Hạt nhân Po phóng xạ anpha và biến thành hạt nhân Pb

Xét một mẫu phóng xạ: $X\to Y+$tia phóng xạ.

Gọi ${{N}_{o}},{{m}_{o}}$ lần lượt là số hạt nhân và khối lượng của mẫu ban đầu.

- Số hạt nhân và khối lượng phóng xạ còn lại:

 $\left\{ \begin{array}{} N={{N}_{o}}{{.2}^{\frac{-t}{T}}}={{N}_{o}}.{{e}^{-\lambda t}} \\ {} m={{m}_{o}}{{.2}^{\frac{-t}{T}}}={{m}_{o}}.{{e}^{-\lambda t}} \\ \end{array} \right.$

Trong đó: N, m lần lượt là số hạt nhân, khối lượng của mẫu phóng xạ còn lại sau thời gian t.

- Số hạt nhân và khối lượng phóng xạ đã bị phân rã:

$\left\{ \begin{array}{} \Delta N={{N}_{o}}-N={{N}_{o}}\left( 1-{{2}^{\frac{-t}{T}}} \right)={{N}_{o}}(1-{{e}^{-\lambda t}}) \\ {} \Delta m={{m}_{o}}-m={{m}_{o}}\left( 1-{{2}^{\frac{-t}{T}}} \right)={{m}_{o}}{{e}^{-\lambda t}} \\ \end{array} \right.$

Trong đó: $\Delta N,\,\,\Delta m$ lần lượt là số hạt nhân, khối lượng của mẫu đã bị phân rã.

- Phần trăm số hạt, khối lượng phóng xạ còn lại: $\frac{N}{{{N}_{o}}}=\frac{m}{{{m}_{o}}}=\frac{H}{{{H}_{o}}}={{2}^{\frac{-t}{T}}}={{e}^{-\lambda t}}$

- Phần trăm số hạt, khối lượng phóng xạ bị phân rã: $\frac{\Delta N}{{{N}_{o}}}=\frac{\vartriangle m}{{{m}_{o}}}=1-{{2}^{\frac{-t}{T}}}=1-{{e}^{-\lambda t}}$

Chú ý: Mối liên hệ về số hạt và khối lượng: $N=n.{{N}_{A}}=\frac{m}{A}.{{N}_{A}}$

Trong đó: n là số mol, ${{N}_{A}}=6,{{02.10}^{23}}mo{{l}^{-1}}$ là số Avôgađrô.

Ví dụ minh họa

Lời giải

Phương trình phản ứng: $_{84}^{210}Po\to _{2}^{4}\alpha +_{82}^{206}Pb.$

Số hạt nhân Po ban đầu có trong mẫu là

${{N}_{o}}=\frac{m}{A}.{{N}_{A}}=\frac{100}{210}.6,{{02.10}^{23}}\approx 2,{{866.10}^{23}}$ hạt.

a) Sau 69 ngày, số hạt và khối lượng Po còn lại là

$\left\{ \begin{array}{} {{N}_{\left( t \right)}}={{N}_{o}}{{.2}^{\frac{-t}{T}}}=2,{{866.10}^{23}}{{.2}^{\frac{-69}{138}}}=2,{{027.10}^{23}}hat \\ {} {{m}_{\left( t \right)}}={{m}_{o}}{{.2}^{\frac{-t}{T}}}={{100.2}^{\frac{-69}{138}}}=50\sqrt{2}g \\ \end{array} \right.$

b) Sau 80 ngày, số hạt Po đã bị phân rã là

$\Delta N={{N}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)=2,{{866.10}^{23}}.\left( 1-{{2}^{\frac{-80}{138}}} \right)=9,{{48.10}^{22}}$ hạt.

    Sau 80 ngày, khối lượng Po đã bị phân rã là:

$\Delta m={{m}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)=100\left( 1-{{2}^{-\frac{80}{138}}} \right)\approx 33,1g.$

c) Sau 150 ngày, phần trăm Po bị phân rã là

$\frac{\Delta m}{m}=1-{{2}^{-\frac{t}{T}}}=1-{{2}^{-\frac{150}{380}}}=52,924%.$

d) Khối lượng Po đã bị phân ra:

$\Delta m={{m}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)\Leftrightarrow 12,5=100\left( 1-{{2}^{\frac{-t}{138}}} \right)\Rightarrow t\approx 26,6$ ngày.

e) Số hạt nhân Po phóng xạ còn lại 25% so với ban đầu:

$\frac{N}{{{N}_{o}}}={{2}^{-\frac{t}{T}}}\Leftrightarrow 0,25={{2}^{\frac{-t}{138}}}\Rightarrow t=276$ ngày.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP DẠNG 1

Lời giải

Khối lượng Co còn lại sau 15 năm là: $m={{m}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{T}}}={{2.2}^{-\frac{15}{5,33}}}=0,284g.$Chọn A.

