Câu 1 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Qua phép tịnh tiến T theo vecto đường thẳng d biến thành đường thẳng d’. Trong trường hợp nào thì : d trùng d’ ? d song song với d’ ? d cắt d’ ?
Giải
Nếu \[\overrightarrow u \] là vecto chỉ phương của d thì d trùng với d’
Nếu \[\overrightarrow u \] không là vecto chỉ phương của d thì d // d’
d không bao giờ cắt d’
Câu 2 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai đường thẳng song song a và a’. Tìm tất cả những phép tịnh tiến biến a thành a’.
Giải
Lấy điểm A trên a thì với mỗi điểm A’ trên a’, phép tịnh tiến theo vecto \[\overrightarrow {AA'} \] biến a thành a’. Đó là tất cả những phép tịnh tiến cần tìm
Câu 3 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai phép tịnh tiến \[{T_{\overrightarrow u }}\,\text{ và }\,{T_{\overrightarrow v }}\].Với điểm M bất kì, \[{T_{\overrightarrow u }}\] biến M thành điểm M’,\[{T_{\overrightarrow v }}\] biến M’ thành điểm M”. Chứng tỏ rằng phép tịnh tiến biến M thành M” là một phép tịnh tiến.
Giải
Ta có :
\[\eqalign{ & {T_{\overrightarrow u }}:M \to M' \cr
& {T_{\overrightarrow v }}:M' \to M \cr} \]
Suy ra :\[\overrightarrow {MM'} = u,\overrightarrow {M'M} = \overrightarrow v \]
Do đó : \[\overrightarrow {MM} = \overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'M} = \overrightarrow u + \overrightarrow v \]
Câu 4 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho đường tròn [O] và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn [O]. Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho \[\overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} .\]
Giải
Ta có \[\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {AB} \] nên phép tịnh tiến T theo vecto \[\overrightarrow {AB} \] biến M thành M’. Nếu gọi O’ là ảnh của O qua phép tịnh tiến T, tức \[\overrightarrow {OO'} = \overrightarrow {AB} \] thì quỹ tích M’ là đường tròn tâm O’ có bán kính bằng bán kính đường tròn [O].
Câu 5 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với \[\alpha ,a,b\]là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thành điểm \[M'\left[ {x';y'} \right]\], trong đó
\[\left\{ {\matrix{{x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha + a} \cr {y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha + b} \cr} } \right.\]
a. Cho hai điểm \[M\left[ {{x_1};{y_1}} \right],\,N\left[ {{x_2};{y_2}} \right]\] và gọi M', N' lần lượt là ảnh của M,N qua phép F. Hãy tìm tọa độ của M' và N'
b. Tính khoảng cách d giữa M và N; khoảng cách d' giữa M' và N'
c. Phép F có phải là phép dời hình hay không ?
d. Khi \[\alpha = 0\], chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến
Giải
a] M’ có tọa độ \[{[x_1},{\rm{ }}y{_1}]\] với \[\left\{ {\matrix{{x{'_1} = {x_1}\cos \alpha - {y_1}\sin \alpha + a} \cr {y{'_1} = {x_1}\sin \alpha + {y_1}\cos \alpha + b} \cr} } \right.\]
N’ có tọa độ \[{[x_2},{\rm{ }}y{_2}]\] với \[\left\{ {\matrix{{x{'_2} = {x_2}\cos \alpha - {y_2}\sin \alpha + a} \cr {y{'_2} = {x_2}\sin \alpha + {y_2}\cos \alpha + b} \cr} } \right.\]
b] Ta có \[d=MN=\sqrt {{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}} \]
\[\eqalign{ & d' = M'N' = \sqrt {{{\left[ {x{'_1} - x{'_2}} \right]}^2} + {{\left[ {y{'_1} - y{'_2}} \right]}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left[ {\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]\cos \alpha - \left[ {{y_1} - {y_2}} \right]\sin \alpha } \right]}^2} + {{\left[ {\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]\sin \alpha + \left[ {{y_1} - {y_2}} \right]\cos \alpha } \right]}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2}{{\cos }^2}\alpha + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}{{\cos }^2}\alpha } \cr
& = \sqrt {{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}} \cr} \]
c] Từ câu b suy ra \[MN=M'N'\] do đó \[F\] là phép dời hình.
d]
\[Khi\,\,\alpha = 0,\,\,\text{ ta có }\,\,\left\{ \matrix{ x' = x + a \hfill \cr
y' = y + b \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[F\] là phép tịnh tiến vectơ \[\overrightarrow u \left[ {a;b} \right].\]
Câu 6 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ , xét các phép biến hình sau đây:
- Phép biến hình \[{F_1}\] biến mỗi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thành điểm \[M'\left[ {y; - x} \right]\]
- Phép biến hình \[{F_2}\] biến mỗi điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thành điểm \[M'\left[ {2x;y} \right]\]
Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình ?
