Tâm đối xứng xuất hiện nhiều trong bài kiểm tra, bài thi của các bạn học sinh. Đây không phải là phần quá khó nhưng nó sẽ là kiến thức nền để các bạn giải những câu khó hơn. Vì vậy các bạn cần phải tìm hiểu thật kỹ và nắm chắc dạng bài này để đạt điểm tối đa nhé. Cùng CMath tìm hiểu tâm đối xứng của đồ thị hàm số ngay sau đây.
Giải thích tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gì?
Cho một hàm số y = f[x] có đồ thị là [C]. Ta ví dụ có một điểm I thoả mãn tính chất: một điểm A bất kì thuộc đồ thị [C], nếu ta lấy đối xứng qua điểm I thì ta sẽ được điểm A’ cũng thuộc đồ thị [C], khi đó ta nói điểm I là tâm đối xứng của đồ thị y = f[x].
Khái niệm về tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Tính chất:
- Cho hàm số y = f[x]. Khi đó nếu tâm đối xứng của hàm số là gốc toạ độ O[0;0] thì f[x] là hàm số lẻ: f[–x] = –f[x]
- Ví dụ hàm số y = f[x] nhận điểm I làm tâm đối xứng và có toạ độ là I[x0;y0] thì ta sẽ được tính chất là: f[x+x0]+f[-x+x0]=2y0 với mọi xR.
Chú ý:
- Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có thể nằm trên đồ thị hoặc nằm ngoài đồ thị hàm số. Nếu hàm số y = f[x] liên tục trên R thì tâm đối xứng của hàm số đó sẽ là một điểm thuộc đồ thị hàm số y = f[x].
- Chỉ có một vài hàm số mới có tâm đối xứng, không phải tất cả hàm số đều có tâm đối xứng.
Cách tìm tâm đối xứng đối với đồ thị hàm số bậc 3 và đồ thị hàm số phân tuyến tính.
- Cách tìm tâm đối xứng đối với đồ thị hàm số bậc 3:
- Hàm số bậc 3 y=ax3+bx2+ca+d [a=0], có đồ thị [C].
- Tâm đối xứng của đồ thị [C] lúc đó là điểm I[-b3a;y[-b3a]]. Điểm I cũng đồng thời là điểm đến của đồ thị [C].
- Cách tìm tâm đối xứng đối với đồ thị hàm số phân tuyến tính:
- Hàm số phân tuyến tính y=ax+bcx+d [ad – bc 0, c 0] và có đồ thị hàm số là [C].
- Tâm đối xứng của đồ thị [C] lúc đó là điểm I[-dc;ac]. Điểm I cũng đồng thời là giao điểm của 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số [C].
Các dạng toán về tâm đối xứng
Bài tập vận dụng
Sau khi đã tìm hiểu về lý thuyết tâm đối xứng của đồ thị hàm số thì CMath sẽ gửi đến các bạn một số bài tập vận dụng để các bạn có thể áp dụng kiến thức đã học và ghi nhớ lâu hơn.
Bài tập 1: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số sau đây: y=2xx+1
Hướng dẫn giải
Ví dụ rằng hàm số trên nhận điểm I[a;b] làm tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Khi đó nếu ta tịnh tiến trục tọa độ theo vectơ OI thì ta sẽ được: x=X+ay=Y+b.
Vậy hàm số đã cho tương ứng với: Y+b=2[X+a]X+a+1Y=2-b-2X+a+1
Để hàm số y=2xx+1 là hàm số lẻ thì 2-b=0a+1=0a=-1b=2
Vậy ta suy ra điểm I[–1;2] gọi là tâm đối xứng của y=2xx+1
Tổng kết
- Hàm số y=ax3+bx2+ca+d với a0 có tâm đối xứng là [-b3a;y[-b3a]]. Điểm này cũng chính là điểm uốn của đồ thị bậc 3.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3
- Hàm số y=ax+bcx+d với c0; adbc có tâm đối xứng là [-dc;ac]
- Hàm số y=ax2+bx+cdx+e với a,d0 có tâm đối xứng là điểm [-ed;y[-ed]]
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3
Bài tập 2: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=x3+3x2-9x+1
Hướng dẫn giải
y ‘= 3 x 2 + 6x-9 y “= 6x + 6 y” = 0 x = -1
Ta thay x=-1 vào hàm số và được y = 12
Vậy ta suy ra điểm I[–1;12] gọi là tâm đối xứng của y=x3+3x2-9x+1
Bài tập 3: Cho hàm số sau đây: y=x3-3mx2-mx+2 có đồ thị [C]. Giá trị của điểm M nằm trong khoảng nào để tâm đối xứng của đồ thị hàm số [C] nằm trên đường thẳng y = x + 2?
