Trong toán học nói chung và môn hình học nói riêng thì chúng ta thường xuyên gặp phải hình chóp tứ giác đều trong mỗi bài toán .Nhưng cũng không phải là ai cũng biết cách xác định hay tính được các thể tích và diện tích của hình chóp tứ giác đều . Chính vì thế hôm nay Legoland xin tổng hợp lại cho mọi người các kiến thức về hình chóp tứ giác nhé .
Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông và đường cao của chóp đi qua tâm đáy [giao của 2 đường chéo hình vuông].
- Là hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông
- Tất cả các cạnh bên của hình chóp tứ giác có kích thước bằng nhau
- Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
- Tất cả các mặt bên của hình chóp từ giác là các tam giác cân bằng nhau
- Điểm kéo từ đỉnh chóp xuống tâm của mặt đáy chính là chiều cao của hình chóp tứ giác đều
- Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhau
Để tính được diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác thì chúng ta sẽ được tính bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn . Cụ thể công thức ký hiệu như sau :
Sxq = p.d
Trong đó :
- p là nửa chu vi đáy
- d là trung đoạn
Tham khảo thêm :
Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác sẽ bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy. Ta có công thức sau đây:
Stp = Sxq + S
Trong đó :
- S là diện tích đáy
- Sxp : là diện tích xung quanh chúng ta áp dụng công thức ở trên để tính
Ví dụ :
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy dài 8 cm, độ dài các cạnh bên là 7cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.
Lời giải :
Bài toán cho hình chóp tam giác đều, như vậy đáy hình chóp sẽ là tam giác đều cạnh 6 cm, chiều dài các cạnh bên là 5cm.
Để tính được diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp ta cần tính thêm độ dài trung đoạn hình chóp.
Các bạn vẽ hình chóp tam giác đều SABCD như hình ảnh. Từ đỉnh S, vẽ đường thẳng nối với trung điểm của đoạn AC, ta đặt là điểm M. SM chính là trung đoạn của hình chóp.
Xét tam giác SBM, vì SBC là tam giác cân nên ta có SBM là tam giác vuông, áp dụng định lý Pitago cho tam giác này ta tính được cạnh SM. SM^2 = SB^2 – BM^2 = 8^2 – 4^2 => SM = ~ 7 cm.
Diện tích xung quanh hình chóp là: Sxq = p.d = 1⁄2 x 7 x 7 x 7 = 10,5 cm2
Diện tích toàn phần hình chóp là: Stp = Sxq + Sđáy = 10,5 + 64 = 74,5 cm2
Trong đó:
Ví dụ :
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60 độ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.. Như hình vẽ sau :
Lời giải :
Theo công thức tính thể tích hình chóp
thì các bạn cần tính được chiều cao và diện tích mặt đáy hình chóp tứ giác .
- Diện tích hình vuông ABCD:
- Tính chiều cao hình chóp:
AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng [ABCD] nên ta có:
Sau khi tính được diện tích hình vuông ABCD và chiều cao hình chóp cuối cùng các bạn sẽ tính
Vậy thể tích hình chóp tứ giác đều là :
Như thế là chúng ta đã hiểu hơn về hình chóp tứ giác đều và các công thức tính diện tích và thể tích của hình chóp tứ giác đều rồi chứ .Chúc các bạn thành công .
Ngoài hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, còn vô số hình tứ giác khác mà bạn có lẽ sẽ cần phải tính diện tích. Ngoài các công thức thường thấy dành cho các hình tứ giác đặc biệt, liệu còn công thức nào để có thể tính diện tích hình tứ giác nào không? Hãy cùng tìm hiểu qua bài viết sau đây nhé!
1. Các hình tứ giác thường gặp
Tứ giác là hình có 4 đỉnh và 4 cạnh và đặc điểm nhận ra đó là không có bất kì 2 đoạn thẳng nào cùng nằm trên một đường thẳng. Hình tứ giác có 4 góc, và tổng số đo 4 góc trong tứ giác = 360 độ.
Có hai loại tứ giác là tứ giác lồi và tứ giác lõm. Các dạng tứ giác lồi cơ bản thường gặp: Hình thoi, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp,… Với tứ giác lõm [hay còn gọi là tứ giác không lồi], một góc trong có số đo lớn hơn 180° và một trong hai đường chéo nằm bên ngoài tứ giác.
2. Các công thức tính diện tích hình tứ giác
– Công thức chung để áp dụng tính bất cứ diện tích hình tứ giác nào như sau:
Như vậy, để tính diện tích tứ giác bất kỳ không thuộc 1 trong cách hình trên, bạn cần tìm độ dài của 4 cạnh [giả sử a, b, c, d, trong đó a và c, b và d là các cạnh đối diện nhau]. Sau đó đi tính 2 góc đối diện.
– Ngoài ra, công thức tính diện tích hình tứ giác phổ biến và thường thấy trong các bài tập như sau:
+ Hình vuông: Là tứ giác lồi có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc vuông.
