Có bao nhiêu giá trị nguyên của \[m\] để phương trình: \[2 + 2\sin 2x – m{\left[ {1 + \cos x} \right]^2} = 0\] có nghiệm \[x \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\]?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn C
Với \[x \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\] suy ra \[\frac{x}{2} \in \left[ { – \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\].
Đặt \[t = \tan \frac{x}{2}\], \[t \in \left[ { – 1;1} \right]\], ta có \[\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\], \[\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\].
Khi đó phương trình trở thành: \[2{\left[ {\sin x + \cos x} \right]^2} = m{\left[ {1 + \cos x} \right]^2}\]\[ \Leftrightarrow 2{\left[ {\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}} \right]^2} = m{\left[ {1 + \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}} \right]^2}\]
adsense
\[ \Leftrightarrow 2{\left[ {\frac{{2t + 1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}} \right]^2} = m{\left[ {\frac{2}{{1 + {t^2}}}} \right]^2}\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {2t + 1 – {t^2}} \right]^2} = 2m\] [*]
Xét \[f\left[ t \right] = {\left[ {2t + 1 – {t^2}} \right]^2}\], \[t \in \left[ { – 1;1} \right]\].
Ta có \[f’\left[ t \right] = 2\left[ {2t + 1 – {t^2}} \right]\left[ {2 – 2t} \right]\].
\[f’\left[ t \right] = 0 \Leftrightarrow 2\left[ {2t + 1 – {t^2}} \right]\left[ {2 – 2t} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1;f\left[ 1 \right] = 4\\t = 1 – \sqrt 2 ;f\left[ {1 – \sqrt 2 } \right] = 0\end{array} \right.\].
Bảng biến thiên
YCBT\[ \Leftrightarrow \] phương trình [*] có nghiệm \[t \in \left[ { – 1;1} \right]\]
\[ \Leftrightarrow \mathop {\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]} f\left[ t \right]}\limits_{} \le 2m \le \mathop {\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]} f\left[ t \right]}\limits_{} \]\[ \Leftrightarrow 0 \le 2m \le 4\]\[ \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\].