cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc Bài 1. Cho 4 ABC cân tại A có góc A nhọn. Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường thẳng BC tại D. Đường tròn [K] đường kính AD cắt các đường thẳng DC và AC lần lượt tại H và E. Chứng minh
a H là trung điểm của BC và HA 2 = HC · HD.
b DH là tia phân giác của ̂ADE và KH ‖ DE.
Bài 2. Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O. Trên đường trung trực của AB lấy điểm D sao cho OD = a 2. Nối A với D, vẽ BC vuông góc AD tại C.
a Tính AD, AC, BC tại a.
b Trên tia đối của tai OD lấy điểm E sao cho OE = a. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn.
c CE là tia phân giác của ̂ACB. [gợi ý: kẻ CH ⊥ AB]
Bài 3 [*]. Cho 4 ABC vuông cân tại A có đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của [O] và AB. Chứng minh rằng:
a 4 AEF là tam giác cân và DO ⊥ OE.
b Bốn điểm D, A, O, E cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 4 [*]. Trên các cạnh AB, BC, CA của 4 ABC đều ta lấy theo thứ tự các điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP.
a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp 4 ABC. Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp 4 M N P.
b Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của AB, M P, AC. Chứng minh rằng ba điểm H, I, K thẳng hàng.
c Xác định vị trí các điểm M, N, P để chu vi 4 M N P nhỏ nhất.
Page 4 of 17 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956?
MATH
0976071956
? Lớp TOÁN THẦY DŨNG?
Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU
| Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU
Chõ · 2.Đ÷íng k½nh v d¥y cõa ÷íng trán. Li¶n h» giúa
d¥y v kho£ng c¡ch tø t¥m ̧n d¥y
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG
Trong đường tròn [O]: a OH ⊥ AB ⇒ H là trung điểm của AB. b H là trung điểm của AB ⇒ OH ⊥ AB.
O
A H B
2 LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY ] Định lý 1:
- Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.
] Định lý 2:
- Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại.
- Trong một đường tròn, dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại.
B MỘT SỐ DẠNG TOÁN
{ DẠNG 1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Hai dây bằng nhau
] Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại. ] Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
Ví dụ 1. Cho đường tròn [O] đường kính AB, dây CD không cắt đường kính. Gọi H, K thứ tự
là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng a CD và HK có trung điểm trùng nhau; b DH = CK.
Ví dụ 2. Cho đường tròn [O] có các dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm E nằm bên
ngoài đường tròn. Gọi H, K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng a EH = EK; b EA = EC.
? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956? Page 5 of 17
MATH
0976071956
? Lớp TOÁN THẦY DŨNG?
Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU
| Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU
] Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
Ví dụ 1. Cho điểm A nằm bên trong đường tròn [O]. Vẽ dây BC vuông góc với OA. Vẽ dây EF
bất kỳ đi qua A và không vuông góc với OA. So sánh độ dài hai dây BC và EF.
Ví dụ 2. Cho [O, 5 cm], điểm M cách O 3 cm.
a Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua M.b Tính độ dài dây dài nhất đi qua M.
Ví dụ 3. Cho AB là dây cung của [O; R] và I là trung điểm của AB [O /∈ AB].
a Qua I vẽ dây cung EF. Chứng minh EF ≥ AB. Tìm độ dài lớn nhất, độ dài nhỏ nhất của các
dây quay quanh I.b Cho R = 5 cm, OI = 4 cm, tính độ dài dây cung ngắn nhất qua I.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc Bài 1. Cho đường tròn [O; R] có hai bán kính OA, OB sao cho ̂AOB = 120◦, gọi OI là đường cao của 4 OAB. Tia OI cắt đường tròn [O] tại C.
a Tính các góc, cạnh AB, chiều cao OI của 4 AOB theo R. b Chứng minh tứ giác OACB là hình thoi, tính diện tích của OACB theo R.
Bài 2. Cho đường tròn [O] có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H, K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: EH = EK và EA = EC.