S = a x a
Trong đó:
- S: Diện tích hình vuông
- a: Độ dài cạnh
+ Hình chữ nhật: Là tứ giác lồi có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và 4 góc vuông.
S = a x b
Trong đó:
- S: Diện tích hình chữ nhật
- a: Chiều dài
- b: Chiều rộng
+ Hình bình hành: Là tứ giác lồi có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.
S = a x h
Trong đó:
- S: Diện tích hình bình hành
- a: Cạnh đáy hình thoi
- h: Đường cao hình thoi
+ Hình thoi: Là hình bình hành có 4 cạnh bằng nhau.
S = 1⁄2 [d1 x d2]
Trong đó:
- S: Diện tích hình thoi
- d1, d2: Độ dài 2 đường chéo
Bạn cũng có thể tính diện tích hình thoi theo cách tính diện tích hình bình hành.
+ Hình thang: Là tứ giác lồi có 1 cặp cạnh song song.
S = 1⁄2 [a+b] x h
Trong đó:
- S: Diện tích hình thang
- a,b: Độ dài 2 cạnh song song
- h: Chiều cao
– Khi tứ giác thuộc hình bất kì, không thuộc các hình đã kiệt kê ở trên và có độ dài các cạnh khác nhau, không có cặp cạnh nào song song với nhau, ta có thể áp dụng công thức Brahmagupta:
Bốn cạnh của tứ giác lần lượt là a, b, c, d trong đó cạnh a đối diện với cạnh c, cạnh b đối diện với cạnh d. Trong đó, P là nửa chu vi của tứ giác, và P = [a + b + c + d]/2
– Nếu biết trước 4 cạnh và hai đường chéo m, n của hình tứ giác bất kỳ, bạn cũng có thể sử dụng công thức như sau:
S = [[ab + cd]sin B]/2
Trong đó B chính là góc được tạo bởi hai đường chéo của tứ giác
3. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, có cạnh AB = 3cm, cạnh BC = 5cm, cạnh CD = 2cm, cạnh DA = 6cm. Cho góc A = 110 độ, góc C = 80 độ. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài giải:
Theo công thức tính diện tích tứ giác, S = 0,5 a.d.sinA + 0,5.b.c.sinC => Diện tích tứ giác ABCD là S = 0,5.3.6.sin110 + 0,5.5.2.sin 80 = 9.0,939 + 5.0,984 = 8,451 + 4,92 = 13,371 cm2
Vậy diện tích của tứ giác ABCD bằng 13,371cm2
Hình chóp nói chung và hình chóp tứ giác đều nói riêng là phần kiến thức hình học trong chương trình toán lớp 8, học kì 2. Dưới đây là tổng kết về định nghĩa hình chóp là gì, tính chất, công thức tính chu vi, diện tích, thể tích các hình chóp thế nào?. Bên cạnh đó, chúng tôi có bổ sung thêm kiến thức về các hình chóp ít được nhắc đến trong sách giáo khoa.
Đang xem: Công thức tính diện tích xung quanh hình chóp
Công trình vĩ đại của nhân loại Kim tự tháp Ai Cập là hình chóp tam giác
Hình chóp là gì?
Định nghĩa”
Hình chóp là hình học không gian có mặt đáy là đa giác lồi và các mặt bên đều là tam giác có chung một đỉnh, đỉnh này gọi là đỉnh của hình chópHình chóp có nhiều loại khác nhau, tên của nó được quy định dựa theo đáy.Hình chóp tam giác có đáy là hình tam giác, hình chóp tứ giác có đáy là hình tứ giác.Trong các trường hợp đặc biệt như đáy là tam giác đều, tứ giác đều thì ta gọi đó là hình chóp đều
Định nghĩa hình chóp là gì?
Tính chất của hình chóp:
Đường thẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy được gọi là đường cao của hình chóp.Tên gọi của hình chóp dựa vào đa giác mặt đáy: hình chóp có đáy là tam giác được gọi là hình chóp tam giác, hình chóp có đáy là tứ giác gọi là hình chóp tứ giác.Nếu hình chóp có cạnh bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.Nếu hình chóp có các mặt bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ 1 đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.Nếu hình chóp có mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với mặt phẳng đáy thì đường cao của hình chóp sẽ là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
Các loại hình chóp thường gặp
Hình chóp tam giác đều là gì?
*Định nghĩa:
Hình chóp tam giác đều là hình chóp có đáy là tam giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh
Hình chóp SABC có đáy là tam giác đều – Hình chóp tam giác đều
*Tính chất
Hình chóp tam giác đều có 3 mặt phẳng đối xứngHình chóp có đáy là tam giác đềuCác cạnh bên bằng nhauTất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhauChân đường cao trùng với tâm của mặt đáy [tâm đáy là trọng tâm của tam giác]Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhauTất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau
***Lưu ý:
Tâm của tam giác đều là giao điểm của 3 đường trung tuyến và cũng là đường cao, trung trực và phân giác trong.
Hình chóp tứ giác đều là gì?