Giải
Lấy hai điểm bất kì \[M = [{x_1};{\rm{ }}{y_1}]\] và \[N[{x_2};{y_2}]\] khi đó
\[MN = \sqrt {{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}} \]
Ảnh của M, N qua F1 lần lượt là \[M' = [{y_1}; - {x_1}]\] và \[N' = [{y_2}; - {x_2}]\]
Như vậy ta có: \[M'N' = \sqrt {{{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2} + {{\left[ { - {x_1} + {x_2}} \right]}^2}} \]
Suy ra \[M’N’ = MN\], vậy F1 là phép dời hình
Ảnh của M, N qua F2 lần lượt là \[M' = [2{x_1};{\rm{ }}{y_1}]\] và \[N' = [2{x_2};{y_2}]\]
Như vậy ta có: \[M'N' = \sqrt {4{{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]}^2} + {{\left[ {{y_1} - {y_2}} \right]}^2}} \]
Từ đó suy ra : nếu \[{x_1} \ne {x_2}\] thì \[M’N’≠ MN\], vậy F2 không phải là phép dời hình
Giaibaitap.me
Page 2
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 3
Câu 12 trang 18 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho phép quay Q tâm O với góc quay \[\varphi \] và cho đường thẳng d. Hãy nêu cách dựng ảnh d' của d qua phép quay Q
Giải
Ảnh d’ của đường thẳng d qua phép quay \[Q[O; φ]\] có thể dựng như sau:
Lấy hai điểm A, B phân biệt trên d, rồi dựng ảnh A’, B’ của chúng. Đường thẳng d’ là đường thẳng đi qua A’ và B’
Câu 13 trang 18 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA'B' có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn thẳng A'B' và nằm ngoài đoạn thẳng A'B [h.16]. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm các tam giác OAA' và OBB'.Chứng minh GOG' là tam giác vuông cân.
Giải
Gọi Q là phép quay tâm O, góc quay \[{\pi \over 2}\] [bằng góc lượng giác [OA ; OB]]. Khi đó Q biến A thành B và biến A’ thành B’, tức là biến tam giác OAA’ và OBB’
Bởi vậy Q biến G [trọng tâm tam giác OAA’] thành G’ [trọng tâm tam giác OBB’].
Suy ra \[OG = OG’\] và \[\widehat {GOG'} = {\pi \over 2}\]
Vậy GOG’ là tam giác vuông cân tại đỉnh O
Chú ý: Phép quay Q biến trọng tâm G tam giác ABC thành trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’ ảnh của △ABC qua Q được suy ra từ phép quay Q biến trung điểm I của đoạn thẳng
Câu 14 trang 18 SGK Hình học 11 Nâng cao
Giả sử phép đối xứng tâm \[{D_O}\] biến đường thẳng d thành d'. Chứng minh
a. Nếu d không đi qua tâm đối xứng O thì d' song song với d, O cách đều d và d'
b. Hai đường thẳng d và d' trùng nhau khi và chỉ khi d đi qua O
Giải
a. Kẻ \[OH ⊥ d [H ∈ d]\] thì vì d không đi qua O nên H không trùng với O
Phép đối xứng tâm \[Đ_ O\] biến H thành H’ thì O là trung điểm của HH’, và biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ vuông góc với OH’ tại H’.
Suy ra d và d’ song song, cách đều điểm O
b. Nếu d không đi qua điểm O thì theo câu a], d’ // d nên d’ không trùng với d.