Bài 3. Cho điểm A cố định trong đường tròn [O] và dây cung M N quay quay A.
a Chứng minh các trung điểm H của các dây cung M N di động trên một đường tròn cố định. b Xác định vị trí của H khi M N ngắn nhất, dài nhất.
Bài 4. Cho đường tròn [O; R] có hai dây AB, AC vuông góc với nhau và AB = R√ 3.
a Chứng minh rằng AB 2 + AC 2 = 4R 2. Tính các khoảng cách từ tâm O đến AB và AC.
b Trên đoạn thẳng AB lấy điểm P sao cho AP =
Ä√
3 − 1
ä 2. Vẽ dây DE vuông góc với AB tại P . Chứng minh rằng DE = AB.
Bài 5. Trong một đường tròn tâm O, hai dây AB và CD song song với nhau. Biết AB = 30 cm, CD = 40 cm. Khoảng cách giữa AB và CD là 35 cm. Tính bán kính đường tròn.
? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956? Page 7 of 17
MATH
0976071956
? Lớp TOÁN THẦY DŨNG?
Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU
TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU # | Lớp Toán Thầy Dũng
Bài 6. Cho đường tròn tâm A bán kính AB, dây EF kéo dài cắt đường thẳng AB tại C [E nằm giữa F và C], hạ AD ⊥ CF , hạ AD ⊥ CF. Cho AB = 10 cm; AD = 8 cm; CF = 21 cm. Tính CE và CA. Bài 7 [*]. Cho 4 ABC vuông cân tại A, đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn [O] với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:
a 4 AEF cân. b DO ⊥ OE.
Chõ · 3à tr½ t÷ìng èi cõa ÷íng th ̄ng v ÷íng
trán. Ti ̧p tuy ̧n cõa ÷íng trán
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
a A ∈ [O], A ∈ d d ⊥ OA
⇒ d là tiếp tuyến của [O].
b d là tiếp tuyến của [O] A ∈ [O], A ∈ d
⇒ d ⊥ OA. O
A
d
2 TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
M A và M B là hai tiếp tuyến của [O]. Khi đó - M A = M B; - M O là đường phân giác của AM B̂ và ̂AOB. O M
A
B
B MỘT SỐ DẠNG TOÁN
{ DẠNG 1. Tính độ dài một đoạn tiếp tuyến
] Xác định tam giác vuông có đỉnh góc vuông là tiếp điểm. ] Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
Page 8 of 17 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956?
MATH
0976071956
? Lớp TOÁN THẦY DŨNG?
Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU
TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU # | Lớp Toán Thầy Dũng
Ví dụ 3. Cho 4 ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn [A, AH], kẻ các tiếp tuyến BD,
CE với đường tròn [A] [D, E là các tiếp điểm khác H]. Chứng minh rằng a Ba điểm D, A, E thẳng hàng. b DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
{ DẠNG 3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
M A và M B là hai tiếp tuyến của [O]. Khi đó - M A = M B; - M O là đường phân giác của AM B̂ và ̂ AOB. O M
A
B
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
Ví dụ 1. Cho đường tròn [O; R] và một điểm A nằm ngoài [O]. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC
với [O]. Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng a OA ⊥ BC; b BD ‖ OA.
Ví dụ 2. Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn [O], kẻ các tiếp tuyến M D, M E với đường tròn
đó [D, E là các tiếp điểm]. Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt M D, M E theo thứ tự ở P và Q. Chứng minh chu vi 4 M P Q bằng 2 · M D.
Ví dụ 3. Cho đường tròn [O] và một điểm A sao cho OA = 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với
đường tròn [B, C là các tiếp điểm]. Đường thẳng OA cắt BC tại H, cắt cung nhỏ và cung lớn BC lần lượt tại I và K. a Chứng minh OA ⊥ BC và HI · OA = R 2. b Chứng minh 4 ABC đều và ABKC là hình thoi. c Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp 4 ABC. Tính theo R bán kính đường tròn này. d Vẽ đường kính CD. Chứng minh BD ‖ AO. e Vẽ cát tuyến bất kỳ AM N của [O; R]. Gọi E là trung điểm của M N. Chứng minh 5 điểm O, E, A, B, C cùng thuộc một đường tròn.
