Đề bài
Trên đường tròn [O ; R] cho hai điểm A, B. Hãy tính số đo các cung nhỏ và cung AB trong các trường hợp sau:
a] AB = R
b] AB = R\[\sqrt 2 \]
c] \[AB = R\sqrt 3 \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh tam giác OAB đều.
b, c] Gọi H là trung điểm của AB, sử dụng hàm số lượng giác sin, tính \[\widehat {AOH}\], từ đó suy ra \[\widehat {AOB}\] .
Lời giải chi tiết
a] Xét tam giác OAB có \[OA = OB = OC = R \Rightarrow \Delta OAB\] đều .
b]
+] Gọi H là trung điểm của AB \[ \Rightarrow OH \bot AB\] [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung].
Ta có \[AH = BH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\].
Xét tam giác vuông OAH có \[\sin \widehat {AOH} = \dfrac{{AH}}{{OA}} = \dfrac{{\dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}}}{R} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\]
\[\Rightarrow \widehat {AOH} = {45^0}\].
Ta có \[OA = OB = R \Rightarrow \Delta OAB\] cân tại O \[ \Rightarrow \] Đường cao OH đồng thời là phân giác
\[ \Rightarrow \widehat {AOB} = 2\widehat {AOH} = {2.45^0} = {90^0}\]
\[\Rightarrow sd\,cung\,AB = {90^0}\].
c]
+] Gọi H là trung điểm của AB \[ \Rightarrow OH \bot AB\] [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung].
Ta có \[AH = BH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\].
Xét tam giác vuông OAH có \[\sin \widehat {AOH} = \dfrac{{AH}}{{OA}} = \dfrac{{\dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}}}{R} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\]
\[\Rightarrow \widehat {AOH} = {60^0}\].
Ta có \[OA = OB = R \Rightarrow \Delta OAB\] cân tại O \[ \Rightarrow \] Đường cao OH đồng thời là phân giác
\[ \Rightarrow \widehat {AOB} = 2\widehat {AOH} = {2.60^0} = {120^0}\]
\[\Rightarrow sd\,cung\,AB = {120^0}\].