Tính đạo hàm của hàm số \[{g}'\left[ x \right],\] xác định nghiệm của phương trình \[g\left[ x \right]=0\] thông qua đồ thị hàm số \[{f}'\left[ x \right]\] suy ra số điểm cực trị của hàm số \[y=g\left[ x \right]\]
Đặt \[g\left[ x \right] = 3f\left[ {f\left[ x \right]} \right] + 4\]. Số điểm cực trị của hàm số \[g\left[ x \right] = 3f\left[ {f\left[ x \right]} \right] + 4\] bằng với số điểm cực trị của hàm số \[f\left[ {f\left[ x \right]} \right]\] tức hàm số \[f\left[ u \right]\] trên. Từ bảng biến thiên của \[f\left[ u \right]\], ta được \[g\left[ x \right]\] có 8 cực trị.
\[\begin{array}{l}g’\left[ x \right] = f'[x – 2018] – 2019\\g’\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow f'[x – 2018] = 2019\,\,\,[1]\end{array}\]
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = f'[x – 2018]\] và đường thẳng \[y = 2019\].
Đồ thị\[y = f'[x – 2018]\] được vẽ bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số \[y = f’\left[ x \right]\] về bên phải 2018 đơn vị theo phương của trục \[Ox.\] Do đó, số nghiệm của phương trình \[\left[ 1 \right]\] bằng số nghiệm của phương trình \[f'[x] = 2019\].
Từ đồ thị hàm số\[y = f’\left[ x \right]\]suy ra đường thẳng \[y = 2019\] cắt đồ thị hàm số \[y = f’\left[ {x – 2018} \right]\] tại một điểm duy nhất, tức là phương trình [1] có nghiệm duy nhất.
Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số \[g\left[ x \right]=f\left[ f\left[ x \right] \right]\] là.
- A. 7
- B. 6
- C. 5
- D. 3
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Ta có \[g'\left[ x \right] = f'\left[ x \right].f'\left[ {f\left[ x \right]} \right]\].
\[g'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f'\left[ x \right] = 0\\ f'\left[ {f\left[ x \right]} \right] = 0 \end{array} \right.\].
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\].
\[f'\left[ {f\left[ x \right]} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left[ x \right] = 0\left[ * \right]\\ f\left[ x \right] = 2\left[ {**} \right] \end{array} \right.\]
Dựa vào đồ thị suy ra:
Phương trình [*] có hai nghiệm \[\left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 2 \end{array} \right.\].
Phương trình [ **] có ba nghiệm \[\left[ \begin{array}{l} x = m\left[ { - 1 < n < 0} \right]\\ x = n\left[ {0 < n < 1} \right]\\ x = p\left[ {p > 2} \right] \end{array} \right.\]
\[g'\left[ x \right] = 0\] có nghiệm \[\left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = m\\ x = 0\\ x = n\\ x = 2\\ x = p \end{array} \right.\].
Bảng biến thiên
Nhìn bảng biến thiên ta thấy hàm số \[g\left[ x \right] = f\left[ {f\left[ x \right]} \right]\] có 6 cực trị.