Giải hệ phương trình số phức 3 an

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Quan tâm

0

Đưa vào sổ tay

Normal 0 false false false MicrosoftInternetExplorer4

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC

I. LÝ THUYẾT
Tóm tắt lý thuyết:
Cho $2$ số phức $z=a+bi$ và $z’=a’+b’i$ thì:
$z+z’=[a+a’] + [b+b’]i$ và $z-z’=[a-a’] + [b-b’]i$
$z.z’=[aa’-bb’]+ [ab’+a’b]i$
Số phức $\overline z $$=a-bi$ được gọi là số phức liên hợp của số phức $z$
$\left| z \right|$ là mô đun của số phức $z$ đó là số thực không âm được xác định như sau :
• Nếu $M[a;b]$ biểu diễn số phức $z =a+bi$ thì $\left| z \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
• Nếu $z=a+bi$ thì $\left| z \right| = \sqrt {z.\overline z } = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Số phức nghịch đảo của số phức $z$ là ${z^{ - 1}}$được xác định như sau
${z^{ - 1}} = \frac{1}{z} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}$
Lý thuyết đầy đủ về số phức được viết trong bài: "Số phức - một sô dạng bài tập căn bản"

II. BÀI TẬP
Phương Pháp :

Phương trình bậc hai, dù là hệ số thực hay hệ số phức ta đều phải tínhbiệt thức $\Delta=b^2-4ac$ rồi tính căn bậc hai của $\Delta$ là $\delta$ rồi áp dụng công thức tính nghiệm.
Việc giải phương trình, hệ phương trình tương tự như thực hiện trên tập số thực, nhưng cần chú ý đến việc tìm căn bậc hai của số âm hoặc căn bậc hai của số phức.

Căn bậc hai của số phức:
Gọi $w = x + yi$ với $x,y$$ \in R$ là một căn bậc hai của số phức $z$
Ta có ${{\text{w}}^{\text{2}}} = a + bi$ $ \Leftrightarrow {\left[ {x + yi} \right]^2} = a + bi$ $ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}
{x^2} - {y^2} = a \\
2xy = b \\
\end{array} \right.$
Giải hệ phương trình trên tìm được các căn bậc hai của số phức $z$

Bài 1:
Gọi $z_1$ và $z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình: ${z^2} + 2z + 10 = 0$.
Tính giá trị của biểu thức A = ${\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}$
Lời giải:
Ta có: $\Delta $$= 1^2 - 10 = -9 = 9i^2$
Phương trình có các nghiệm: $z1 = - 1 - 3i; z2 = - 1 + 3i$
Ta có: ${\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left[ { - 1} \right]^2} + {\left[ { - 3} \right]^2} + {\left[ { - 1} \right]^2} + {3^2} = 20$

Bài 2:
Tìm số phức $z$ thỏa mãn: $\left| {z - \left[ {2 + i} \right]} \right| = \sqrt {10} $ và $z.\overline z = 25$
Lời giải:
Đặt $z = a + bi$ với $a, b$ $ \in $ $\mathbb{R}$, ta có:
$\left\{ \begin{array}
z.\overline z = 25 \\
\left| {z - \left[ {2 + i} \right]} \right| = \sqrt {10} \\
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{array}
{a^2} + {b^2} = 25 \\
\left| {\left[ {a - 2} \right] + \left[ {b - 1} \right]i} \right| = \sqrt {10} \\
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{array}
{a^2} + {b^2} = 25 \\
{\left[ {a - 2} \right]^2} + {\left[ {b - 1} \right]^2} = 10 \\
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}
{a^2} + {b^2} = 25 \\
2a + b = 10 \\
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow $ $\left[ \begin{array}
\left\{ \begin{array}
a = 3 \\
b = 4 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}
a = 5 \\
b = 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.$
Vậy có hai số phức cần tìm : $z = 3 + 4i , z = 5 + 0i$

