Cho hình vẽ trong đó hai đường tròn có cùng tâm O Cho biết AB>CD so sánh KM và KN
|
Trong một đường tròn: + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. + Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Trong hai dây của một đường tròn: + Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. + Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. B.CÁC DẠNG BÀI TỰ LUẬN MINH HỌA Dạng 1: Các bài toán liên quan đến tính toán trong đường tròn Bài 1. Cho đường tròn O có bán kính . Dây HK của đường tròn vuông góc với OI tại trung điểm của OI . Tính độ dài HK . Bài 2. Cho đường tròn O , đường kính AD 2R . Vẽ cung tâm D bán kính R , cung này cắt đường tròn O ở B và C . a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao? b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA . c) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Bài 3. Cho đường tròn O bán kính OA 4cm . Dây BC vuông góc với OA tại trung điểm của OA . Tính độ dài BC . Bài 4. Cho đường tròn O đường kính AD , dây AB . Qua B vẽ dây BC vuông góc với AD tại H . Biết AB 10cm; BC 12cm Tính độ dài đoạn AH . b) Tính bán kính đường tròn O . 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Bài 5. Cho nửa đường tròn O đường kính AD . Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C . Biết AB BC 2 5cm, CD 6cm . Tính bán kính đường tròn Bài 6. Cho đường tròn O; R đường kính AB . Gọi M là một điểm nằm giữa A và B . Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB . Lấy điểm E đối xứng với A qua M . a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? b) Giả sử R 6,5cm, MA 4cm . Tính CD . c)* Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB . Chứng minh: MH .MK MC 3 . 2R Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng không bằng nhau Bài 1. Cho tam giác ABC , các đường cao AH và CK . Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A, C , H , K cùng thuộc một đường tròn; b) HK AC. Bài 2. Cho đường tròn O, R và ba dây AB, AC, AD ; gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B trên các đường thẳng AC, AD . Chứng minh rằng MN 2R . ˆ D ˆ 900 . Bài 3. Tứ giác ABCD có B a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. b) So sánh độ dài AC và BD . Nếu AC BD thì tứ giác ABCD là hình gì? Bài 4. Cho đường tròn (O, 4cm) Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ACBD . Dạng 3: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB và dây EF không cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến EF . Chứng minh rằng IE KF . Bài 2. Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua tâm. Gọi M là trung điểm của AB . Qua M vẽ dây CD không trùng với AB . Chứng minh rằng điểm M không là trung điểm của CD . Bài 3. Cho đường tròn tâm O , đường kính CD . Dây AB cắt đường kính CD tại I . Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ C và D đến AB . Chứng minh rằng AH BK . Bài 4. Cho đường tròn O, R đường kính AB . Gọi M là một điểm nằm giữa A và B . Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB . Lấy điểm E đối xứng với A qua M . a) Tứ giác ACED là hình gì? Tại sao? b) Giả sử R 6cm và MA 4cm , hãy tính CD . c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB . Chứng minh MH.MK 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com MC 3 . 2R HƯỚNG DẪN Dạng 1: Các bài toán liên quan đến tính toán trong đường tròn Bài 1. Gọi M là trung điểm của OI. Ta có: OM OI 2cm 2 H Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông OMH: OH 2 OM 2 MH 2 MH 2 OH 2 OM 2 42 22 12 O I M MH 2 3cm Vì OI ⊥ HK nên M là trung điểm của HK. Do đó: K HK 2 MH 4 3cm Bài 2. a) Theo bài ra, ta có BD DC R OB BD DC CO . Do đó, tứ giác OBDC là hình thoi. 60 b) Vì OB BD DO R nên tam giác BOD là tam giác đều, suy ra DBO Vì BC là đường chéo của hình thoi nên là đường phân giác của góc DBO. CBO 30 . Do đó: DBC Tam giác ABD nội tiếp đường tròn đường kính AD nên ADB 90 90 60 30 ABO ABD OBD Suy ra c) Xét tam giác ABC, ta có B 30 30 60 ABC ABO OBC ACB 60 Tương tự Vậy tam giác ABC là tam giác đều. A O D C Bài 3. 