Nếu d đi qua O thì mọi điểm \[M ∈ d\] biến thành điểm \[M’ ∈ d’.\]
Câu 15 trang 18 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho phép đối xứng tâm \[{D_O}\] và đường thẳng d không đi qua O. Hãy nêu cách dựng ảnh d' của đường thẳng d qua \[{D_O}\]. Tìm cách dựng d' mà chỉ sử dụng compa một lần và thước thẳng ba lần
Giải
Cách dựng ảnh d’ của d như sau: Lấy hai điểm A, B phân biệt trên d rồi dựng ảnh A’, B’ của chúng. Đường thẳng d’ là đường thẳng đi qua A’ và B’
Ta có thể dựng cụ thể như sau: Dựng đường tròn \[[O ; R]\] sao cho nó cắt d tại hai điểm phân biệt A, B. Dựng các đường thẳng AO và BO, chúng cắt đường tròn đó lần lượt tại A’ và B’
Dựng đường thẳng d’ đi qua A’ và B’
Phép dựng trên đây sử dụng compa một lần và thước thẳng ba lần
Câu 16 trang 19 SGK Hình học 11 Nâng cao
Chỉ ra tâm đối xứng của các hình sau đây:
a. Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau
b. Hình gồm hai đường thẳng song song
c. Hình gồm hai đường tròn bằng nhau
d. Đường elip
e. Đường hypebol
Giải
a. Tâm đối xứng là giao điểm của hai đường thẳng
b. Tâm đối xứng là những điểm cách đều hai đường thẳng
c. Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm đường tròn
d. Trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm của elip
e. Trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm của hypebol
Câu 17 trang 19 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai điểm cố định B, C trên đường tròn \[[O; R]\] và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định
Hướng dẫn. Gọi I là trung điểm BC . Hãy vẽ đường kính AM của đường tròn rồi chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng HM
Giải
Ta vẽ đường kính AM của đường tròn. Khi đó BH // MC [ vì cùng vuông góc với AC] hay BHCM là hình bình hành
Nếu gọi I là trung điểm của BC thì I cố định và cũng là trung điểm của MH
Vậy phép đối xứng qua điểm I biến M thành H. Khi A chạy trên đường tròn \[[O ; R]\] thì M chạy trên đường tròn \[[O ; R]\]. Do đó, H nằm trên đường tròn là ảnh của đường tròn \[[O ; R]\] qua phép đối xứng tâm với tâm I
Câu 18 trang 19 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho đường tròn \[[O; R]\] , đường thẳng \[△\] và điểm I . Tìm điểm A trên \[[O; R]\] và điểm B trên \[△\] sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB
Giải
Giả sử ta đã có điểm A trên đường tròn \[[O ; R]\] và điểm B trên △ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB
Phép đối xứng tâm ĐI biến điểm B thành điểm A nên biến đường thẳng \[△\] thành đường thẳng \[△’\] đi qua A.
Mặt khác A lại nằm trên \[[O ; R]\] nên A phải là giao điểm của \[△’\] và \[[O ; R]\]
Suy ra cách dựng:
Dựng đường thẳng \[△’\] là ảnh của \[△\] qua phép đối xứng tâm ĐI. Lấy A là giao điểm [nếu có] của \[△’\] và \[[O ; R]\], còn B là giao điểm của đường thẳng AI và đường thẳng \[△\]
Câu 19 trang 19 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\] và điểm \[I\left[ {{x_0};{y_o}} \right]\]. Phép đối xứng tâm \[{D_I}\] biến đường thẳng \[△\] thành đường thẳng \[△’\]. Viết phương trình của \[△’\]
Giải
Giả sử \[M [x , y] \in △\] và \[M’ [x’ , y ‘] \in △’\] và I là trung điểm của MM’ nên:
\[x + x' = 2{x_0},\,\,y + y' = 2{y_0} \Rightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2{x_0} - x'} \cr {y = 2{y_0} - y'} \cr} } \right.\]
\[M[x , y] ∈△\] nên
\[\eqalign{ & a\left[ {2{x_0} - x'} \right] + b\left[ {2{y_0} - y'} \right] + c = 0 \cr & \Leftrightarrow 2a{x_0} + 2b{y_0} - ax' - by' + c = 0 \cr
& \Leftrightarrow ax' + by' + c - 2\left[ {a{x_0} + b{y_0} + c} \right] = 0 \cr} \]
Vậy M’ nằm trên đường thẳng ảnh \[△’\] có phương trình:
\[ax + by + c – 2[ax_0+ by_0+ c] = 0\]
Giaibaitap.me
Page 4
Câu 20 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Chứng tỏ rẳng hai hình chữ nhật cùng kích thước [cùng chiều dài và chiều rộng] thì bằng nhau
Giải
Giả sử hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ có \[AB = CD = A’B’= C’D’, AD = BC = A’D = B’C’\].
Khi đó ABC và A’B’C’ là hai tam giác vuông bằng nhau, do đó có phép dời hình F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’
Khi đó phép dời hình F biến trung điểm O của AC thành trung điểm O’ của A’C’
Nhưng vì O và O’ lần lượt cũng là trung điểm của BD và B’D’ nên F cũng biến D thành D’
Vậy F biến ABCD thành A’B’C’D’, nên theo định nghĩa, hai hình chữ nhật đó bằng nhau
Câu 21 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
a. Chứng minh rằng hai tứ giác lồi có cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau
b. Chứng minh rằng hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp góc tương ứng bằng nhau thì bằng nhau
c. Hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì có bằng nhau hay không?
Giải
a.
