Trên nửa đường tròn đơn vị tâm \[O\], ta xác định điểm $M$ sao cho \[\alpha = \widehat {xOM}\left[ {{0^0} \le \alpha \le {{180}^0}} \right]\]. Giả sử điểm $M\left[ {x;y} \right]$. Khi đó:
\[{\rm{sin}}\alpha = y;\,\,{\rm{cos}}\alpha = {\rm{x}};\] \[{\rm{tan}}\alpha = \dfrac{y}{x}\,\,[\alpha \ne {90^0}];\] \[{\rm{ cot}}\alpha = \;\;\dfrac{x}{y}\;[\alpha \ne {0^0},\alpha \ne {180^0}]\]
Các số \[\sin \alpha ,\,\cos \alpha ,\,\tan \alpha ,\,\cot \alpha \] được gọi là giá trị lượng giác của góc \[\alpha \].
Dấu của giá trị lượng giác:
2. Tính chất
a] Góc phụ nhau
\[\begin{array}{l}\sin [{90^0} - \alpha ] = \cos \alpha & \\\cos [{90^0} - \alpha ] = \sin \alpha \,\\\tan [{90^0} - \alpha ] = \cot \alpha \\\cot [{90^0} - \alpha ] = \tan \alpha \end{array}\]
b] Góc bù nhau
\[\begin{array}{l}\sin [{180^0} - \alpha ] = \sin \alpha & \\\cos [{180^0} - \alpha ] = - \cos \alpha \,\\\tan [{180^0} - \alpha ] = - \tan \alpha \\\cot [{180^0} - \alpha ] = - \cot \alpha \end{array}\]
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
4. Các hệ thức lượng giác cơ bản
\[\begin{array}{l}1]\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}[\alpha \ne {90^0}]\\2]\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}[\alpha \ne {0^0};{180^0}]\\3]\tan \alpha .\cot \alpha = 1[\alpha \ne {0^0};{90^0};{180^0}]\\4]{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\5]1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}[\alpha \ne {90^0}]\\6]1 + {\cot ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}[\alpha \ne {0^0};{180^0}]\end{array}\]
Trục hoành – trục nằm ngang – còn được gọi là trục cos, trục tung – trục thẳng đứng – còn được gọi là trục sin.
1.3. Tính chất của giá trị lượng giác
- Nếu $ a+b=180^\circ$ [hai góc bù nhau] thì \begin{align} \sin a =\sin b,\\ \cos a = -\cos b,\\ \tan a =-\tan b, \\ \cot a =-\cot b.\end{align}
- Các hệ thức lượng giác cơ bản:
- $ \sin^2x+\cos^2x =1$
- $ \tan x =\frac{\sin x}{\cos x}$
- $ \cot x =\frac{\cos x}{\sin x}$
- $ \tan x \cdot \cot x =1$
1.4. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
2. Bài tập giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°
Bài 1. Cho $\cos \alpha=-\frac{2}{3}$. Tính $\sin \alpha;\tan \alpha$ và $\cot \alpha$.
Bài 2. Cho góc $\alpha$ biết $0^\circ < \alpha < 90^\circ $ và $\tan \alpha =3$. Tính $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$.
Bài 3. Cho $\sin \alpha =\frac{3}{4}$ với $90^\circ