Đề bài
Có \[30\] đề thi trong đó có \[10\] đề khó và \[20\] đề trung bình. Xác suất để chọn ra \[2\] đề được ít nhất một đề trung bình là:
A. \[\dfrac{70}{87}\] B. \[\dfrac{71}{87}\]
C. \[\dfrac{73}{87}\] D. \[\dfrac{78}{87}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Với bài toán này ta tính xác suất bằng cách sử dụng hệ quả: Với mọi biến cố \[A\] ta có \[P[\overline{A}]=1-P[A]\].
Để tính xác suất của biến cố A.
+] Tính số phần tử của không gian mẫu\[n[\Omega]\].
+] Tính số phần tử của biến cố A:\[n[A]\].
+] Tính xác suất của biến cố A: \[P[A]=\dfrac{n[A]}{n[\Omega]}\].
Trong câu này, số phần tử trong không gian mẫu là số cách chọn ra \[2\] đề là tổ hợp chập \[2\] của \[30\], số phần tử của biến cố là số cách chọn cả \[2\] đề đều là đề khó nên ta sử dụng tổ hợp để tính.
Lời giải chi tiết
Chọn ngẫu nhiên \[2\] đề trong \[30\] đề nên số phần tử của không gian mẫu là \[n[\Omega]=C_{30}^2\].
Gọi \[A\] là biến cố chọn ra hai đề được ít nhất một đề trung bình.
Nên ta có biến cố đối của \[A\] là chọn ra hai đề không có đề trung bình nào \[n[\overline{A}]=C_{10}^2\] khi đó \[P[\overline{A}]=\dfrac{n[\overline{A}]}{n[\Omega]}=\dfrac{ C_{10}^2}{C_{30}^2}=\dfrac{3}{29}\]
Theo hệ quả với mọi biến cố \[A\] ta có \[P[\overline{A}]=1-P[A]\]
Do đó \[P\left[ A \right] = 1 - P[ \overline A ] \]
\[= 1 - \dfrac{3}{{29}} = \dfrac{{26}}{{29}} = \dfrac{{78}}{{87}}\]
Đáp án: D.
Cách khác:
Số tất cả kết quả của phép thử là C302= 435.
Số kết quả thuận lợi cho việc chọn ra 2 đề được ít nhất 1 đề trung bình [1 đề khó, 1 đề trung bình hoặc cả 2 đề trung bình] là \[C_{10}^1.C_{20}^1 + C_{20}^2 = 390\]
Do đó xác suất cần tìm là 390/435 = 78/87.