Đề bài
Cho khối lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\] có cạnh đáy bằnga, chiều cao bằngh. Tính thể tích khối chópA.BCA.
Lời giải chi tiết
Cách 1:
\[AC//A'C' \Rightarrow AC//\left[ {BC'A'} \right].\] GọiIlà trung điểm củaACthì
\[d\left[ {A,\left[ {BC'A'} \right]} \right] = d\left[ {I,\left[ {BC'A'} \right]} \right].\]
GọiIlà trung điểm củaACthì rõ ràng \[BI' \bot A'C',\] mặt khác \[II' \bot A'C'\] nên \[A'C' \bot \left[ {IBI'} \right].\]
Vậy khi ta hạ \[IH \bot BI'\] thì \[A'C' \bot IH.\]
Từ đó suy ra \[IH \bot \left[ {BC'A'} \right],\] tức là \[d\left[ {A,\left[ {BC'A'} \right]} \right] = IH.\]
Ta có :
\[\eqalign{ & IH = {{IB.II'} \over {BI'}} = {{a.{{\sqrt 3 } \over 2}.h} \over {\sqrt {3.{{{a^2}} \over 4} + {h^2}} }} = {{\sqrt 3 ah} \over {\sqrt {3{a^2} + 4{h^2}} }}, \cr & {S_{BC'A'}} = {1 \over 2}BI'.C'A' = {1 \over 2}\sqrt {{{3{a^2}} \over 4} + {h^2}} .a \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 4}a\sqrt {3{a^2} + 4{h^2}} . \cr} \]
Vậy
\[{V_{A.BC'A'}} = {1 \over 3}.{1 \over 4}.a.\sqrt {3{a^2} + 4{h^2}} .{{\sqrt 3 ah} \over {\sqrt {3{a^2} + 4{h^2}} }} = {{\sqrt 3 {a^2}h} \over {12}}\]
Cách 2.
\[\eqalign{& {V_{A.BC'A'}} = {V_{B.AA'C'}} = {1 \over 2}.{V_{B.AA'C'C}} \cr&= {1 \over 2}.{2 \over 3}.{V_{ABC.A'B'C'}} \cr & = {1 \over 3}.{S_{ABC}}.h\cr& = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.h = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}.h \cr} \]