Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông đó.
2. Công thức
Cho △ABC vuông tại A, ta có công thức định lý Pytago như sau:
BC² = AB² + AC²
hay c² = a² + b²
Trong đó:
- a, b: tương ứng với độ dài hai cạnh góc vuông AB, AC.
- c : tương ứng với độ dài cạnh huyền AB.
3. Chứng minh
Có rất nhiều cách chứng minh định lý Pytago: Chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng, chứng minh theo Euclid, chứng minh bằng cách chia hình và ghép lại, chứng minh bằng đại số, chứng minh bằng vi tích phân… Sau đây là hai cách cơ bản để chứng minh định lý Pytago:
Chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng:
Ta có: △ABC vuông tại A [góc A = 90°], kẻ AH vuông góc với BC tại H
Xét △ABH và △CAB, ta có:
- \[\widehat{AHB}= \widehat{CAB} \] = 90°.
- Chung góc \[\widehat{CBA}.
⇒ △ABH \[\sim\] △CAB [g.g].
⇒ \[\frac{AB}{BC}= \frac{BH}{BC}\]
⇒ AB² = BH. BC.
Cmtt với △ACH và △BCA, ta có:
⇒ AC² = CH. BC.
Ta có: AB² + AC² = BH. BC + CH. BC = BC. [CH + BH] = BC² [đpcm].
Chứng minh bằng cách chia hình và ghép lại:
Nhà toán học Pytago đã chứng minh định lý một cách rất đơn giản chỉ bằng cách chia hình và sắp xếp lại hình vẽ như sau:
Trong hai hình vuông lớn bằng nhau, mỗi hình vuông lớn đều chứa bốn tam giác vuông bằng nhau. Các tam giác vuông được bố trí khác nhau bên trong hai hình vuông lớn tạo ra khoảng trắng bên trong mỗi hình vuông đều có diện tích bằng nhau. Dựa vào hình vẽ trên, hai vùng trắng có diện tích bằng nhau cho phép ta rút ra được kết luận của định lý Pytago.
II. ĐỊNH LÝ PYTAGO ĐẢO
1. Phát biểu định lý
Trong một tam giác, nếu bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.
2. Công thức
Xét △ABC có: BC² = AB² + AC².
⇒ △ABC vuông tại A.
3. Chứng minh
Ta có thể chứng minh định lý đảo Pytago như sau:
Gọi △ABC có các cạnh a, b, c, với c² = a² + b².
Dựng △MNP có các cạnh bằng a và b và góc vuông tạo bởi giữa chúng.
Theo định lý Pytago thuận, cạnh huyền của △MNP vuông bằng \[c=\sqrt {a^2 +b^2}\], và bằng với cạnh còn lại của △ABC.
Vì △ABC và △MNP có ba cạnh tương ứng cùng bằng chiều dài a, b và c.
⇒ △ABC = △MNP.
⇒ Góc giữa các cạnh a và b ở △ABC phải là góc vuông.
⇒ △ABC vuông.
4. Hệ quả
Hệ quả của định lý Pytago đảo là giúp ta xác định được một tam giác là tam giác vuông, tam giác nhọn hay tam giác tù.
Gọi c là cạnh dài nhất của tam giác và có a + b > c [bất đẳng thức trong tam giác hay điều kiện của tam giác].
Định lý Pitago là gì, phát biểu định lý Pytago và phương trình liên hệ, công thức Pitago trong tam giác vuông cũng như ứng dụng trong toán học. Phải nói rằng, Pitago là một trong những định lý quan trọng bậc nhất của hình học và có nhiều ứng dụng trong đời sống, cũng như giải toán. yeutrithuc.com cũng sẽ giúp bạn hiểu về định lý Pitago đảo và các dạng khác nhau của định lý Pytago. Nên nhớ, định lý này nằm trong phần nội dung về hệ thức lượng trong tam giác vuông, bạn nên tìm hiểu thêm.