Bài 3:
Giải phương trình sau [ẩn $z$]: $z + 2\bar z = {\left[ {1 + 5i} \right]^2}$
Lời giải:
Giả sử $z = a + bi$; $z + 2\bar z = {\left[ {1 + 5i} \right]^2}$
$ \Rightarrow [*] \Leftrightarrow a + bi + 2\left[ {a - bi} \right] = 1 + 10i + 25{i^2}$
$ \Leftrightarrow 3a - bi = - 24 + 10i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
3a = - 24 \\
- b = 10 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = - 8 \\
b = - 10 \\
\end{array} \right.\\ \Rightarrow z = - 8 - 10i$

Bài 4:
Tìm căn bậc hai của số phức sau: $z = - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Ta có: $z = - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = 3\left[ {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] = 3\left[ {c{\text{os}}\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{4}}} + {\text{isin}}\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{4}}}} \right]$
Suy ra z có hai căn bậc hai là:
w = $\sqrt 3 \left[ {c{\text{os}}\left[ {\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{8}}} + \frac{{k2\pi }}{2}} \right] + {\text{isin}}\left[ {\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{8}}} + \frac{{k2\pi }}{2}} \right]} \right]$ $\left[ {k = 0;1} \right]$
+ Khi $k = 0 \Rightarrow $w = $\sqrt 3 \left[ {c{\text{os}}\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{8}}} + {\text{isin}}\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{8}}}} \right]$
+ khi $k = 1 \Rightarrow $ w = $\sqrt 3 \left[ {c{\text{os}}\left[ {\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{8}}} + \pi } \right] + {\text{isin}}\left[ {\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{8}}} + \pi } \right]} \right]$
= $\sqrt 3 \left[ {c{\text{os}}\frac{{{\text{11}}\pi }}{{\text{8}}} + {\text{isin}}\frac{{{\text{11}}\pi }}{{\text{8}}}} \right]$

Bài 5:
Giải phương trình sau trên $\mathbb{C}$ [ẩn z]: ${z^4} + 2{z^3} - {z^2} + 2z + 1 = 0$
Lời giải:
${z^4} + 2{z^3} - {z^2} + 2z + 1 = 0 \Leftrightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} + 2\left[ {z + \frac{1}{z}} \right] - 1 = 0$ [do z $ \ne $0]
Đặt w = ${\text{z + }}\frac{{\text{1}}}{{\text{z}}} \Rightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {{\text{w}}^{\text{2}}} - 2$, ta được:
${{\text{w}}^{\text{2}}} - 2 + 2w - 1 = 0 \Leftrightarrow {{\text{w}}^{\text{2}}} + 2w - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
{\text{w = 1}} \\
{\text{w = - 3}} \\
\end{array} \right.$
Do đó: $z + \frac{1}{z} = 1$ $[1]$ hay $z + \frac{1}{z} = - 3$ $[2]$
+ Giải $[1]$ $ \Leftrightarrow {z^2} - z + 1 = 0$
Ta có: $\Delta = 1 - 4 = - 3 = {\left[ {\sqrt 3 i} \right]^2}$
Vậy phương trình $[1]$ có hai nghiệm phân biệt: ${z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2};{z_2} = \frac{{1 - \sqrt 3 i}}{2}$
+ Giải $[2]$ $ \Leftrightarrow {z^2} + 3z + 1 = 0$. Ta có: $\Delta = 9 - 4 = 5$
Vậy phương trình $[2]$ có hai nghiệm phân biệt:
${z_3} = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2};{z_4} = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}$
Tóm lại phương trình đã cho có bốn nghiệm:
${z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2};{z_2} = \frac{{1 - \sqrt 3 i}}{2}$;${z_3} = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2};{z_4} = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}$