Lời giải

Sau $\Delta t:\frac{{{N}_{o}}}{N}=4={{2}^{\frac{\Delta t}{T}}}\Rightarrow \Delta t=2T$

Sau $2\Delta t:\Rightarrow N=\frac{{{N}_{o}}}{{{2}^{4}}}=\frac{{{N}_{o}}}{16}\Rightarrow \frac{N}{{{N}_{o}}}=\frac{1}{16}\approx 6,25%$. Chọn D.

Lời giải

Giả sử ban đầu có ${{N}_{o}}$ hạt $_{84}^{210}Po$ phóng xạ $\Rightarrow $có $84{{N}_{o}}$ prôtôn và $126{{N}_{o}}$nơtron.

Tại thời điểm t, số hạt prôtôn trong mẫu là: ${{N}_{1}}=84{{N}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{T}}}$

Tại thời điểm $t+\Delta t,$ số hạt nơtron trong mẫu là: ${{N}_{2}}=126{{N}_{o}}{{.2}^{-\frac{t+\Delta t}{T}}}$

Do  $\frac{{{N}_{1}}}{{{N}_{2}}}=1,158\Rightarrow \frac{84}{126}{{.2}^{\frac{\Delta t}{138}}}=1,158\Rightarrow \Delta t\approx 110$ ngày. Chọn D.

Lời giải

Ban đầu số hạt nhân A gấp bốn lần số hạt nhân B: ${{N}_{oA}}=4{{N}_{oB}}$

Sau 2 h, số hạt nhân A, B phóng xạ còn lại là: $\left\{ \begin{array}{} {{N}_{A}}={{N}_{oA}}{{.2}^{-\frac{2}{{{T}_{A}}}}} \\ {} {{N}_{B}}={{N}_{oB}}{{.2}^{-\frac{t}{{{T}_{B}}}}} \\ \end{array} \right.$

Do ${{N}_{A}}={{N}_{B}}\Rightarrow {{N}_{oA}}{{.2}^{-\frac{2}{{{T}_{A}}}}}={{N}_{oB}}{{.2}^{-\frac{1}{{{T}_{B}}}}}\Leftrightarrow {{4.2}^{-\frac{2}{0,2}}}={{2}^{-\frac{2}{{{T}_{B}}}}}\Rightarrow {{T}_{B}}=0,25h.$ Chọn A.

Lời giải

Ở thời điểm hình thành trái đất: ${{N}_{o1}}={{N}_{o2}}={{N}_{o}}$

Hiện tại trái đất t năm tuổi: $\left\{ \begin{array}{} {{N}_{1}}={{N}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{{{T}_{1}}}}} \\ {} {{N}_{2}}={{N}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{{{T}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{{{N}_{1}}}{{{N}_{2}}}={{2}^{\frac{t}{{{T}_{2}}}-\frac{t}{{{T}_{1}}}}}$

$\Leftrightarrow 140={{2}^{\frac{t}{0,{{713.10}^{9}}}-\frac{t}{4,{{5.10}^{9}}}.}}\Rightarrow \frac{t}{0,{{713.10}^{9}}}-\frac{t}{4,{{5.10}^{9}}}={{\log }_{2}}140\Rightarrow t\approx {{6.10}^{9}}$ năm. Chọn A.

Lời giải

Ta có: ${{N}_{oA}}={{N}_{oB}}={{N}_{o}}$

Sau 80 phút: $\frac{\Delta {{N}_{A}}}{\Delta {{N}_{B}}}=\frac{{{N}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{80}{20}}} \right)}{{{N}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{80}{40}}} \right)}=\frac{5}{4}.$ Chọn B.

Lời giải

Ban đầu, số hạt X bằng số hạt Y: ${{N}_{oX}}={{N}_{oY}}={{N}_{o}}$

Sau khoảng thời gian t, tổng số hạt còn lại bằng 87,5% số hạt ban đầu:

$\frac{{{N}_{X}}+{{N}_{Y}}}{2{{N}_{o}}}=0,875\Leftrightarrow \frac{{{N}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{{{T}_{X}}}}}+{{N}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{{{T}_{Y}}}}}}{2{{N}_{o}}}=0,875$

$\Leftrightarrow \frac{{{2}^{-\frac{t}{2,4}}}+{{2}^{-\frac{t}{4}}}}{2}=0,875\Rightarrow t=0,58$ngày. Chọn B.