1.Định lí Pytago
Định lý Pitago [hay Pytago và tên tiếng Anh là Pythagore] là phát biểu về mối liên hệ giữa ba cạnh tam giác vuông. Phát biểu của định lý Pytago cụ thể như sau:
“Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.”
Định lý có thể viết thành một phương trình liên hệ độ dài của các cạnh là a, b và c, thường gọi là “công thức Pytago”
Cho ∆ABC vuông tại A. Với c là độ dài cạnh huyền và a và b là độ dài hai cạnh góc vuông hay còn gọi là cạnh kề.
=> BC2 = AB2 + AC2 hay a2 = b2 + c2.
Hoặc có thể phát biểu Định lý Pytago như sau: Tổng diện tích của hai hình vuông có cạnh là hai cạnh vuông của tam giác vuông [a và b] bằng diện tích của hình vuông có cạnh là cạnh huyền [c].
2.Định lí Pytago đảo.
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bẳng tổng bình phương các cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.
∆ABC :BC2=AB2+AC2
=> Góc BAC^= 902
Định lý pytago là vô cùng quan trọng trong giải quyết các bài toán hình học THCS và hình học không gian THPT.
3.Những dạng khác của định lý Pitago và ứng dụng
Như đã nói ở trên, nếu ký hiệu c là chiều dài cạnh huyền và a, b là chiều dài hai cạnh kề thì ta có biểu thức phương trình Pitago như sau: a2=b2+c2.
- Nếu đã biết chiều dài a và b, ta có thể tính cạnh huyền c bằng công thức: c = √[a2+b2].
- Nếu biết độ dài cạnh huyền và cạnh kề [a hoặc b] thì công thức tính độ dài cạnh kề còn lại như sau: a = √[c2 – b2] hoặc b = √[c2 – a2].
Phương trình Pytago cho liên hệ các cạnh của một tam giác vuông theo cách đơn giản, do đó nếu biếu chiều dài của hai cạnh bất kỳ thì sẽ tìm được chiều dài của cạnh còn lại.
Một hệ quả khác của định lý Pitago là trong bất kỳ tam giác vuông nào, cạnh huyền luôn lớn hơn hai cạnh kia, nhưng bé hơn tổng của hai cạnh.
Bạn có thể ứng dụng định lý Pitago vào việc tìm cạnh của một hình tam giác vuông, hoặc tính khoảng cách 2 điểm trong không gian thực khi biết tọa độ của chúng dưới dạng [x, y].
Định lý khái quát của định lý Pitago cho tam giác bất kỳ này đó là định lý cosin, cho phép tính chiều dài của một cạnh khi biết chiều dài của hai cạnh kia cũng như góc tạo bởi hai cạnh này. Nếu góc giữa hai cạnh này là góc vuông, định lý cos sẽ trở về trường hợp đặc biệt đó là định lý Pytago.
Định lý Pi-ta-go đóng một vai trò quan trọng trong lịch sử toán học, bởi định lý này trở thành cốt lõi của nhiều vấn đề trong hình học, là cầu nối giữa hình học và đại số và là nền tảng của lượng giác. Hiện tại, định lý Pi-ta-go có tới hơn 400 chứng minh với những cách khác nhau, thể hiện sự quan tâm lớn của giới khoa học và người dân.
Pythagoras hay Pitago là nhà triết học người Hy Lạp và cũng là nhà khoa học, toán học vĩ đại của nhân loại. Trong tiếng Việt, tên của ông được phiên âm từ tiếng Pháp Pythagore thành Pi-ta-go. Chính Pythagoras là người đã chứng minh tổng 3 góc của một tam giác bằng 180 độ và nổi tiếng nhất với Định lý toán học Pitago.
Trên đây là phương trình, công thức và phát biểu của định lý Pitago nổi tiếng trong hình học. Ý nghĩa và ứng dụng của định lý Pytago cũng rất lớn, nếu học chương trình cấp 2 và cấp 3 mà không nhớ công thức a2=b2+c2 thì rất khó để làm toán. Hy vọng bạn đã nắm rõ kiến thức về định lý Pitago để áp dụng vào từng bài tập và đời thực.