Bài 6:
Giải phương trình sau trên $\mathbb{C}$ [ẩn $z$]: $2{z^4} - 2{z^3} + {z^2} + 2z + 2 = 0$
Lời giải:
$2{z^4} - 2{z^3} + {z^2} + 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow 2\left[ {{z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right] - 2\left[ {z - \frac{1}{z}} \right] + 1 = 0$
Đặt w = $z - \frac{1}{z} \Rightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {{\text{w}}^{\text{2}}} + 2$, ta được:
$2\left[ {{{\text{w}}^{\text{2}}} + 2} \right] - 2w + 1 = 0 \Leftrightarrow 2{w^2} - 2w + 5 = 0$
+ Giải: $2{w^2} - 2w + 5 = 0$$[*]$
Ta có: ${\Delta ^'} = 1 - 10 = - 9 = {\left[ {3i} \right]^2}$
Vậy phương trình $[*]$ có hai nghiệm phân biệt: ${{\text{w}}_{\text{1}}} = \frac{{1 + 3i}}{2};{{\text{w}}_{\text{2}}} = \frac{{1 - 3i}}{2}$
Do đó: $z - \frac{1}{z} = \frac{{1 + 3i}}{2}$ $[1]$ hay $z - \frac{1}{z} = \frac{{1 - 3i}}{2}$ $[2]$
+ Giải [1] $ \Leftrightarrow {z^2} - \left[ {\frac{{1 + 3i}}{2}} \right]z - 1 = 0 \Leftrightarrow 2{z^2} - \left[ {1 + 3i} \right]z - 2 = 0$
Ta có: $\Delta = {\left[ {1 + 3i} \right]^2} + 16 = 8 + 6i$
Số phức $z = x + yi$ $[x,y \in \mathbb{R}]$là căn bậc hai của $\Delta = 8 + 6i$ khi và chỉ khi
${z^2} = 8 + 6i \Leftrightarrow {\left[ {x + yi} \right]^2} = 8 + 6i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 8 + 6i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{x^2} - {y^2} = 8 \\
2xy = 6 \\
\end{array} \right.$ $[**]$
Giải $[**]$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{x^2} - \frac{9}{{{x^2}}} = 8 \\
y = \frac{3}{x} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{x^4} - 8{x^2} - 9 = 0 \\
y = \frac{3}{x} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{x^2} = 9 \\
y = \frac{3}{x} \\
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
x = \pm 3 \\
y = \frac{3}{x} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
x = 3 \\
y = 1 \\
\end{array} \right.hay\left\{ \begin{array}
x = - 3 \\
y = - 1 \\
\end{array} \right.$
Suy ra có hai căn bậc hai của $\Delta $ là $3 + i$ và $3 - i$
Vậy phương trình $[1]$ có hai nghiệm:
${z_1} = \frac{{1 + 3i + 3 + i}}{4} = 1 + i;{z_2} = \frac{{1 + 3i - 3 - i}}{4} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$
+ Giải $[2]$ $ \Leftrightarrow {z^2} - \left[ {\frac{{1 - 3i}}{2}} \right]z - 1 = 0 \Leftrightarrow 2{z^2} - \left[ {1 - 3i} \right]z - 2 = 0$
Ta có: $\Delta = {\left[ {1 - 3i} \right]^2} + 16 = 8 - 6i$
Số phức $z = x + yi$ $\left[ {x,y \in \mathbb{R}} \right]$là căn bậc hai của $\Delta = 8 - 6i$ khi và chỉ khi
${z^2} = 8 - 6i \Leftrightarrow {\left[ {x + yi} \right]^2} = 8 - 6i \\\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 8 - 6i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{x^2} - {y^2} = 8 \\
2xy = - 6 \\
\end{array} \right.$$[***]$
Giải $[***]$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{x^2} - \frac{9}{{{x^2}}} = 8 \\
y = - \frac{3}{x} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{x^4} - 8{x^2} - 9 = 0 \\
y = - \frac{3}{x} \\
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{x^2} = 9 \\
y = - \frac{3}{x} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
x = \pm 3 \\
y = - \frac{3}{x} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
\left\{ \begin{array}
x = 3 \\
y = - 1 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}
x = - 3 \\
y = 1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.$
Suy ra có hai căn bậc hai của $\Delta $ là $ - 3 + i$ và $3 - i$
Vậy phương trình [2] có hai nghiệm: ${z_3} = \frac{{1 - 3i + 3 - i}}{4} = 1 - i;{z_4} = \frac{{1 - 3i - 3 + i}}{4} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$
Tóm lại phương trình đã cho có bốn nghiệm:
${z_1} = 1 + i;{z_2} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$;${z_3} = 1 - i;{z_4} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