- [- 1 2 ; 1 2 ]
- [ 1 2 ; 3 2 ]
- [1; 2]
- [ 3 2 ; 5]
Hướng dẫn giải
Gọi tâm đối xứng của đồ thị hàm số [C] là điểm I[m;-2m3–m2+2].
Để điểm I nằm trên y = x + 2 thì -2m3–m2+2=m+2-2m3–m2-m=0m=0
Vậy đáp án là A[-12;12].
>>> Tham khảo thêm:
Tất tần tật kiến thức về định lý hàm số cos và cách vận dụng trong tam giác
Lý thuyết đầy đủ nhất về hàm số bậc nhất
Cách tìm tập xác định của hàm số chi tiết, dễ hiểu
Tạm kết
Bài viết trên đây đã giúp các bạn có cái nhìn tổng quan và nắm được lý thuyết về tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Hy vọng các thông tin trên là hữu ích và giúp được các bạn trong những kỳ kiểm tra sắp tới. Nếu có bất kỳ thắc mắc hoặc vấn đề cần giải đáp hãy liên hệ trực tiếp đến CMath để nhận được hỗ trợ và ưu đãi khóa học sớm nhất nhé.
Phép đối xứng tâm của đồ thị hàm số là dạng toán thường gặp trong chương trình Toán ôn thi THPT Quốc gia. Vậy phép đối xứng tâm là gì? Khi nào thì đồ thị có tâm đối xứng? Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị? Cách xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số?… Trong nội dung bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này!
Cho hàm số [y = f [x] ] có đồ thị là [[C] ]. Giả sử [I ] là một điểm thoả mãn tính chất: một điểm bất kỳ [A ] trên đồ thị [[C] ] nếu đối xứng với [I ] ta được một điểm [A ‘] cũng thuộc đến [[C] ] thì ta nói [I ] là tâm đối xứng của đồ thị hàm số [y = f [x] ]
Thiên nhiên:
- Cho hàm [y = f [x] ]. Khi đó hàm có tâm đối xứng tại gốc [O [0; 0] Leftrightarrow f [x] ]. Hàm lẻ: [f [-x] = -f [x] ]
- Giả sử hàm [y = f [x] ] nhận điểm [I [x_0; y_0] ] làm tâm đối xứng, thì chúng ta có thuộc tính:
- [f [x + x_0] + f [-x + x_0] = 2y_0 ] cho tất cả [x in mathbb {R} ]
***Chú ý:
- Phép đối xứng tâm có thể nằm ngoài hoặc trên đồ thị của hàm số. Nếu hàm [f [x] ] liên tục trên [ mathbb {R} ] thì tâm đối xứng của nó [nếu có] là một điểm trên đồ thị của hàm đó.
- Không phải hàm số nào cũng có tâm đối xứng, chỉ một số hàm số có tâm đối xứng.
Cho hàm [y = f [x] ]. Khi đó điểm [U [x_0; y_0] ] được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số nếu tồn tại một khoảng [[a; b] ] chứa điểm [x_0 ] sao cho nằm trên một trong các hai khoảng [[a; x_0] ] và [[x_0; b] ] thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại [U ] nằm phía trên đồ thị và trên khoảng còn lại thì tiếp tuyến ở phía dưới. đồ thị.
Nếu hàm [y = f [x] ] có đạo hàm bậc [2 ] trên khoảng chứa điểm [x_0 ] sao cho:
[f ” [x_0] = 0 ] và [f ” [x] ] đổi dấu khi đi qua điểm [x_0 ] thì điểm [[x_0; f [x_0]] ] là điểm uốn của đồ thị hàm [f [x] ]
Do đó, để xác định điểm uốn của đồ thị hàm số [f [x] ], ta chỉ cần giải phương trình: [f ” [x] = 0 ]. Nghiệm của phương trình đó là tọa độ của điểm uốn hàm
***Chú ý: Tọa độ tâm đối xứng của hàm số bậc ba là điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba. Như vậy, hàm số bậc 3 luôn có tâm đối xứng.
Trong các bài toán về phép đối xứng, ta cần tịnh tiến trục tọa độ về tâm đối xứng. Do đó, chúng ta cần nắm vững các công thức chuyển đổi trục tọa độ:
Giả sử [x; f [x_0] ] là một điểm trong mặt phẳng tọa độ [Oxy ]. Phép tịnh tiến theo vectơ [ overrightarrow {OI} ] biến hệ tọa độ [Oxy ] thành hệ tọa độ [IXY ].