Giả sử hai tứ giác lồi ABCD và A’B’C’D’ có \[AB = A’B’; BC = B’C’; CD = C’D’, DA = D’A’\] và \[AC = A’C’\]
Khi đó hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau nên có phép dời hình F biến ba điểm A, B, C lần lượt thành ba điểm A’, B’, C’
Gọi D” là điểm đối xứng với điểm D’ qua đường thẳng A’C’ thì hai tam giác A’C’D’ và A’C’D” bằng nhau và theo giả thiết, cùng bằng tam giác ACD
Bởi vậy phép F chỉ có thể biến điểm D thành điểm D’ hoặc D” [do phép dời hình bảo toàn độ dài đoạn thẳng]
Vì ABCD là tứ giác lồi nên hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau, A’B’C’D’ cũng là tứ giác lồi nên hai đoạn thẳng nên hai đoạn thẳng A’C’ và B’D’ cắt nhau, và do đó hai đoạn thẳng A’C’ và B’D” không cắt nhau
Từ đó ta suy ra F biến D thành D’
Vậy F biến tứ giác ABCD thành tứ giác A’B’C’D’ và do đó hai tứ giác đó bằng nhau
b. Giả sử hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’ có \[AB = A’B’, BC = B’C’, CD = C’D’, DA = D’A’\] và góc ABC bằng góc A’B’C’
Khi đó \[AC = A’C’\] và ta đưa về trường hợp ở câu a]
c. Có thể không bằng nhau
Hai hình thoi có cạnh bằng nhau nhưng có thể là hai hình không bằng nhau [vì phép dời hình biến góc thành góc bằng nó]
Câu 22 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Đa giác lồi n cạnh gọi là n – giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các góc của nó bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cạnh bằng nhau
Giải
Theo định nghĩa, hai n-giác đều bằng nhau thì cạnh bằng nhau.
Ngược lại, giả sử hai n-giác đều A1A2…An có cạnh bằng nhau
Khi đó nếu gọi O và O’ lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đó thì hai tam giác OA1A2 và O’A’1A’2 bằng nhau
Vậy có phép dời hình F biến tam giác OA1A2 thành tam giác O’A’1A’2.
Vì hai tam giác OA2A3 và O’A’2A’3 cũng bằng nhau nên F biến điểm A3 thành điểm A’3 [vì A3 không thể biến thành A’1]
Lập luận tương tự ta cũng có F biến các điểm A4,…, An lần lượt thành các điểm A4 ,…, An
Như vậy hai đa giác đều đã cho bằng nhau
Câu 24 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 23 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Hình H1 gồm ba đường tròn \[\left[ {{O_1};{r_1}} \right],\left[ {{O_2};{r_2}} \right]\] và \[\left[ {{O_3};{r_3}} \right]\] đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Hình H2 gồm ba đường tròn \[\left[ {{I_1};{r_1}} \right],\left[ {{I_2};{r_2}} \right]\] và \[\left[ {{I_3};{r_3}} \right]\] đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Chứng tỏ rằng hai hình H1 và H2 bằng nhau = r
Giải
Ta có
\[{{O_1}{O_2} = {r_1} + {\rm{ }}{r_2} = {I_1}{I_2}}\]\[{{O_2}{O_3} = {r_2} + {\rm{ }}{r_3} = {I_2}{I_3}} \]
\[{{O_3}{O_1} = {r_3} + {\rm{ }}{r_1} = {I_3}{I_1}} \]
Suy ra \[\Delta {O_1}{O_2}{O_3} = \Delta {I_1}{I_2}{I_3}\] nên có phép dời hình F biến ba điểm O1, O2, O3 lần lượt thành ba điểm I1, I2, I3
Hiển nhiên khi đó F biến ba đường tròn \[[{O_{1}}{\rm{; }}{r_1}],{\rm{ }}[{O_2};{\rm{ }}{r_2}],{\rm{ }}[{O_3};{\rm{ }}{r_3}]\] lần lượt thành ba đường tròn \[[{I_1};{r_1}],[{I_2};{r_2}],[{I_3};{r_3}]\], tức là biến hình H1 thành hình H2
Vậy hai hình H1 và H2 bằng nhau
Câu 24 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai hình bình hành. Hãy vẽ một đường thẳng chia mỗi hình bình hành đó thành hai hình bằng nhau
Giải
Một đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành thì chia hình bình hành đó thành hai phần bằng nhau, vì phép đối xứng qua tâm O sẽ biến phần này thành phần kia
Bởi vậy, nếu cho hai hình bình hành, ta chỉ cần vẽ đường thẳng đi qua tâm của chúng thì đường thẳng đó sẽ chia mỗi hình bình hành thành hai phần bằng nhau
Nếu tâm hai hình bình hành trùng nhau thì mọi đường thẳng đi qua tâm đó đều chia mỗi hình bình hành thành hia phần bằng nhau
Giaibaitap.me
Page 5
Câu 25 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao
Các phép sau đây có phải là phép vị tự hay không: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đồng nhất, phép tịnh tiến theo vectơ khác \[\vec 0\]?
