m>1 B. m2 C. $2 \le m \le 3$
D. 20
Với $t = 1 \Rightarrow f\left[ 1 \right] = 0 \Rightarrow 3 – m = 0 \Leftrightarrow m = 3$
Bài 2-[Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 năm 2017] Số nguyên dương lớn nhất để phương trình ${25^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} – \left[ {m + 2} \right]{5^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} + 2m + 1 = 0$ có nghiệm ? A. 20 B. 35 C. 30
D. 25
GIẢI
Cô lập m ta được $m = \frac{{{{25}^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} – {{2.5}^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} + 1}}{{{5^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} – 2}}$ Đặt $f\left[ x \right] = \frac{{{{25}^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} – {{2.5}^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} + 1}}{{{5^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} – 2}}$. Khi đó phương trình ban đầu $ \Leftrightarrow f\left[ x \right] = m$ Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số $y = f\left[ x \right]$ với thiết lập Start -1 End 1 Step 2
Cách tham khảo: Tự luận
Điều kiện $1 – {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow – 1 \le x \le 1$ . Ta có $1 – {x^2} \le 1 \Leftrightarrow 1 + \sqrt {1 – {x^2}} \le 2$ Đặt ${5^{1 + \sqrt {1 – {x^2}} }} = t \Rightarrow {5^1} \le t \le {5^2} \Leftrightarrow 5 \le t \le 25$ Phương trình ban đầu trở thành ${t^2} – \left[ {m + 2} \right]t + 2m + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} – 2t + 1}}{{t – 2}} = f\left[ t \right]$ Vậy $m \le f\left[ {\max } \right]$ Khảo sát sự biến thiên của hàm f[x] trên miền [5;25] ta được f[max]= f[25]= 25.043Vậy m nguyên dương lớn nhất là 25
Bài 3-[Thi HK1 chuyên Amsterdam -HN năm 2017] Tập giá trị của tham số m để phương trình ${5.16^x} – {2.81^x} = m{.36^x}$ có đúng 1 nghiệm ? A. m>0 B. $\left[ \begin{array}{l} m \le – \sqrt 2 \\ m \ge \sqrt 2 \end{array} \right.$ C. Với mọi m
D. Không tồn tại m
GIẢI
Cô lập m ta được $m = \frac{{{{5.16}^x} – {{2.81}^x}}}{{{{36}^x}}}$ Đặt $f\left[ x \right] = \frac{{{{5.16}^x} – {{2.81}^x}}}{{{{36}^x}}}$. Khi đó phương trình ban đầu $ \Leftrightarrow f\left[ x \right] = m$ Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y=f [x] với thiết lập Start -9 End 10 Step 1 Quan sát bảng biến thiên ta thấy f[x] luôn giảm hay hàm số y=f[x] luôn nghịch biến. Điều này có nghĩa là đường thẳng y=m luôn cắt đồ thị hàm số y=f[x] tại 1 điểm $ \Rightarrow $ C chính xác
Cách tham khảo: Tự luận
Phương trình ban đầu $ \Leftrightarrow {5.16^x} – m{.36^x} – {2.81^x} = 0$ [1] Chia cả 2 vế của [1] cho ${81^x}$ ta được: $5.{\left[ {\frac{{16}}{{81}}} \right]^x} – m.{\left[ {\frac{{36}}{{81}}} \right]^x} – 2 = 0 \Leftrightarrow 5{\left[ {\frac{4}{9}} \right]^{2x}} – m{\left[ {\frac{4}{9}} \right]^x} – 2 = 0$ [2] Đặt ${\left[ {\frac{4}{9}} \right]^x} = t\,\,\,\,\left[ {t > 0} \right]$ [2] $ \Leftrightarrow 5{t^2} – mt – 2 = 0$ [3]Phương trình [3] có 5.[-2]= -101 B. m2. Phương trình ban đầu $ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\frac{x}{{x – 2}}} \right] = 2{\log _3}m \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _3}\left[ {\frac{x}{{x – 2}}} \right] = {\log _3}m$ $ \Leftrightarrow lo{g_3}\sqrt {\frac{x}{{x – 2}}} = {\log _3}m \Leftrightarrow m = \sqrt {\frac{x}{{x – 2}}} $ Để phương trình ban đầu vô nghiệm thì đường thẳng y=m không cắt đồ thị hàm số $y = f\left[ x \right] = \sqrt {\frac{x}{{x – 2}}} $ Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y=f[x] với thiết lập Start 2 End 10 Step 0.5
Ta thấy ngay $m \le 1$ thì 2 đồ thị không cắt nhau hay phương trình ban đầu vô nghiệm