Page 10 of 17 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956?
MATH
0976071956
? Lớp TOÁN THẦY DŨNG?
Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU
| Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬUVí dụ 4 [*]. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn [O; R] vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường
tròn [O] [B, C là tiếp điểm]. Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ B xuống đường kính CD của [O], gọi I là giao điểm của AD và BH. Chứng minh IB = IH.
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
Bài 1. Trên tiếp tuyến tại M thuộc đường tròn [O; R] lấy M A = R, trên [O] lấy N sao cho AN = R.
a Chứng minh AM ON là hình vuông. b Chứng minh 4 AN O vuông cân và AN là tiếp tuyến của [O].
Bài 2. Cho đường tròn [O], dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.
a Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn. b Cho bán kính của đường tròn bằng 15 cm, AB = 24 cm. Tính độ dài OC.
Bài 3. Trên tiếp tuyến của đường tròn [O; R] tại A lấy điểm S sao cho AS = R√ 3. Kéo dài đường cao AH của 4 SAO cắt [O] tại B.
a Tính các cạnh và góc của 4 SAO. b Chứng minh rằng SB là tiếp tuyến của [O] và 4 SAB đều.
Bài 4. Cho nửa đường tròn [O] đường kính AB. Lấy điểm D trên bán kính OB. Gọi H là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại C. Đường tròn tâm I đường kính DB cắt cát tuyến CB tại E.
a Tứ giác ACED là hình gì? b Chứng minh 4 HCE cân tại H. c Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.
Bài 5. Cho 4 ABC vuông tại A [AB < AC]. Đường tròn tâm O đường kính AB và đường tròn tâm K đường kính AC cắt nhau tại A và D.
a Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng. b Chứng minh OD là tiếp tuyến của [K] và KD là tiếp tuyến của [O].
Bài 6. Cho 4 ABC vuông tại A có đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn tâm K đường kính HC cắt AC tại H. Chứng minh AH và EF là các tiếp tuyến chung của [I] và [K].
Bài 7. Cho nửa đường tròn đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax vẽ tiếp tuyến thứ hai M C với nửa đường tròn. Kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh rằng M B đi qua trung điểm của CH.
? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956? Page 11 of 17
MATH
0976071956
? Lớp TOÁN THẦY DŨNG?
Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU
| Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU
Bài 7. Cho [O 1 ] tiếp xúc ngoài với [O 2 ] tại A. Đường nối tâm O 1 O 2 cắt [O 1 ] tại B và [O 2 ] tại C. Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, D ∈ [O 1 ], E ∈ [O 2 ] và M là giao điểm của BD và CE.
a Tính số đo góc ̂DAE. b Tứ giác ADM E là hình gì? Vì sao? c Chứng minh rằng M A là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Bài 8. Cho hai đường tròn [O 1 ; R] và [O 2 ; R′] [với R 1 6 = R 2 ] tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài BC và DE [với B, D thuộc [O 1 ]; C, E thuộc [O 2 ]]. Chứng minh rằng BC + DE = BD + CE.
Bài 9. Cho hai đường tròn [O; 3 cm] và [O′; 4 cm] cắt nhau tại A và B. Qua A kẻ một cát tuyến cắt [O] tại M [M 6 = A], cắt [O′] tại N [N 6 = A]. Nếu OO′ = 5 cm, hãy tính giá trị lớn nhất của M N.
Bài 10 [*]. Cho hai đường tròn [O 1 ], [O 2 ] ngoài nhau. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AB và CD [với A, D thuộc [O 1 ]; B, C thuộc [O 2 ]]. Nối AC cắt [O 1 ] tại M ; cắt [O 2 ] tại N [M 6 = A, N 6 = C]. Chứng minh rằng AM = N C.