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 1 1 Ta có: OM MA OA .4 2cm 2 2 B Xét OMB vuông tại M MB 2 OB2 OM 2 ( Định lí Pytago) Xét O có OA BC tại M MB MC M O MB 2 42 22 12 MB 2 3cm 1 BC 2 A C BC 2 MB 4 3cm Bài 4 a) Xét O có AD BC tại H HB HC B 1 1 BC .12 6cm 2 2 Xét AHB vuông tại H D O H AH 2 AB 2 HB 2 ( Định lí Py ta go) AH 2 102 62 64 AH 8cm C b) Xét ABD có cạnh AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ABD vuông tại B AB 2 AH . AD ( Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) 12,5 AB 2 100 12,5cm OA 6, 25cm 8 2 AH Vậy bán kính đường tròn O là 6,25cm Bài 5. Ta có AB BC B đường trung trực của AC C OA OC R O đường trung trực của AC B OB là đường trung trực của AC IA IC I OI là đường trung bình của ADC 1 1 OI CD .6 3cm 2 2 Xét OIC vuông tại I IC 2 OC 2 OI 2 R 2 9 ( Định lí Py ta go) Xét BIC vuông tại I IC 2 BC 2 BI 2 (2 5) 2 ( R 3) 2 ( Định lí Py ta go) R 2 9 (2 5) 2 ( R 3) 2 R 2 3R 10 0 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A O D R 5cm hoặc R 2cm ( loại) Vậy bán kính đường tròn là 5cm. 1 a) Xét O có AB CD tại M MC MD CD 2 C Xét tứ giác ACED có MC MD; MA ME H tứ giác ACED là hình bình hành Mặt khác AE CD ACED là hình thoi. M O E B b) Ta có AB 2.R 13cm MB AB AM 13 4 9cm D Xét ABC có cạnh AB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ABC vuông tại C Áp dụng hệ thức h2 b ‘.c ‘ ta có MC 2 MA.MB 4.9 36 MC 6cm CD 2.MC 2.6 12cm c) Xét MAC vuông tại M có đường có MH , áp dụng hệ thức b.c a.h ta có MH . AC MA.MC MH MA.MC MB.MC . Tương tự MK AC BC MA.MC MB.MC MC 2 .MA.MB MC 2 .MC 2 MC 3 . . 2R AC BC AC.BC MC. AB Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng không bằng nhau Bài 1. a) Gọi I là trung điểm của AC. Áp dụng tính chất A đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tam K 1 IK IH AC 2 Suy ra điểm I cách đều 4 điểm A, K, H, C Vậy bốn điểm A, K, H, C cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính AI . b) Trong đường tròn ( I , AI ), AC là đường kính, HK là dây phân biệt với AC nên HK AC Bài 2. 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com B C H Gọi I là trung điểm của AB . Áp dụng tính chất đường A trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tam giác N vuông ABN , ABM ta có: cách đều 4 điểm A, B, M , N O I 1 IM IN AB IM IN IA IB Suy ra điểm I 2 D M Do đó bốn điểm A, B, M , N cùng thuộc đường tròn tâm C I bán kính AI . Hình 4 Trong đường tròn ( I , AI ), AB là đường kính, MN là dây nên MN AB (1) Mặt khác, trong đường tròn (O, R), AB là dây nên AB 2 R (2). Từ (1) và (2) ta được MN 2 R . Bài 3. a) Gọi O là trung điểm của AC , áp dụng tính chất B đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tam C Suy ra bốn điểm A, B, C , D nằm trên đường tròn đường O kính AC . D AC nên BD AC Hình 5 Nếu BD AC thì BD cũng là một đường kính khác của đường tròn tâm O đường kính AC . Suy ra, BCD 90 BAD Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật. Bài 4. Ta có AB, CD là dây của đường tròn (O, 4cm) suy ra C AB 4cm, CD 4cm . B Vì tứ giác ACBD có AB CD nên S ABCD 1 1 AB.CD 4.4(cm2 ) 8(cm2 ) 2 2 A D 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Vậy diện tích lớn nhất của tứ giác ACBD bằng 8(cm 2 ) AB và CD là đường kính của hình tròn. Dạng 3: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Bài 1. Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ O đến IK , ta có AI / /OM / / BK , mặt khác OA ON K F suy ra E I MI MK (1) OM là phần đường kính vuông góc với dây EF nên A B O ME MF (2) Hình 7 Từ (1) và (2) suy ra IE KF . Bài 2. Giả sử M là trung điểm của CD , ta có OM CD . B Mặt khác M là trung điểm của AB nên OM AB C M Suy ra AB CD (trái giả thiết). A O Vậy M không là trung điểm của CD . D Hình 8 Bài 3. B AM BM (1) K Tam giác CKD có ON / / KD, OC OD nên NC NK N M I D H (2) AM MH BM MK AH KB . Bài 4. a) Đường tròn (O, R) có đường kính CD , AB là dây mà AB CD MC MD mà MA ME Suy ra tứ giác ACED là hình bình hành. Mặt khác AE CD nên ACED là hình thoi 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A Hình 9 ACB 90 . b) Do C nằm trên đường tròn đường kính AB nên Trong tam giác vuông ACB có MC D là đường cao nên MC 2 MA.MB 4.(10 4) 24 MC 2 6 MH . AC MA.MC MH MA.MC MB.MC Do đó MA.MC MB.MC MC 2 .MA.MB MC 2 .MC 2 MC 3 . AC BC AC.BC MC.BC BC 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com O M A B H K C Hình 10 C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ Câu 1: Cho đường tròn (O ) đường kính AB và dây CD không đi qua tâm. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AB > CD . B. AB = CD . C. AB < CD . D. AB £ CD . Câu 2: “Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài …”. Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là: A. Nhỏ nhất. B. Lớn nhất. C. Bằng 10cm . D. Bằng tổng hai dây bất kỳ. Câu 3: Cho đường tròn (O ) có hai dây AB,CD không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến hai dây là bằng nhau. Kết luận nào sau đây là đúng? A. AB > CD . B. AB = CD . C. AB < CD . D. AB //CD . Câu 4: Cho đường tròn (O ) có hai dây AB,CD không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến dây AB lớn hơn khoảng cách từ tâm O đến dây CD . Kết luận nào sau đây là đúng? A. AB > CD . B. AB = CD . C. AB < CD . D. AB //CD . Câu 5: “Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì … của dây ấy”. Điền vào dấu … cụm từ thích hợp. A. Đi qua trung điểm. B. Đi qua giao điểm của dây ấy với đường tròn. C. Đi qua điểm bất kì. D. Đi qua điểm chia dây ấy thành hai phần có tỉ lệ 2 : 3 . Câu 6: “Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm thì … với dây ấy”. điền vào dấu … cụm từ thích hợp. A. Nhỏ hơn. B. Bằng. C. Song song. D. Vuông góc. Câu 7: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. Trong hai dây của một đường tròn. A. Dây nào lớn hơn thì dây đó xa tâm hơn. B. Dây nào nhỏ hơn thì dây đó xa tâm hơn. C. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. D. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. Câu 8: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. Trong hai dây của đường tròn. A. Dây nào lớn hơn thì dây đó xa tâm hơn. B. Hai dây đi qua tâm thì vuông góc với nhau. C. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn. D. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Câu 9: Cho đường tròn (O ) có bán kính R = 5 cm . Khoảng cách từ tâm đến dây AB là 3cm . Tính độ dài dây AB . A. AB = 6 cm . B. AB = 8 cm . C. AB = 10 cm . D. AB = 12 cm . Câu 10: Cho đường tròn (O ) có bán kính R = 6, 5 cm . Khoảng cách từ tâm đến dây AB là 2, 5cm . Tính độ dài dây AB . A. AB = 6 cm . B. AB = 8 cm . C. AB = 10 cm . 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D. AB = 12 cm . Câu 11: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB,CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I . Giả sử IA = 2cm; IB = 4cm . Tổng khoảng cách từ tâm O dây AB,CD là: A. 4cm . B. 1cm . C. 3cm . D. 2cm . Câu 12: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB,CD vuông góc với nhau ở M . Biết AB = 16 cm;CD = 12 cm; MC = 2 cm . Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là: A. 4cm . B. 5cm . C. 3cm . D. 2cm . Câu 13: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB,CD vuông góc với nhau ở M . Biết CD = 8 cm; MC = 1cm . Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là: A. 4cm . B. 5cm . C. 3cm . D. 2cm . Câu 14: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB,CD vuông góc với nhau ở M . Biết AB = 14 cm;CD = 12 cm; MC = 2 cm . Bán kính R và khoảng cách từ tâm O đến dây CD lần lượt là A. 8 cm; 29 cm . B. 65 cm; 29 cm . C. 29 cm; 65 cm . D. 29 cm; 8 cm . Câu 15: Cho đường tròn (O; R) có hai dây AB,CD vuông góc với nhau ở M . Biết AB = 10 cm;CD = 8 cm; MC = 1cm . Bán kính R và khoảng cách từ tâm O đến dây CD lần lượt là A. 34cm; 9cm . B. 6cm; 3cm . C. 34cm; 3 2cm . D. 3 2cm; 34cm . Câu 16: Cho nửa đường tròn (O ) , đường kính AB và một dây MN . Kẻ AE và BF vuông góc với MN lần lượt tại E và F . So sánh độ dài OE và OF . A. OE = OF . 3 2 B. OE = OF . C. OE < OF . D. OE > OF . Câu 17: Cho nửa đường tròn (O ) , đường kính AB và một dây CD . Kẻ AE và BF vuông góc với CD lần lượt tại E và F . So sánh độ dài CE và DF . A. CE > DF . B. CE = 2DF . C. CE < DF . D. CE = DF . Câu 18: Cho đường tròn (O ) , đường kính AB . Kẻ hai dây AC và BD song song. So sánh độ dài AC và BD . A. AC > BD . B. AC < BD . C. AC = BD . D. AC = 3BD . Câu 19: Cho đường tròn (O ) , đường kính AB . Lấy điểm C là trung điểm đoạn OB . Kẻ dây MN qua C và dây AD //MN . So sánh độ dài AD và MN . A. AD = 2.MN . B. AD = MN . C. AD > MN . D. AD < MN . Câu 20: Cho đường tròn (O ) , dây cung AB và CD với CD < AB . Giao điểm K của các đường thẳng AB và CD nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường tròn (O ;OK ) , đường tròn này cắt KA và KC lần lượt tại M và N . So sánh KM và KN . 