Giải
Phép đối xứng tâm qua O là phép vị tự tâm O tỉ số -1
Phép đối xứng trục không phải là phép vị tự vì các đường thẳng nối cặp điểm tương ứng không đồng quy
Phép đồng nhất là phép vị tự với tâm là điểm bất kì và tỉ số \[k = 1\]
Phép tịnh tiến theo vecto khác \[\vec 0\] không phải là phép vị tự vì không có điểm nào biến thành chính nó
Câu 26 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao
Các khẳng định sau đây có đúng không ?
a. Phép vị tự luôn có điểm bất động [tức là điểm biến thành chính nó]
b. Phép vị tự không thể có quá một điểm bất động
c. Nếu phép vị tự có hai điểm bất động phân biệt thì mọi điểm đều bất động
Giải
a. Đúng. Tâm vị tự là điểm bất động
b. Sai. Phép vị tự tỉ số \[k = 1\] có mọi điểm đều là bất động
c. Đúng. Phép vị tự tâm O luôn có điểm bất động O, nếu nó còn điểm bất động nữa là M [tức là ảnh M’ của M trùng với M] thì vì \[\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \] nên \[k = 1\]
Vậy phép vị tự đó là phép đồng nhất nên mọi điểm đều bất động
Câu 27 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao
Xác định tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài của hai đường tròn trong các trường hợp sau :
a. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau
b. Hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau
c. Một đường tròn chứa đường tròn kia
Giải
Gọi I là tâm vị tự ngoài, I’ là tâm vị tự trong của hia đường tròn \[[O]\] và \[[O’]\]
a. Nếu \[[O]\] và \[[O’]\] tiếp xúc ngoài thì tiếp điểm I’ là tâm vị tự trong, giao điểm của OO’ với tiếp tuyến chung ngoài của \[[O]\] và \[[O’]\] [nếu có] là tâm vị tự ngoài [h.a]
b. Nếu \[[O]\] và \[[O’]\] tiếp xúc trong thì tiếp điểm I là tâm vị tự ngoài, tâm vị tự trong I’ xác định như hình vẽ b]
c. Nếu \[[O]\] chứa \[[O’]\] thì xác định I và I’ như hình vẽ c] [ đặc biệt, khi O trùng O’ thì I và I’ trùng O]
Câu 28 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai đường tròn [O] và [O'] cắt nhau tại A và B. Hãy dựng qua A một đường thẳng d cắt [O] ở M và [O]' ở N sao cho M là trung điểm của AN
Giải
Giả sử đã dựng được đường thẳng d theo yêu cầu của bài toán.
Vì M là trung điểm AN nên \[\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AM} \]
Như vậy, gọi V là phép vị tự tâm A tỉ số 2 thì V biến M thành N
Nếu V biến [O] thành [O”] thì [O”] phải đi qua N
Vậy N là giao điểm của hai đường tròn [O’] và [O”]
Từ đó suy ra cách dựng:
- Dựng O” = V[O]
- Gọi N = [O’] ∩ [O”], M = AN ∩ [O]
Câu 29 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho đường tròn [O; R] và điểm I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên đường tròn. Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N
Giải
Đặt \[IO = d [d ≠ 0]\]. Theo tính chất đường phân
giác của tam giác MOI, ta có:
\[{{IN} \over {NM}} = {{IO} \over {OM}} = {d \over R}\]
Suy ra \[{{IN} \over {IN + NM}} = {d \over {d + R}} \Leftrightarrow {{IN} \over {IM}} = {d \over {d + R}}\]
Vì hai vecto \[\overrightarrow {IN} \] và \[\overrightarrow {IM} \] cùng hướng nên đẳng
thức trên có nghĩa là:\[\overrightarrow {IN} = {d \over {d + R}}\overrightarrow {IM} \]
Nếu gọi V là phép vị tự tâm I tỉ số \[k = {d \over {d + R}}\] thì V biến điểm M thành điểm N
Khi M ở vị trí M0trên đường tròn [O ; R] sao cho \[\widehat {IO{M_0}} = {0^ \circ }\] thì tia phân giác của góc \[\widehat {IO{M_0}}\] không cắt IM. Điểm N không tồn tại.
Vậy khi M chạy trên [O ; R] [M khác hẳn M0] thì quỹ tích điểm N là ảnh của [O ; R] qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm M0
Câu 30 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai đường tròn [O] và [O'] có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường tròn [o"] thay đổi, luôn luôn tiếp xúc ngoài với [O] và [O'] lần lượt tại B và C . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định
Giải
Kéo dài BC cắt [O’] tại B’
Vì C là tâm vị tự trong của [O’] và [O”] nên hai vecto \[\overrightarrow {O'B} \] và \[\overrightarrow {O"B'} \] ngược hướng
Vì B là tâm vị tự trong của [O] và [O”] nên hai vecto \[\overrightarrow {O"B} \] và \[\overrightarrow {OB} \] ngược hướng
Vậy hai vecto \[\overrightarrow {OB} \] và \[\overrightarrow {O'B'} \] cùng hướng
Từ đó suy ra đường thẳng BB’, cũng chính là đường thẳng BC, luôn đi qua điểm cố định là tâm vị tự ngoài I của [O] và [O’]
Giaibaitap.me
Page 6
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 185, 186 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 184 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 181 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 177 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 173 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 163 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 159 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 152 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 trang 148 SGK Sinh...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 143 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 139 SGK Sinh học...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 135 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 130 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 124 SGK Sinh học 11...
- Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 122 SGK Sinh học 11...
Page 7
Câu 1 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai đường tròn [O ; R], [O’ ; R’] và một đường thẳng d
a. Tìm hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai đường tròn đó sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MN
b. Xác định điểm I trên d sao cho tiếp tuyến IT của [O ; R] và tiếp tuyến IT’ của [O’ ; R’] hợp thành các góc mà d là một trong các đường phân giác của các góc đó
Giải
a. Gọi [O1 ; R] là ảnh của đường tròn [O ; R] qua phép đối xứng trục Đd
Giao điểm [nếu có] của hai đường tròn [O1 ; R] và [O’ ; R’] chính là điểm N cần tìm, điểm M là điểm đối xứng với N qua d
b. Vẫn gọi [O1 ; R] như trên và I là điểm cần tìm thì IT’ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn [O1 ; R] và [O’ ; R’]
Suy ra cách dựng: Vẽ tiếp tuyến chung t [nếu có] của hai đường tròn [O1 ; R] và [O’ ; R’]
Giao điểm [nếu có] của t và d chính là điểm I cần tìm
Khi đó tiếp tuyến IT’ chính là t còn đường thẳng đối xứng với IT’ qua d là tiếp tuyến IT của [O ; R]
Câu 2 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao
Chứng minh rằng nếu một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì hình đó có tâm đối xứng
Giải
Giả sử hình H có hai trục đối xứng d và d’ vuông góc với nhau
Gọi O là giao điểm của hai trục đối xứng đó
Lấy M là điểm bất kì thuộc hình H, M1 là điểm đối xứng với M qua d, M’ là điểm đối xứng với M1 qua d’
Vì d và d’ đều là trục đối xứng của hình H nên M1 và M’ đều thuộc H
Gọi I là trung điểm của MM1, J là trung điểm của M1M’ thì ta có:
\[\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IM} = \overrightarrow {M'J} + \overrightarrow {JO} = \overrightarrow {M'O} \] hay \[\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OM'} = \overrightarrow 0 \]
Vậy phép đối xứng tâm O biến điểm M thuộc hình H thành điểm M’ thuộc H, suy ra H có tâm đối xứng là O
Câu 3 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao .
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt P, Q và hai điểm A, B nằm về một phía đối với d. Hãy xác định trên d hai điểm M, N sao cho \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} \] và AM + BN bé nhất
Giải
Giả sử hai điểm M, N nằm trên d sao cho \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} \]
Lấy điểm A’ sao cho \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {PQ} \] thì điểm A’ hoàn toàn xác định và AMNA’ là hình bình hành nên AM = A’N
Ta có: AM + BN = A’N + BN
Gọi A” là điểm đối xứng của A’ qua d, khi đó:
A’N + BN = A”N + BN ≥ A”B
Từ đó ta suy ra AM + BN nhỏ nhất khi N là giao điểm của BA” với d
Từ đó tìm được điểm M thỏa \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {PQ} \]
Câu 4 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao .
Cho vecto \[\overrightarrow u \] và điểm O. Với điểm M bất kì, ta gọi M1là điểm đối xứng với M qua O và M’ là điểm sao cho \[\overrightarrow {{M_1}M'} = \overrightarrow u \]. Gọi F là phép biến hình biến M thành M’
a. F là phép hợp thành của hai phép nào ? F có phải là phép dời hình hay không ?