*Định nghĩa:
Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh
Hình chóp tứ giác đều
*Tính chất
Hình chóp có đáy là hình vuôngCác cạnh bên bằng nhauTất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhauChân đường cao trùng với tâm mặt đáy [tâm đáy là giao điểm của 2 đường chéo]Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng nhauHình chóp tứ giác có 8 cạnh
Hình chóp cụt đều là gì?
*Định nghĩa:
Hình chóp cụt đều là hình chóp đều bị cắt bởi mặt phẳng song song với đáy. Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và mặt phẳng đáy của hình chóp gọi là hình chóp cụt đều
Hình chóp cụt đều
*Tính chất:
Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân
Công thức tính chu vi, diện tích, thể tích hình chóp
Công thức tính chu vi hình chóp [Áp dụng cho hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác]
Công thức tính chu vi hình chóp
Chu vi hình chóp bằng tổng chu vi mặt đáy và các mặt bên
Công thức:
P = Pđáy + Pcác mặt bên
Trong đó
Pđáy là chu vi mặt đáy
Pcác mặt bên là chu vi các mặt bên
Công thức tính diện tích hình chóp đều [Áp dụng cho hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác]
Diện tích hình chóp gồm diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.
Diện tích xung quanh
Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn
Công thức
Sxq = p.d
Diện tích xung quanh của hình chóp đều
Trong đó:
p là nửa chu vi đáyd là trung đoạn của hình chóp. Trung đoạn là đường cao xuất phát từ đỉnh xuống trung điểm của 1 cạnh.
Xem thêm: Giải Phương Trình Sinx Sin3X = 0 ; Cosx + Cos2X + Cos3X = 0, Hỏi Đáp 24/7
Diện tích toàn phần của hình chóp:
Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy
Stp = Sxq + Sđáy
Như vậy, muốn tính được diện tích xung quanh và toàn phần của hình chóp bạn cần phải tính được độ dài trung đoạn và chu vi, diện tích đáy.
Thể tích hình chóp [Áp dụng cho hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác]
Công thức
V=1/3S.h
Trong đó:
S là diện tích đáy, h là chiều cao
Thể tích hình chóp cụt 4 cạnh
Thể tích hình chóp cụt 4 cạnh
Công thức:
Trong đó:
B’ và B lần lượt là diện tích của đáy nhỏ và đáy lớn của hình chóp cụt đều.h là chiều cao [khoảng cách giữa hai mặt đáy].
Phân biệt các hình chóp
| Đáy | Mặt bên | Số cạnh đáy | Số cạnh | Số mặt | |
| Hình chóp tam giác đều | Tam giác đều | Tam giác đều | 3 | 6 | 4 |
| Hình chóp tứ giác đều | Hình vuông | Tam giác cân | 4 | 8 | 5 |
| Hình chóp ngũ giác đều | Ngũ giác đều | Tam giác cân | 5 | 10 | 6 |
| Hình chóp lục giác đều | Lục giác đều | Tam giác cân | 6 | 12 | 7 |
Dạng bài tập về hình chóp
Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố cạnh và mặt phẳng trong hình chóp đều, hình chóp cụt đều.
Xem thêm: Bài Tập Thì Hiện Tại Tiếp Diễn Cho Học Sinh Tiểu Học, Bài Tập Tiếng Anh Lớp 5 Thì Hiện Tại Tiếp Diễn
Sử dụng mối quan hệ song song và vuông góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng.Sử dụng các kiến thức về hình chóp đều
Bài tập ví dụ:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng [ABC] và đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, SA = a. Lấy điểm H là hình chiếu của A trên cạnh SB. Khoảng cách giữa AH và BC bằng?
Đáp án:
Ta có BC⊥AB VÀ BC⊥SA→BC⊥[SAB]→BC⊥HB
Mà AH⊥HB→HB là đoạn vuông góc chung của AH và BC→d[AH,BC]=HB
Tam giác SAB vuông cân tại A có SA=SB=a, AH⊥SC
→
Bài 2: Cho hình chóp S ABCD là chóp tứ giác đều có các mặt bên là những tam giác đều, AB=8m, O là trung điểm của AC. Hình chóp S ABCD có mấy cạnh? Độ dài SO là bao nhiêu?
Đáp án:
Hình chóp S ABCD là hình chóp tứ giác nên có 8 cạnh
Hình chóp S ABCD đều nên đáy ABCD là hình vuông ΔOAB vuông cân tại O
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ΔOAB có
AB2 = OB2+ OB2→ AB2 = 2OA2
Hình chóp có các mặt bên là tam giác đều nên ΔSAB là tam giác đều. Do đó, SA = AB = 8m
Ta có SO⊥OA nên SOA vuông tại O
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông SOA ta có:
SB2 = OS2+ OA2
Mong rằng thông qua bài tổng hợp kiến thức về hình chóp trên đây, các bạn đã hiểu và ghi nhớ được các công thức tính chu vi, diện tích, thể tích hình chóp và phân biệt được các loại hình chóp với nhau. Chúc các bạn có những giờ học hăng say và bổ ích.
Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Diện tích