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A. KN > KM . B. KN < KM . C. KM = KN . D. KN = 4 KM . 3 Câu 21: Cho đường tròn (O ) , dây cung AB và CD với CD = AB . Giao điểm K của các đường thẳng AB và CD nằm ngoài đường tròn. Vẽ đường tròn (O ;OK ) , đường tròn này cắt KA và KC lần lượt tại M và N . So sánh KM và KN . A. KN > KM . B. KN < KM . C. KM = KN . D. KN = 4 KM . 3 Câu 22: Cho đường tròn (O;10cm ) . Dây AB và CD song song, có độ dài lần lượt là 16cm và 12cm . Tính khoảng cách giữa hai dây. A. 14cm . B. 10cm . C. 12cm . D. 16cm . Câu 23: Cho đường tròn (O; 8cm ) . Dây AB và CD song song, có độ dài lần lượt là 14cm và 10cm . Tính khoảng cách giữa hai dây A. 2 15 (cm) . B. 2 39 (cm) . C. 39 + 15 (cm ) . 2 D. 39 + 15 (cm ) . Câu 24: Cho tam giác ABC nhọn và có các đường cao BD,CE . So sánh BC và DE . A. BC = DE . B. BC < DE . C. BC > DE . 2 D. BC = DE . Câu 25: Cho đường tròn (O ) đường kính AB = 14cm , dây CD có độ dài 12cm vuông góc với AB tại A. 7 + 13 cm . B. 7 – 13 cm . C. 7cm . D. 7 – 2 13 cm . Câu 26: Cho đường tròn (O ) đường kính AB = 20cm , dây CD có độ dài 16cm vuông góc với AB tại A. 12cm . B. 18cm . C. 16cm . D. 15cm . Câu 27: Cho hình vuông ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC . Gọi E là giao điểm của A. AM = 3 AE . 2 B. DM < AE . C. DM = AE . HƯỚNG DẪN 1. Lời giải: Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. Đáp án cần chọn là A. 2. Lời giải: Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất. Đáp án cần chọn là B. 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D. DM > AE . 3. Lời giải: Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Đáp án cần chọn là B. 4. Lời giải: Trong một đường tròn: Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. Từ đề bài ta thấy dây CD gần tâm hơn dây AB nên CD > AB . Đáp án cần chọn là C. 5. Lời giải: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Đáp án cần chọn là A. 6. Lời giải: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. Đáp án cần chọn là D. 7. Lời giải: Trong một đường tròn: + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. Trong hai dây của một đường tròn: + Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. + Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. Nên phương án B, C, D đúng. Đáp án cần chọn là A. 8. Lời giải: Trong một đường tròn: + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. Trong hai dây của một đường tròn: + Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. + Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. + Hai dây đi qua tâm thì chưa chắc vuông góc với nhau nên B sai. Nên phương án A, B, C sai, D đúng. Đáp án cần chọn là D. 9. Lời giải: 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com O A B H Kẻ OH ^ AB tại H suy ra H là trung điểm của AB . Xét tam giác OHB vuông tại H có OH = 3;OB = 5 . Theo định lý Pytago ta có: HB = OB 2 – OH 2 = 52 – 32 = 4 . Mà H là trung điểm của AB nên AB = 2HB = 8 cm . Vậy AB = 8 cm . Đáp án cần chọn là B. 10. Lời giải: Kẻ OH ^ AB tại H suy ra H là trung điểm của AB . Xét tam giác OHB vuông tại H có OH = 2, 5;OB = 6, 5 . Theo định lý Pytago ta có: HB = OB 2 – OH 2 = 6, 52 – 2, 52 = 6 . Mà H là trung điểm của AB nên AB = 2HB = 12 cm . Vậy AB = 12 cm . Đáp án cần chọn là D. 11. Lời giải: C O B E F A D Xét đường tròn tâm (O ) . Kẻ OE ^ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB , kẻ OF ^ CD tại F . Vì dây AB = CD nên OE = OF (hai dây bằng nhâu thì cách đều tâm). =F = I = 90 nên OEIF là hình chữ nhật và OE = OF nên OEIF là hình Xét tứ giác OEIF có E vuông OE = OF = EI . Mà AB = IA + IB = 6 cm EB = 3 cm EI = EB – IB = 1cm nên OE = OF = 1cm Vậy tổng khoảng cách từ tâm đến hai dây AB,CD là 2cm . 