Bài 7:
Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: $\left\{ \begin{array}
{Z_1} + {Z_2} = 2 + 3i \\
Z_1^2 + Z_2^2 = 5 - 4i \\
\end{array} \right.$
Lời giải:
HPT $ \Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{array}
{Z_1} + {Z_2} = 2 + 3i \\
{Z_1}.{Z_2} = - 5 + 8i \\
\end{array} \right.$
$Z_1$ và $Z_2$ là $2$ nghiệm phương trình: $Z^2 - [2 + 3i]Z - 5 + 8i = 0$
Ta có $\Delta $ = $15 - 20i = {\left[ {\sqrt 5 \left[ {2 - i} \right]} \right]^2}$
Nên $\left[ \begin{array}
{Z_1} = \left[ {1 + \sqrt 5 } \right] + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}i \\
{Z_2} = \left[ {1 - \sqrt 5 } \right] + \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}i \\
\end{array} \right.$

Bài tập tự giải:
Bài 1:
Giải phương trình:
$a.\quad \left| z \right| - z = 1 + 2i$. $b.\quad \left| z \right| + z = 2 + i$.
Bài 2:
Giải phương trình: ${z^6} - 7{z^3} - 8 = 0$.
Bài 3:
Giải các phương trình sau [với ẩn là z] trên tập số phức:
a] $\left[ {4 - 5i} \right]z = 2 + i$ b] ${\left[ {3 - 2i} \right]^2}\left[ {z + i} \right] = 3i$
c] ${\left[ {z + i} \right]^2} = 1$ d] $\left[ {z + 1} \right]\left[ {z - 1} \right] = 2 + 4i$
e] ${\left[ {z + 2i} \right]^2} + 2\left[ {z + 2i} \right] - 3 = 0$ f] ${\left[ {\frac{{4z + i}}{{z - i}}} \right]^2} - 5\frac{{4x + i}}{{z - i}} + 6 = 0$
Bài 4:
Tìm các căn bậc hai của số phức :
a] $-5 + 12i$ b] $ - 17 - 20\sqrt 2 i$
Bài 5:
Cho phương trình $\left[ {z + i} \right]\left[ {{z^2} - 2mz + {m^2} - 2m} \right] = 0$. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình:
a] Chỉ có đúng 1 nghiệm phức.
b] Chỉ có đúng 1 nghiệm thực.
c] Có ba nghiệm phức.
Bài 6:
Tìm tham số $m$ để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm ${z_1}$, ${z_2}$ thỏa mãn điều kiện đã chỉ ra:
a] ${z^2} - mz + m + 1 = 0$, điều kiện ${z_1}^2 + {z_2}^2 = {z_1}.{z_2} + 1$.
b] ${z^2} - 3mz + 5i = 0$, điều kiện ${z_1}^3 + {z_2}^3 = 18$.
Bài 7:Tìm số phức $a$ để pt bậc hai $z^2 + az + 3i = 0$ có tổng bình phương hai nghiệm bằng $8$.

Phương trình số phức Hệ phương trình số phức Số phức

hủy

Trợ giúp

Nhập tối thiểu 8 ký tự, tối đa 255 ký tự.

Thẻ

Phương trình số phức ×54
Hệ phương trình số phức ×4
Số phức ×44

Lượt xem

56828

  • BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
    • PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
      • HÌNH HỌC PHẲNG
        • HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
          • LƯỢNG GIÁC
            • TỔ HỢP - XÁC SUẤT
              • HÀM SỐ
                • TÍCH PHÂN
                  • HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
                    • DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN
                      • CÔNG THỨC

                        Liên quan

                        Bài 107646

                        Bài 107642

                        Bài 107636

                        Bài 107424

                        Bài 107418

                        Video liên quan

                        Chủ Đề