b. Chứng tỏ rằng F là một phép đối xứng tâm
Giải
a. F là hợp thành của hai phép: phép đối xứng tâm ĐOvới tâm O và phép tịnh tiến T theo vecto \[\overrightarrow u \]. Ta có F là phép dời hình vì ĐO và T là phép dời hình
b. Giả sử M1 = ĐO[M] và M’ = T[M1]
Nếu gọi O’ là trung điểm của MM’ thì:
\[\overrightarrow {OO'} = {{\overrightarrow {{M_1}M'} } \over 2} = {{\overrightarrow u } \over 2}\]
Vậy điểm O’ cố định và F chính là phép đối xứng qua tâm O’
Câu 5 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn [O] và một điểm M thay đổi trên [O]. Gọi M1 là điểm đối xứng với M qua A, M2 là điểm đối xứng với M1 qua B, M3 là điểm đối xứng với M2 qua C
a. Chứng tỏ rằng phép biến hình F biến điểm M thành M3 là một phép đối xứng tâm
b. Tìm quỹ tích điểm M3
Giải
a. Gọi I là trung điểm của MM3, ta chứng minh I là điểm cố định
Thật vậy, ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {CI} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {C{M_3}} } \right] \cr & \,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {{M_2}C} } \right] \cr
& \,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\overrightarrow {{M_2}M} = \overrightarrow {BA} \cr} \]
Như vậy điểm I cố định, do đó phép biến hình F biến M thành M3 là phép đối xứng qua điểm I
b. Quỹ tích điểm M3 là đường tròn [O’], ảnh của đường tròn [O] qua phép đối xứng tâm với tâm I
Câu 6 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao
Gọi F là phép biến hình có tính chất sau đây: Với mọi cặp điểm M, N và ảnh M’, N’ của chúng, ta luôn có \[\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN} \] , trong đó k là một số không đổi khác 0. Hãy chứng minh rằng F là phép tịnh tiến hoặc phép vị tự
Giải
Ta lấy một điểm A cố định và đặt A’ = F[A]
Theo giả thiết, với điểm M bất kì và ảnh M’ =F[M] của nó, ta có \[\overrightarrow {A'M} = k\overrightarrow {AM} \]
Nếu k = 1, thì \[\overrightarrow {A'M'} = \overrightarrow {AM} \], do đó \[\overrightarrow {MM'} =\overrightarrow {AA'} \] ,và F là phép tịnh tiến theo vecto \[\overrightarrow {AA'} \]
Nếu k ≠ 1 thì có điểm O sao cho:
\[\overrightarrow {OA'} = k\overrightarrow {OA} \] [với O thỏa \[\overrightarrow {OA} = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow {AA'} \] ]
Khi đó ta có:
\[\overrightarrow {OM'} = \overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {A'M'} = k\overrightarrow {OA} + k\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {OM} \]
Vậy F là phép vị tự tâm O, tỉ số k
Câu 7 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao
a. Cho tam giác ABC và hình vuông MNPQ như hình 27. Gọi V là phép vị tự tâm A tỉ số \[k = {{AB} \over {AM}}\] . Hãy dựng ảnh của hình vuông MNPQ qua phép vị tự V
b. Từ bài toán ở câu a] hãy suy ra cách giải bài toán sau: Cho tamn giác nhọn ABC, hãy dựng hình vuông MNPQ sao cho hai đỉnh P, Q nằm trên cạnh BC và hai đỉnh M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC
Giải
a. Ta có \[\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AM} \] và \[\overrightarrow {AC} = k\overrightarrow {AN} \] nên phép vị tự V biến điểm M thành điểm B, biến điểm N thành điểm C
Vậy V biến hình vuông MNPQ thành hình vuông BCP’Q’ như trên hình bên
b. Dựng hình vuông BCP’Q’ nằm ngoài tam giác ABC như hình
Lấy giao điểm P, Q của BC với các đoạn thẳng tương ứng AP’ và AQ’
Từ P và Q, kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, lần lượt cắt AC và AB tại N và M
Khi đó MNPQ chính là hình vuông cần dựng
Câu 8 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho đường tròn [O] có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng với A và B và PQ là đường kính thay đổi của [O] khác đường kính AB. Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N
a. Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ.
b. Tìm quỹ tích các điểm M và N khi đường kính PQ thay đổi
Giải
a. Ta có QB // AP [vì cùng vuông góc với PB] và B là trung điểm của AC nên Q là trung điểm của CM
Ta có AQ // BN [vì cùng vuông góc với AP] và B là trung điểm của AC nên N là trung điểm của CQ
b. Theo câu a] ta có \[\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {CQ} \] nên phép vị tự V tâm C tỉ số biến Q thành M
Vì Q chạy trên đường tròn [O] [trừ hai điểm A, B] nên quỹ tích M là ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự V [trừ ảnh của A, B]
Tương tự, ta có \[\overrightarrow {CN} = {1 \over 2}\overrightarrow {CQ} \] nên quỹ tích N là ảnh của đường tròn [O] qua phép vị tự V tâm C, tỉ số \[{1 \over 2}\] [trừ ảnh của A, B]
Câu 9 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho đường tròn [O ; R] và điểm A cố định Một dãy cung BC thay đổi của [O ; R] có độ dài không đổi BC = m. Tìm quỹ tích các điểm G sao cho \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]
Các câu hỏi trách nhiệm
Giải
Gọi I là trung điểm của BC
Ta có
\[\eqalign{ & \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GI} = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow {AI} \cr} \]
Tức là phép vị tự V tâm A tỉ số \[{2 \over 3}\] biến điểm I thành điểm G
Trong tam giác vuông OIB ta có:
\[OI = \sqrt {O{B^2} - I{B^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {{m \over 2}} \right]}^2}} = R'\] [không đổi]
Nên quỹ tích I là đường tròn [O ; R’] hoặc là điểm O [nếu m = 2R]
Do đó quỹ tích G là ảnh của quỹ tích I qua phép vị tự V
Giaibaitap.me
Page 8
Trắc nghiệm Câu 1 - 12 trang 35, 36 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 1 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai đường thẳng song song d và d’. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d thành d’
A. Không có phép tịnh tiến nào
B. Có duy nhất một phép tịnh tiến
C. Chỉ có hai phép tịnh tiến
D. Có vô số phép tịnh tiến
Giải
Lấy A ∈ d, A’ ∈ d’ thì phép tịnh tiến vecto \[\overrightarrow {AA'} \] biến d thành d’
Chọn D
Câu 2 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho bốn đường thẳng a, b , a’, b’ trong đó a // a’, b // b’, a cắt b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến a và b thành a’ và b’ ?