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Đáp án cần chọn là D. 12. Lời giải: D O A E F B C Xét đường tròn tâm (O ) . Kẻ OE ^ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB , kẻ OF ^ CD tại F suy ra F là trung điểm của CD . =F =M = 90 Xét tứ giác OEMF có E nên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE . Ta có CD = 12cm FC = 6cm mà MC = 2cm FM = FC – MC = 4cm nên OE = 4cm Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 4cm . Đáp án cần chọn là A. 13. Lời giải: Xét đường tròn tâm (O ) . Kẻ OE ^ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB , kẻ OF ^ CD tại F suy ra F là trung điểm của CD . =F =M = 90 Xét tứ giác OEMF có E nên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE . Ta có CD = 8 cm FC = 4 cm mà MC = 1cm FM = FC – MC = 4 – 1 = 3 cm nên Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 3cm . Đáp án cần chọn là C. 14. Lời giải: Lấy E , F lần lượt là trung điểm của hai dây AB và CD . Khi đó: OE ^ AB;OF ^ AC lại có FME = 90 nên OEMF là hình chữ nhật. Suy ra OE = MF = CF – MC = 4 cm . xét đường tròn (O ) , có OE = 4 cm, E là trung điểm của AB nên AE = 14 = 7 cm . 2 Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OEA ta có OA = AE 2 + OE 2 = 65 nên R = 65 . Lại có OD = 65 cm ; FD = 6 cm nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFD ta có: OF = OD2 – FD2 = 29 cm . 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Do đó khoảng cách từ tâm đến dây CD là 29 cm . Đáp án cần chọn là B. 15. Lời giải: Xét đường tròn tâm (O ) . Kẻ OE ^ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB , kẻ OF ^ CD tại F suy ra F là trung điểm của CD . =F =M = 90 Xét tứ giác OEMF có E nên OEIF là hình chữ nhật, suy ra FM = OE . Ta có CD = 8cm FC = 4cm mà MC = 1cm FM = FC – MC = 4 – 1 = 3cm nên OE = FM = 3cm . 14 = 7 cm . 2 Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OEA ta có OA = AE 2 + OE 2 = 34 nên R = 34 . CD = 4 nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFD ta có: 2 OF = OD 2 – FD 2 = 34 – 16 = 3 2 . Do đó khoảng cách từ tâm đến dây CD là 3 2cm . Đáp án cần chọn là C. 16. Lời giải: N F I E M A O B Lấy I là trung điểm của EF . Xét tứ giác AEFB có AE //FB (vì cùng vuông với EF ) nên AEFB là hình thang vuông tại E ; F Ta có OI là đường trung bình của hình thang AEFB nên OI //AE //FB OI ^ EF Hay OI ^ CD nên I là trung điểm của CD (quan hệ giữa dây và đường kính) Xét tam giác OEF có OI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên D OEF cân tại O . Suy ra OE = OF . Đáp án cần chọn là A. 17. Lời giải: 15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D F I E C O A B Lấy I là trung điểm của EF . Xét tứ giác AEFB có AE //FB (vì cùng vuông với EF ) nên AEFB là hình thang vuông tại E ; F Ta có OI là đường trung bình của hình thang AEFB nên OI //AE //FB OI ^ EF Hay OI ^ CD nên I là trung điểm của CD (quan hệ giữa dây và đường kính) Ta có IE = IF ; IC = ID IE – IC = IF – ID EC = DF . Đáp án cần chọn là D. 18. Lời giải: C E O A B F Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với AC tại E và cắt BD tại F thì EF ^ BD tại F vì AC //BD . = FBO Xét hai tam giác vuông OEA và tam giác OFB có OB = OA; EAO (so le trong) Nên D AEO = D BFO (ch-gn) OE = OF AC = DB (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau). Đáp án cần chọn là C. 19. Lời giải: D N E O A C B F M Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với AC tại E và cắt BD tại F thì EF ^ BD tại F vì AC //BD . = OFC = 90; AOE = FOC Xét hai tam giác vuông OEA và tam giác OFB có AEO (đối đỉnh) Nên D AEO D CFO (g – g) OE OA OE OA mà OA = OB = 2.OC = = 2 OE = 2OF = OF OC OF OC 16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Hay OE > OF suy ra AD < MN (dây nào xa tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn). Đáp án cần chọn là D. 20. Lời giải: N C E D K B F A M Xét đường tròn (O;OB) Kẻ OE ^ CD;OF ^ AB tại E , F mà CD < AB OE > OF (dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn) Xét đường tròn (O;OK ) có OE ^ KN ;OF ^ KM tại E , F mà OE > OF KN < KM (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây) Đáp án cần chọn là B. 21. Lời giải: N C E D K B F A M Xét đường tròn (O;OB) Kẻ OE ^ CD;OF ^ AB tại E , F mà CD < AB OE > OF (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm) Xét đường tròn (O;OK ) có OE ^ KN ;OF ^ KM tại E , F mà OE = OF KN = KM (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây) Đáp án cần chọn là C. 22. Lời giải: D E C B O F A 17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với CD tại E và cắt AB tại F thì EF ^ AB vì AB//CD . Khi đó E là trung điểm của CD và F là trung điểm của AB (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó) Nên ED = 6cm; FB = 8cm;OD = OB = 10cm Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OED ta được OE = OD 2 – ED 2 = 8cm . Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFB ta được OF = OB 2 – FB 2 = 6cm . Vậy khoảng cách giữa hai dây là EF = OE + OF = 14cm . Đáp án cần chọn là A. 23. Lời giải: D E C B O F A Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với CD tại E và cắt AB tại F thì EF ^ AB vì AB//CD . Khi đó E là trung điểm của CD và F là trung điểm của AB (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó) Nên ED = CD AB = 5cm; FB = = 7cm;OD = OB = 8cm 2 2 Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OED ta được OE = OD 2 – ED 2 = 82 – 52 = 39cm . Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OFB ta được OF = OB2 – FB2 = 82 – 72 = 15 cm . Vậy khoảng cách giữa hai dây là EF = OE + OF = 39 + 15 cm . Đáp án cần chọn là D. 24. Lời giải: 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A O E D C B I Lấy I là trung điểm của BC BC . 2 Xét tam giác vuông BEC có EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên EI = IB = IC = BC Từ đó ID = IE = IB = IC = BC hay bốn điểm B,C , D, E cùng thuộc đường tròn 2 æ BC ö÷ ççI ; ÷ çè 2 ÷÷ø æ BC ö÷ ÷÷ có BC là đường kính và DE là dây không đi qua tâm nên BC > DE . Xét çççI ; çè 2 ø÷ Đáp án cần chọn là C. 25. Lời giải: D A O H B C Xét (O ) có AB ^ CD tại H và AB là đường kính nên H là trung điểm của CD CD = 6cm 2 Vì AB = 14 OA = OB = OD = 14 = 7cm 2 Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OHD ta được OH = OD 2 – DH 2 = 13 Khi đó HA = OA + OH = 7 + 13 cm . Đáp án cần chọn là A. 26. Lời giải: 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com D O A H B C Xét (O ) có AB ^ CD tại H và AB là đường kính nên H là trung điểm của CD CD = 8cm 2 Vì AB = 20 OA = OB = OD = 20 = 10cm 2 Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OHD ta được OH = OD 2 – DH 2 = 102 – 82 = 6 Khi đó HA = OA + OH = 10 + 6 = 16cm . Đáp án cần chọn là C. 27. Lời giải: D C I A E M N B = ECN + ECN = CNE + CDN = 90 + Ta có CDN (vì cùng phụ với CNE ) nên CNE suy ra = 90 CM ^ DN CEN + Gọi I là trung điểm của DM Xét tam giác vuông ADM ta có AI = ID = IM = EI = ID = IM = DM . Xét tam giác vuông DEM ta có: 2 DM Nên EI = ID = IM = IA = DM . 2 Do đó bốn điểm A, D, E , M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = DM . 2 æ DM ö÷ ÷÷ có DM là đường kính và AE là dây không đi qua tâm nên DM > AE . Xét çççI ; çè 2 ø÷ Đáp án cần chọn là D. D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tam giác ABC , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . a) Chứng minh rằng B, E , D,C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng A, D, H , E cùng thuộc một đường tròn. c) Chứng minh rằng BC > DE ; AH > DE . = 900 Bài 2: Cho đường tròn (O; R) , A và B thuộc đường tròn (O ) sao cho AOB . Gọi M là trung điểm AB . a) Chứng minh rằng OM ^ AB b) Tính độ dài AB,OM theo R . = 1200 . Vẽ Bài 3: Cho đường tròn (O; R) , A và B di động trên đường tròn (O ) thỏa mãn AOB OH ^ AB tại H . a) Chứng minh H là trung điểm của AB b) Tính OH , AB . Diện tích OAB theo R . c) Tia OH cắt đường tròn (O; R) tại C . Tứ giác OABC là hình gì? Vì sao? Bài 4: Cho một nửa đường tròn (O ) có đường kính AB và một dây cung CD . Vẽ AP và BS vuông góc với CD(P Î CD, S Î CD ) . Chứng minh: a) P và S ở ngoài đường tròn (O ) b) PC = DS c) S APSB = S ACB + S ADB . Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và một dây cung AB . Gọi I là trung điểm của AB . Tia OI cắt cung AB tại M . a) Cho R = 5cm; AB = 6cm . Tính độ dài dây cung MA b) Gọi N là điểm đối xứng của M qua O , giả sử MA = 5cm; AB = 6cm . Tính bán kính R . Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Trên đoạn thẳng OA lấy điểm C và trên đoạn thẳng OB lấy điểm D sao cho OC = OD . Từ C và D kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn ở E và F . Gọi I là trung điểm của EF . Chứng minh rằng: SCEF + S DEF = EF .OI . Bài 7: Cho đoạn thẳng AB = 6cm . Các đường tròn đi qua A, B đường tròn nào có độ dài bán kính nhỏ nhất. Bài 8: Cho đường tròn (O; R) . Các điểm A, B,C , D thuộc đường tròn (O; R) . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD . 21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Bài 9: Cho tam giác nhọn ABC . D là điểm di động trên cạnh BC . Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ACD . Xác định vị trí của D để tổng R1 + R2 nhỏ nhất. Bài 10: Cho đường tròn (O; R) . A là điểm nằm ngoài đường tròn (O ) . Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O ) tại B,C . Xác định vị trí của d để AB + AC lớn nhất. Bài 11: Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Vẽ dây CD không qua tâm và không vuông góc với AB . Qua A và B vẽ các đường vuông góc với CD tại E và F . Chứng minh CF = DE . Bài 12: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB . C , D là hai điểm trên nửa đường tròn (O ) sao cho = 450 , DAB = 300 AC CAB . cắt BD tại M , AD cắt BC tại N . a) Chứng minh rằng MN ^ AB b) Tính diện tích ABM theo R . Bài 13: Cho đường tròn (O; R) và l (O < l < 2R) a) Tìm quỹ tích trung điểm M của tất cả các dây cung AB = 1 của đường tròn (O ) b) Gọi C , D là hai điểm tùy ý sao cho CD = 1 . Hãy dựng hình bình hành CDEF sao cho E , F nằm trên đường tròn (O; R) . (Chỉ trình bày cách dựng và chứn minh). HƯỚNG DẪN Bài 1: a) = 900 (CE ^ AB ), BDC = 900 (BD ^ AC ) BEC A Gọi M là trung điểm BC , DEBC vuông tại E có EM là đường trung tuyến ME = MB = MC = D BC 2 Tương tự: MD = MB = MC = E BC 2 H B M C Ta có: MB = ME = MD = MC B, E , D,C cùng thuôc đường tròn tâm M b) Chứng minh tương tự có A, D, H , E cùng thuộc đường tròn c) BED = 900 , DE là dây cung khác đường kính đường tròn đường kính BC BC > DE Chứng minh tương tự có: AH > DE . Bài 2: a) = 900 ¹ 1800 A AB không là đường kính của đường tròn (O ) M là trung điểm của dây cung AB O B Nên OM ^ AB DOAB vuông tại O có: OA = OB(= R) nên là tam giác vuông cân AB = OA 2 = R 2 . DOAB vuông tại O , OM là đường trung tuyến nên: OM = 1 2 AB = R 2 2 C Bài 3: H A AB là dây cung của đường tròn (O ) OH ^ AB (gt) B O H là trung điểm của đoạn thẳng AB . b) DOAB cân tại O (vì OA = OB = R ) có: OH là đường trung tuyến nên cũng là đường phân giác. = HOB = 1 AOB = 600 AOH 2 = 600 Tam giác HAO vuông tại H có AOH nên là nửa tam giác đều. 1 1 3 3 OH = OA = R; AH = OA = R; AB = 2AH = 3R 2 2 2 2 1 1 1 3 2 SOAB = OH .AB = . R. 3R = R (đvdt) 2 2 2 4 c) 1 1 HC = OC – OH = R – R = R 2 2 1 2 Tứ giác OACB có HA = HB, HO = HC (= R) Nên là hình bình hành. Mà OA = OB(= R) Do đó OACB là hình thoi Bài 4: a) Gọi I là trung điểm PS AP ^ PS (gt), BS ^ PS (gt) AP BS APSB là hình thang Nên OI là đường trung bình của hình thang APSB Ta có OI là đường trung trực của PS P C I D S F 23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A H EO K B OP = OS + ABS = 1800 (AP BS ) PAB ³ 900 hoặc ABS ³ 900 PAB ³ 900 . Giả sử PAB DAPO có PAD ³ 900 OP > OA = R Ta cũng có OS = OP > R S nằm ngoài đường tròn (O; R) . OI ^ CD IC = ID Do đó: IP = IC = IS – ID PC = DS Hạ CH , IE và DK vuông góc với AB . Ta có tứ giác HCDK là hình thang và IE là đường trung bình nên: CH + DK . Ta có: 2 1 1 S ACB + S ADB = CH .AB + DK .AB 2 2 = 1 (CH + DK ).AB 2 = IE .AB (1) (Vì OI = 1 (CH + DK ) ) 2 Giả sử AP < BS , hạ AF ^ BS , ta có: S APSB = 1 1 (AP + BS ).AF (2) (Vì OI = (AP + BS ) ) 2 2 Mặt khác: DOEI ∽ DBFA = FBA (Vì Vì IOE OI BS ) và E = F (= 900 ) Cho ta: EI OI = hay EI .BA = OI .FA (3) FA BA Từ (1), (2) và (3) cho ta: S APSB = S ACB + S ADB . Bài 5: a) Vì I là trung điểm của dây AB nên: IA = IB = AB 6 = = 3 (cm) 2 2 Và OI ^ AB A DOIA( I = 900 ) E OI 2 = OA2 – IA2 = 52 – 32 = 16 24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com N O M I B OI = 4cm IM = 1cm DAIM cho ta: AM 2 = AI 2 + IM 2 = 32 + 12 = 10 AM = 10 b) Gọi E là trung điểm của dây NA Ta có OE ^ NA và NE = EA = 2, 5cm DIAN cho ta: IN 2 = NA2 – AI 2 = 52 – 32 = 16 IN = 4(cm ) DNEO DNIA cho ta: ON = NE ON = NI NA NE .NA 2, 5.5 = = 3,125cm . NI 4 Bài 6: Vì I là