Cho hình thoi ABCD cới cạnh có độ dài bằng 1 và BAD = 120 Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ Trong hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ Với hai vectơ a, b cho trước, lấy một điểm A vẽ các vectơ
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
HĐ1
Với hai vectơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \] cho trước, lấy một điểm A vẽ các vectơ \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \]. Lấy điểm A’ khác A và cũng vẽ các vectơ \[\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow b \]. Hỏi hai vectơ \[\overrightarrow {AC} \] và \[\overrightarrow {A'C'} \] có mối quan hệ gì?
Phương pháp giải:
Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Xét độ dài và hướng của hai vectơ \[\overrightarrow {AC} \] và \[\overrightarrow {A'C'} \] để suy ra mối quan hệ của chúng.
Lời giải chi tiết:
\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \;\;\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//\;a\\AB = a\end{array} \right.\] và \[\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow a \;\;\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'B'\;//\;a\\A'B' = a\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//\;A'B'\\AB = A'B'\end{array} \right.\]
Tương tự, ta cũng suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}BC//\;B'C'\\BC = B'C'\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \Delta ABC = \Delta A'B'C'\][c-g-c]
\[\left\{ \begin{array}{l}AC//\;A'C'\\AC = A'C'\end{array} \right.\]
Dễ dàng suy ra \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \].
Quảng cáo
HĐ2
Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \] và \[\overrightarrow {AC} \]
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định vectơ \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \] bằng cách thay vectơ \[\overrightarrow {AD} \] bởi vectơ bằng nó mà có điểm đầu là B.
Bước 2: So sánh với vectơ \[\overrightarrow {AC} \]
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD là hình bình hành nên \[\left\{ \begin{array}{l}AD//\;BC\\AD = BC\end{array} \right.\], hay \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \].
Do đó \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \].
HĐ3
- Trong hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ \[\overrightarrow a + \overrightarrow b \]và vectơ \[\overrightarrow b + \overrightarrow a \].
- Trong hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ \[\left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right] + \overrightarrow c \]và vectơ \[\overrightarrow a + \left[ {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right]\].
Phương pháp giải:
Nếu \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \] thì \[\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \]
Lời giải chi tiết:
- Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b \] nên \[\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \]
Mặt khác: \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b ,\;\overrightarrow {DC} = \overrightarrow a \] nên \[\overrightarrow b + \overrightarrow a = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} \]
Do đó \[\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \].
- Theo câu a] ta có \[\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AC} \] và \[\overrightarrow {CD} = \overrightarrow c \] nên \[\left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right] + \overrightarrow c = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \].
Mặt khác: \[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b ,\;\overrightarrow {CD} = \overrightarrow c \] nên \[\overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} \]
Và \[\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} \] nên \[\overrightarrow a + \left[ {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right] = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \]
Vậy \[\left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right] + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left[ {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right]\]
Luyện tập 1
Cho hình thoi ABCD cới cạnh có độ dài bằng 1 và \[\widehat {BAD} = {120^o}\]. Tính độ dài của các vectơ \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BA} .\]
Lời giải chi tiết:
\[\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \] do hai vectơ \[\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {BA} \] cùng hướng và \[CD = BA\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} \\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA\end{array}\]
Xét tam giác ABC, ta có:
\[BA = BC\] và \[\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.\widehat {BAD} = {60^o}\]
\[ \Rightarrow \Delta ABC\] đều, hay \[CA = BC = 1\]
Vậy \[\left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = 1.\]
Dựa vào tính chất kết hợp, ta có:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BA} = \left[ {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} } \right] + \overrightarrow {BA} \\ = \left[ {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} } \right] + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} .\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = 1.\end{array}\]
Giải mục 2 trang 52, 53, 54 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức
Thế nào là hai lực cân bằng? Nếu dùng hai vectơ để biểu diễn hai lực cần bằng thì hai vectơ này có mối quan hệ gì với nhau? Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN. Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng 22 148 N [ứng với khối lượng xấp xỉ 2 260kg] lên một con dốc nghiêng