A. Không có phép tịnh tiến nào
B. Có duy nhất một phép tịnh tiến
C. Chỉ có hai phép tịnh tiến
D. Có rất nhiều phép tịnh tiến
Giải :
Gọi I là giao điểm của a và b
I’ là giao điểm của a’ và b’
Khi đó phép tịnh tiến vecto \[\overrightarrow {II'} \] biến a, b lần lượt thành a’, b’
Chọn B
Câu 3 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến d thành d’ ?
A. Không có phép đối xứng trục nào
B. Có duy nhất một phép đối xứng trục
C. Chỉ có hai phép đối xứng trục
D. Có rất nhiều phép đối xứng trục
Giải :
Hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d và d’ là các trục đối xứng trục biến đường thẳng d thành đường thẳng d’
Chọn C
Câu 4 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong các hình dưới đây, hình nào có bốn trục đối xứng ?
A. Hình bình hành
B. Hình bình hành
C. Hình thoi
D. Hình vuông
Giải :
Hình vuông có 4 trục đối xứng
Chọn D
Câu 5 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. Hình gồm hai đường tròn không bằng nhau có trục đối xứng
B. Hình gồm một đường tròn và một đoạn thẳng tùy ý có trục đối xứng
C. Hình gồm một đường tròn và một đường thẳng tùy ý có trục đối xứng
D. Hình gồm một tam cân và đường tròn ngoại tiếp tam giác đó có trục đối xứng
Giải :
Chọn B
Câu 6 trang 35 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong các hình sau đây, hình nào không có tâm đối xứng ?
A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp
B. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp
C. Hình lục giác đều
D. Hình gồm một hình vuông và đường tròn nội tiếp
Giải :
Tâm O của đường tròn không là tâm đối xứng của tam giác đều ABC
Chọn B
Câu 7 trang 36 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình vuông ABCD tâm O. Xét phép quay Q có tâm quay O và góc quay φ. Với giá trị nào sau đây của φ, phép quay Q biến hình vuông ABCD thành chính nó ?
A.\[\varphi = {\pi \over 6}\] B.\[\varphi = {\pi \over 4}\]
C.\[\varphi = {\pi \over 3}\] D.\[\varphi = {\pi \over 2}\]
Giải :
Xét phép quay Q tâm O, góc \[{\pi \over 2}\] ta có:
Q: A → B
B → C
C → D
D → A
Suy ra Q: ABCD → ABCD
Chọn D
Câu 8 trang 36 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai đường thẳng song song d và d’. Có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số k = 100 biến d thành d’ ?
A. Không có phép nào
B. Có duy nhất một phép
C. Chỉ có hai phép
D. Có rất nhiều phép
Giải :
Trên đường thẳng HH’ ⊥ d [H ∈ d, H’ ∈ d’]
Lấy O sao cho \[\overrightarrow {OH'} = 100\,\,\overrightarrow {OH} \]
Phép vị tự tâm O tỉ số k biến d thành d’
Chọn D
Câu 9 trang 36 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho đường tròn [O ; R]. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
A. Có phép tịnh tiến biến [O ; R] thành chính nó
B. Có hai phép vị tự biến [O ; R] thành chính nó
C. Có phép đối xứng trục biến [O ; R] thành chính nó
D. Trong ba mệnh đề A, B, C, có ít nhất một mệnh đề sai
Giải :
A, B, C đều đúng. Chọn D
Câu 10 trang 36 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ?
A. Tâm vị tự ngoài của hai đường tròn nằm ngoài hai đường tròn đó
B. Tâm vị tự ngoài của hai đường tròn không nằm giữa hai tâm của hai đường tròn đó
C. Tâm vị tự trong của hai đường tròn luôn thuộc đoạn thẳng nối tâm hai đường tròn đó
D. Tâm vị tự của hai đường tròn có thể là điểm chung của cả hai đường tròn đó
Giải :
Chọn A
Câu 11 trang 36 SGK Hình học 11 Nâng cao
Phép biến hình nào sau đây không có tính chất: “Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó” ?
A. Phép tịnh tiến
B. Phép đối xứng tâm
C. Phép đối xứng trục
D. Phép vị tự
Giải :
Chọn C
Câu 12 trang 36 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong các mệnh đè sau đây, mệnh đề nào sai ?
A. Phép dời hình là một phép đồng dạng
B. Phép vị tự là một phép đồng dạng
C. Phép đồng dạng là một phép dời hình
D. Có phép vị tự không phải là phép dời hình
Giải :
Chọn C
Giaibaitap.me