trung điểm của EF Nên OI ^ EF Ta có: CE DF Và O là trung điểm của CD nên tứ giác CEFD là hình thang Và OI là đường trung bình Suy ra: OI CE DF mà OI ^ EF nên CE ^ EF , DF ^ EF . E I 1 2 F Do đó: OI = (CE + DF ) Và 1 SCEF = CE .EF 2 S DEF = 1 DE .EF 2 SCEF + S DEF = A C O D B 1 EF (CE + DF ) = EF .OI 2 Bài 7: Gọi R là bán kính của đường tròn đi qua A và B Ta có: 2R ³ AB 2R ³ 6cm R ³ 3cm , không đổi Dấu “=” xảy ra AB là đường kính của đường tròn đường kính AB có đọi dài bán kính nhỏ nhất. Bài 8: 25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Vẽ AH ^ BD(H Î BD ),CK ^ BD(K Î BD ) A B Gọi I là giao điểm của AC , BD K AH ^ HI nên AH £ AI H I CK ^ KI nên CK £ IC O Do đó: AH + CK £ AI + IC = AC C D AC £ 2R, BD £ 2R ( AC , BD là các dây cung của đường tròn (O; R) ). 1 2 1 2 Ta có: S ABCD = S ABD + S BCD = BD.AH + BD.CK = 1 1 BC (AH + CK ) £ BD.AC 2 2 1 2 Do vậy: S ABCD £ 2R.2R = 2R 2 ìï BD = 2R ïï Dấu “=” xảy ra ïí AC = 2R ïï ïïH º I º K î AC , BD là hai đường kính vuông góc nhau. Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD là 2R 2 . Bài 9: R1 là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (gt) Nên 2R1 ³ AB Và R2 là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Nên 2R2 ³ AC A Do đó: 2R1 + 2R2 ³ AB + AC R1 + R2 ³ 1 (AB + AC ) , không đổi 2 Dấu “=” xảy ra AB, AC là đường kính cả các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD , ACD . = ADC = 900 ADB D là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC Vậy khi D là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC thì R1 + R2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 10: 26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com B D C Vẽ OH ^ d (H Î d ) H là trung điểm BC (Định lí đường kính vuông góc dây cung) C Ta có: AB + AC = AH – HB + AH + HC H B A = (AH + AH ) + (HC – HB ) = 2AH Mà OH ^ AH nên AH £ OA O Do đó: AB + AC £ 2OA 2OA không đổi Dâu “=” xảy ra O º H Vậy khi đường thẳng d đi qua O thì tổng AB + AC lớn nhất. Bài 11: Vẽ OI ^ CD, I Î CD IC = ID (Định lí đường kính vuông góc với dây cung) F AE ^ DC , BF ^ DC ,OI ^ CD Các đường thẳng AE , BF ,OI song song với nhau Hình thẳng EAFB có: OI AE và OA = OB Do đó: IF = IF Ta có: IC – IF = ID – IE CF = DE Bài 12: a) C , D thuộc đường tròn đường kính AB (gt) = ADB = 900 ACB Xét DMAB có AD, BC là hai đường cao cắt nhau tại N N là trực tâm của tam giác MAB MN ^ AB b) Gọi H là giao điểm của MN và AB DHAM vuông tại H có MAH = 450 (gt) DHAM vuông cân tại H AH = MH DDAB vuông tại D có DAB = 300 nên: + DAB = 900 DBA = 600 DBA DMHB vuông tại H có MBH = 600 nên là nửa tam giác đều 27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com C I A D E O B d HB = 3MH 3 M C 3MH MH + = AH + HB 3 3+ 3 MH = 2R 3 2×3 MH = 3- 3 D N A B O H R = (3 – 3)R 1 MB.AB = (3 – 3)R 2 (đvdt) 2 S MAB = Bài 13: a) 1) Phần thuận: Vì M là trung điểm của dây cung AB = 1 Nên: MA = MB = 1 và OM ^ AB 2 DOMA cho: OM 2 = OA2 – AM 2 OM = R 2 – Do đó M ở trên đường tròn (O; R 2 – 12 không đổi 4 12 ) 4 2) Phần đảo: Trên đường tròn (O; R 2 – 12 ) ta lấy một điểm M ¢ bất kỳ. 4 Vẽ dây cung A¢ B ¢ vuông góc với OM ¢ tại M ¢ . Ta phải chứng minh M ¢ là trung điểm của dây cung A¢ B ¢ = 1 . Thật vậy: – Vì dây cung A¢ B ¢ vuông góc với OM ¢ tại M ¢ . Nên M ¢ là trung điểm của A¢ B ¢ – Ta có: OM ¢ = R2 Nên OM ¢2 = R 2 – 12 4 12 4 Tam giác vuông OM ¢A¢ cho ta: B M A J E O D I A¢ M ¢2 = OA¢2 – OM ¢2 æ 12 ö 12 = R 2 – çççR 2 – ÷÷÷ = çè 4 ÷ø 4 H F C 28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Suy ra: A¢ M ¢ = 1 và A¢ B ¢ = 1 2 Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn (O; R2 b) 12 ). 4 1) Cách dựng: – Dựng OH ^ CD , đường thẳng OH cắt đường tròn (O; R 2 – 12 ) tại I và J . 4 – Dựng dây cung EF của đường tròn (O; R) vuông góc với OI tại I (hoặc OJ tại J ). Tứ giác EFCD là hình bình hành phải dựng. 2) Chứng minh: Vì OI = OM nên EF = AB EF = CD . Theo cách dựng, ta còn có: EF CD (vì cùng ^ OH ) Vậy tứ giác EFCD là hình bình hành. 3) Biện luận: Vì đường thẳng OH luôn cắt đường tròn (O; R2 – 12 ) tại hai điểm nên bài toán luôn dựng được và có 4 hai nghiệm hình. ———-Toán Học Sơ Đồ——— 29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
|