BÀI TẬP TỔNG HỢP TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI
Bài 1. Cho đường tròn [O; R] đường tính AB. Qua điểm A kẻ tia tiếp tuyến Ax đến đường tròn [O]. Trên tai Ax lấy điểm C sao cho AC > R. Từ điểm C kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn [O] [M là tiếp điểm].
a Chứng minh rằng bốn điểm A, C, O, M cùng thuộc một đường tròn. b Chứng minh rằng M B ‖ OC. c Gọi K là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn [O]. Chứng minh rằng BC · BK = 4R 2. d Chứng minh rằng CM K̂ = M BĈ. [Đề thi học kì 1 Bắc Từ Liêm, Hà Nội, 2018]
Bài 2. Cho nửa đường tròn [O; R] đường kính AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm E [E khác A, AE < R]; trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho EM = EA, đường thẳng EM cắt tia By tại F.
a Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn [O]; b Chứng minh tam giác EOF là tam giác vuông; c Chứng minh AM · OE + BM · OF = AB · EF ; d Tìm vị trí của điểm E trên tia Ax sao cho S 4 AM B = 3 4 S 4 EOF. [Đề thi học kì 1 Đống Đa, Hà Nội, 2018]
Bài 3. Cho đường tròn [O] đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn [O] [C khác A, B] sao cho AC > BC. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với dây cung AC tại H. Tiếp tuyến tại A của đường tròn [O] cắt tịa OH tại D. Đoạn thẳng DB cắt đường tròn [O] tại E.
? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956? Page 13 of 17
MATH
0976071956
? Lớp TOÁN THẦY DŨNG?
Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU
TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU # | Lớp Toán Thầy Dũng
a Chứng minh HA = HC và ̂DCO = 90◦. b Chứng minh DH · DO = DE · DB. c Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho E là trung điểm cạnh AF. Từ F vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại K. Đoạn thẳng F K cắt đường thẳng BC tại M. Chứng minh M K = M F.
[Đề thi học kì 1 Cầu Giấy, Hà Nội, 2018] Bài 4. Cho đường tròn [O] đường kính AB = 10 cm. C là điểm trên đường tròn [O] sao cho AC = 8cm. Vẽ CH ⊥ AB [H ∈ AB]. a Chứng minh 4 ABC vuông. Tính độ dài CH và số đo ̂BAC [làm tròn đến độ]; b Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn [O] cắt nhau tại D. Chứng minh OD ⊥ BC;
c Tiếp tuyến tại A của đường tròn [O] cắt BC tại E. Chứng minh CE · CB = AH · AB; d Gọi I là trung điểm của CH. Tia BI cắt AE tại F. Chứng minh F C là tiếp tuyến của đường tròn [O].
[Đề thi học kì 1 Đan Phượng, Hà Nội, 2018] Bài 5. Cho điểm M bất kì nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB. Tiếp tuyến tại M và tại B của [O] cắt nhau tại D. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt M D tại C và cắt BD tại N.
a Chứng minh DC = DN. b Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
c Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB, I là trung điểm M H. Chứng minh B, C, I thẳng hàng. d Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt [O] tại K [K và M nằm khác phía với đường thẳng AB]. Tìm vị trí của M để diện tích tam giác M HK lớn nhất. [Đề thi học kì 1 Đống Đa, Hà Nội, 2018] Bài 6. Cho đường tròn [O; R] và điểm A cố định ở ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy điểm M , qua M kẻ hai tiếp tuyến M E, M F tới đường tròn [O; R], tiếp điểm lần lượt là E và F. Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.
a Chứng minh OM vuông góc với EF. b Cho biết R = 6 cm, OM = 10 cm. Tính OH.
c Chứng minh 4 điểm A, B, H, M cùng thuộc một đường tròn. d Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác M EF thuộc một đường tròn cố định khi M chuyển động trên d.
Page 14 of 17 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956?
MATH
0976071956
? Lớp TOÁN THẦY DŨNG?
Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU
TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU # | Lớp Toán Thầy Dũng
[Đề thi học kì 1 Sở GD & ĐT Nam Định, 2018] Bài 11. Cho đường tròn tâm O, bán kính R và đường thẳng [∆] không có điểm chung với đường tròn [O], H là hình chiếu vuông góc của O trên ∆. Từ một điểm M bất kỳ trên ∆ [M 6 = H], vẽ hai tiếp tuyến M A, M B đến đường tròn [O] [A, B là hai tiếp điểm]. Gọi K, I thứ tự là giao điểm của AB với OM và OH. a Chứng minh AB = 2AK và năm điểm M, A, O, B, H cùng nằm trên một đường tròn. b Chứng minh OI · OH = OK · OM = R 2. c Trên đoạn OA lấy điểm N sao cho AN = 2ON. Đường trung trực của BN cắt OM ở E. Tính tỷ số OE OM. [Đề thi học kì 1 Sở GD & ĐT Thái Bình, 2018] Bài 12. Cho đường tròn [O, R] và đường thẳng d cố định không cắt đường tròn. Từ một điểm A bất kì trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn [B là tiếp điểm]. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AO tại H, trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho HC = HB. a Chứng minh rằng C thuộc đường tròn [O, R] và AC là tiếp tuyến của [O, R]. b Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại I, OI cắt BC tại K. Chứng minh rằng OH · OA = OI · OK = R 2. [Đề thi học kì 1 Tam Đảo, Vĩnh Phúc, 2018] Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AC. Đường tròn [O] cắt BC tại điểm thứ hai là I. a Chứng minh AI 2 = BI · CI. b Kẻ OM ⊥ BC tại M , AM cắt [O] tại điểm thứ hai là N. Chứng minh 4 AIM v 4 CN M. Từ đó suy ra AM · M N = CM 2. c Từ I kẻ IH ⊥ AC tại H. Gọi K là trung điểm của IH. Tiếp tuyến tại I của [O] cắt AB tại P. Chứng minh ba điểm C, K, P thẳng hàng. d Chứng minh OI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 4 IM N. [Đề thi học kì 1 Thanh Trì, Hà Nội, 2018] Bài 14. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC = R. Vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Gọi K là giao điểm của đường thẳng BC với Ax. a Chứng minh tam giác ABC vuông và tính số đo góc ABC. b Từ A kẻ AE vuông góc với KO tại E. Chứng minh rằng KC · BC = OE · OK. c Đường thẳng AE cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai M. Chứng minh KM là tiếp tuyến của [O].
Page 16 of 17 ? Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - Ô 0976071956?
MATH
0976071956
? Lớp TOÁN THẦY DŨNG?
Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - THPT TẠ QUANG BỬU
| Lớp Toán Thầy Dũng TRƯỜNG THPT TẠ QUANG BỬU
d Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh rằng IO = IN. [Đề thi học kì 1 Thuận An, Bình Dương, 2018]
Bài 15. Cho [O; R], đường kính CD, dây BC khác đường kính. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại A.
a Chứng minh AO ⊥ BC. b Giả sử R = 15 cm, dây BC = 24 cm. Tính OA. c Kẻ BH vuông góc với CD tại H, gọi I là giao điểm của AD và BH. Chứng minh rằng I là trung điểm của BH. [Đề thi học kì 1 Phòng GD & ĐT Ninh Bình, 2018]
Bài 16. Cho đường tròn [O; R] đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến [d] và [d′] với đường tròn [O]. Một đường thẳng đi qua O cắt đường thẳng [d] ở M và cắt đường thẳng [d′] ở P. Từ O kẻ một tia vuông góc với M P và cắt đường thẳng [d′] ở N. Kẻ OI ⊥ M N tại I.
a Chứng minh OM = OP và 4 N M P cân. b Chứng minh OI = R và M N là tiếp tuyến của đường tròn [O]. c Tính AIB.̂ d Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AM N B là nhỏ nhất? [Đề thi học kì 1 Đống Đa, Hà Nội, 2018]