Giả sử [M ] là một điểm bất kỳ của mặt phẳng.
- [[x; y] ] là toạ độ của [M ] đối với hệ toạ độ [Oxy ]
- [[X; Y] ] là toạ độ của [M ] đối với hệ toạ độ [IXY ]
Ta có công thức chuyển đổi hệ tọa độ:
[ left { begin {matrix} X = x-x_0 \ Y = y-y_0 end {matrix} right. ]
Để xác định tâm đối xứng của hàm [y = f [x] ] ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Giả sử [I [a; b] ] là tâm đối xứng của đồ thị hàm số [f [x] ]. Thực hiện phép tịnh tiến trục tọa độ [Oxy rightarrow IXY ]:
- [ left { begin {matrix} x = X + a \ y = Y + b end {matrix} right. ]
- Bước 2: Viết công thức hàm mới trong hệ tọa độ mới:
- Chúng ta nhận được một hàm có dạng: [Y + b = f [X + a] Leftrightarrow Y = g [X] ]
- Bước 3: Tìm [a; b ] để hàm [g [X] ] là một hàm lẻ:
Khi đó ta chứng minh được rằng đồ thị của hàm số nhận điểm [I [a; b] ] là tâm đối xứng
Ví dụ:
Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số: [y = frac {2x} {x + 1} ]
Giải pháp:
Giả sử hàm số nhận điểm [I [a; b] ] làm tâm đối xứng. Sau đó dịch trục tọa độ theo vectơ [ overrightarrow {OI} ] Ta có:
[ left { begin {matrix} x = X + a \ y = Y + b end {matrix} right. ]
Vì vậy, hàm đã cho tương đương với:
[Y + b = frac {2 [X + a]} {X + a + 1} ]
[ Leftrightarrow Y = 2-b- frac {2} {X + a + 1} ]
Đối với hàm trên là số lẻ, thì:
[ left { begin {matrix} 2-b = 0 \ a + 1 = 0 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} a = -1 \ b = 2 end {matrix} right. ]
Vậy [I [-1; 2] ] là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Bản tóm tắt:
- Hàm [y = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ] với [a neq 0 ] có tâm đối xứng là điểm [[- frac {b} {3a}; y [ – frac {b} {3a}]] ]. Đây là điểm uốn của hàm 3
- Hàm [y = frac {ax + b} {cx + d} ] với [c neq 0; ad neq bc ] có tâm đối xứng tại [[- frac {d} { c}; frac {a} {c}] ]
- Hàm [y = frac {ax ^ 2 + bx + c} {dx + e} ] với [a, d neq 0 ] có tâm đối xứng là điểm [[- frac {e } {d}; y [- frac {e} {d}]] ]
Vấn đề: Cho hàm [y = f [x] ] có chứa tham số [m ]. Xác định giá trị của [m ] để hàm số đã cho nhận điểm [I [a; b] ] đã cho làm tâm đối xứng
Để giải quyết vấn đề trên, chúng tôi thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Thực hiện phép tịnh tiến trục tọa độ [Oxy rightarrow IXY ]:
- [ left { begin {matrix} x = X + a \ y = Y + b end {matrix} right. ]
- Bước 2: Viết công thức hàm mới trong hệ tọa độ mới:
- Chúng ta nhận được một hàm có dạng: [Y + b = f [X + a] Leftrightarrow Y = g [X] ]
- Bước 3: Từ hàm trên tìm điều kiện của [m ] để hàm [g [X] ] là hàm lẻ:
Ví dụ:
Tìm giá trị của [m ] để hàm số [y = x ^ 3-3x ^ 2 + 3mx + 3m + 2 ] có tâm đối xứng tại [I [1; 2] ]
Giải pháp:
Vì đây là hàm bậc [3 ] nên tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm uốn của hàm số
Ta có: [y ‘= 3x ^ 2-6x + 3m Rightarrow y’ ‘= 6x-6 ]
[y ”= 0 Mũi tên trái x = 1 ]
Vậy thay vào đó ta lấy tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm [[1; 6m] ]
Vậy gọi [I [1; 2] ] là tâm đối xứng của đồ thị hàm số thì
[6m = 2 Left rightarrow m = frac {1} {3} ]
Vấn đề: Cho hàm [y = f [x] ]. Tìm hai điểm [A; B ] trên đồ thị của hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm đã cho [I [a; b] ].
Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi sử dụng thuộc tính:
Nếu hai điểm [A [x_A; y_A]; B [x_B; y_B] ] đối xứng nhau qua điểm [I [x_0; y_0] ] thì
[ left { begin {matrix} x_A + x_B = 2x_0 \ y_A + y_B = 2y_0 end {matrix} right. ]
Ví dụ:
Cho hàm [y = frac {x} {x-3} ]. Tìm trên đồ thị của hàm số hai điểm [A, B ] sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm [I [0; -1] ]
Giải pháp:
Giả sử hai điểm [A, B ] cần tìm có tọa độ: [A [a; frac {a} {a-3}]; B [b; frac {b} {b-3}] ]
Để hai điểm đối xứng nhau qua [I [0; -1] ] thì:
[ left { begin {matrix} a + b = 0 \ frac {a} {a-3} + frac {b} {b-3} = -1 end {matrix} right. ]
Thay phương trình [[1] ] vào phương trình [[2] ] ta được:
[ frac {a} {a-3} + frac {a} {a + 3} = – 1 Leftrightarrow frac {2a ^ 2} {a ^ 2-9} = 1 ]
[ Leftrightarrow 2a ^ 2 = 9-a ^ 2 Leftrightarrow a ^ 2 = 3 Leftrightarrow a = pm sqrt {3} ]
Vì vậy, chúng ta có hai điểm cần tìm là [ sqrt {3}; frac {1} {1- sqrt {3}}] và [- sqrt {3}; – frac {1} {1+ sqrt {3}}]
Vấn đề: Cho hàm [y = f [x] ] và điểm [I [a; b] ]. Tìm hàm số [y = g [x] ] sao cho đồ thị của nó đối xứng với đồ thị hàm số [f [x] ] qua điểm [I ]
Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Gọi [M [x; y] ] là điểm bất kỳ của hàm [g [x] ] cần tìm. Khi đó luôn có một điểm [M ‘[x_0; y_0] ] trên đồ thị của hàm [f [x] ]
- Bước 2: Tạo mối quan hệ [M ] và [M ‘]
[ left { begin {matrix} x_0 = 2a-x \ y_0 = 2b-y end {matrix} right. ]
- Bước 3: Thay vào biểu thức: [y_0 = f [x_0] ] chúng ta nhận được hàm chúng ta cần tìm
Ví dụ:
Cho đường cong [[C]: frac {x ^ 2 + x-3} {x + 2} ] và điểm [I [-1; 1] ]. Lập phương trình cho đường cong [[C ‘] ] đối xứng với đường cong [[C] ] qua điểm [I ]
Giải pháp:
Gọi [M [x; y] ] là điểm bất kỳ trên đường cong [[C ‘] ] cần tìm. Khi đó luôn tồn tại một điểm [M ‘[x_0; y_0] ] trên đường cong [[C]: frac {x ^ 2 + x-3} {x + 2} ]
Vì [M, M ‘] đối xứng với [I [-1; 1] ] nên ta có:
[ left { begin {matrix} x_0 = -2-x \ y_0 = 2-y end {matrix} right. ]
Vì [M ‘ in [C] ] nên:
[y_0 = f [x_0] ]. Thay vào đó, chúng tôi nhận được:
[2-y = f [-2-x] Mũi tên trái y = 2- frac {[x + 2] ^ 2- [x + 2] -3} {- 2} ]
[ Leftrightarrow y = frac {[x + 2] ^ 2-x-1} {2} = frac {x ^ 2 + 3x + 3} {2} ]
Vậy phương trình đường cong [[C ‘] ] là: [y = frac {x ^ 2 + 3x + 3} {2} ]
Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết và một số dạng bài tập về chủ đề Phép đối xứng tâm của đồ thị hàm số. Hi vọng những kiến thức trong bài sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề Phép đối xứng tâm của đồ thị. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!
Xem thêm >>> Các dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến – Toán 12
Xem thêm >>> Các dạng đồ thị của hàm số bậc nhất, bậc hai, bậc ba và hàm số bậc 4
Xem thêm >>> Các chuyên đề về Cực trị của hàm số bậc 3 và các công thức tính cực nhanh
Xem thêm >>> Cực trị của hàm số là gì? Cực trị của hàm số bậc 3 và bậc 4 và Cực trị của hàm số lượng giác
Các khoa liên quan:
- Khi nào thì đồ thị có tâm đối xứng?
- tọa độ tâm đối xứng của hàm số bậc 3
- tìm m để đồ thị c có điểm i 2 1 là tâm đối xứng
- Đồ thị hàm số nào dưới đây có tâm đối xứng tại điểm i [1; -2]
- cách tìm trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc nhất
- cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc nhất