Lời giải

Gọi ${{M}_{o}}$ là khối lượng của ${{P}_{o}}$ ở thời điểm t = 0.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{} {{m}_{o}}={{M}_{o}}{{.2}^{-\frac{{{t}_{o}}}{T}}} \\ {} 8={{M}_{o}}{{.2}^{-\frac{{{t}_{o}}+2\Delta t}{T}}}={{M}_{o}}{{.2}^{-\frac{{{t}_{o}}}{T}}}{{.2}^{-\frac{2\Delta t}{T}}} \\ {} 1={{M}_{o}}{{.2}^{-\frac{{{t}_{o}}+3\Delta t}{T}}}={{M}_{o}}{{.2}^{-\frac{{{t}_{o}}}{T}}}{{.2}^{-\frac{3\Delta t}{T}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{\left\{ \begin{array}{} 8={{m}_{o}}.\left( {{2}^{-\frac{\Delta t}{T}}} \right) \\ {} 1={{m}_{o}}.{{\left( {{2}^{-\frac{\Delta t}{T}}} \right)}^{3}} \\ \end{array} \right.}^{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{2}^{-\frac{\Delta t}{T}}}=\frac{1}{8} \\ {} {{m}_{o}}=512g \\ \end{array} \right..$ Chọn D.

Lời giải

Số hạt đã phóng xạ trong 10 phút là $\Delta N={{N}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)$

Các hạt phóng xạ tỏa đều đẳng hướng trong không gian nên mật độ các hạt phóng xạ là $n=\frac{\Delta N}{4\pi {{R}^{2}}}$

Số chấm sáng trên màn đúng bằng số hạt phóng xạ đập vào $=n.S=\frac{\Delta N}{4\pi {{R}^{2}}}S=\frac{{{N}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)}{4\pi {{R}^{2}}}S$

$=\frac{{{10}^{7}}.\left( 1-{{2}^{-\frac{10}{2,6.365.24.60}}} \right)}{4\pi {{.1}^{2}}}.10\approx 40$. Chọn C.

Lời giải

Độ phóng xạ của 42 mg Po ban đầu:

${{H}_{o}}=\lambda {{N}_{o}}=\frac{\ell n2}{T}.\frac{m}{{{A}_{Po}}}.{{N}_{A}}=\frac{\ln 2}{138.24.60.60}.\frac{{{42.10}^{-3}}}{210}.6,02,{{10}^{23}}\approx {{7.10}^{12}}Bq.$ Chọn A.

Lời giải

Phần trăm độ phóng xạ còn lại là $\frac{H}{{{H}_{0}}}={{2}^{-\frac{t}{T}}}={{2}^{-\frac{11,4}{3,8}}}=0,125=12,5%.$ Chọn A.

Lời giải

Ta so sánh độ phóng xạ 1 g mẫu mới (3000/200) và 1 g cổ vật (457/50) nên

$H={{H}_{0}}{{2}^{-\frac{t}{T}}}\Rightarrow \frac{457}{50}=\frac{3000}{200}{{.2}^{-\frac{t}{5600}}}\Rightarrow t\approx {{4.10}^{3}}$ năm. Chọn D.

Lời giải

Ta có: $H{{ {} }_{1}}=\lambda {{N}_{1}}=\frac{\ell n2}{T}.{{N}_{1}};{{H}_{2}}=\frac{\ell n2}{T}.{{N}_{2}}$

$\Rightarrow \Delta N={{N}_{1}}-{{N}_{2}}=\left( {{H}_{1}}-{{H}_{2}} \right).\frac{T}{\ell n2}=\left( {{10}^{5}}-{{8.10}^{4}} \right).\frac{6,93.86400}{\ell n2}=1,{{728.10}^{10}}$ hạt. Chọn B.

DẠNG 2: BÀI TOÁN SỐ HẠT NHÂN VÀ KHỐI LƯỢNG HẠT NHÂN CON TẠO THÀNH.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Số hạt nhân và khối lượng của hạt nhân con Y tạo thành:

+) Mỗi hạt nhân mẹ bị phân rã tạo thành một hạt nhân con nên số hạt nhân con tạo thành đúng bằng số hạt nhân mẹ bị phân rã (hay số mol hạt nhân con tạo thành bằng số mol hạt nhân mẹ đã phân rã):

$\left\{ \begin{array}{} {{N}_{Y}}=\Delta {{N}_{X}}={{N}_{oX}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right) \\ {} {{n}_{Y}}=\Delta {{n}_{X}}={{n}_{oX}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right) \\ \end{array} \right.$

+) Khối lượng hạt nhân con Y được tạo thành sau thời gian t là 

${{n}_{Y}}={{n}_{oX}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)\Rightarrow \frac{{{m}_{Y}}}{{{A}_{Y}}}=\frac{{{m}_{o}}}{{{A}_{X}}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)\Rightarrow {{m}_{Y}}={{m}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)\frac{{{A}_{Y}}}{{{A}_{X}}}$

Trong đó: ${{n}_{Y}}$ là số mol hạt nhân con tạo thành, ${{n}_{oX}}$ là số mol ban đầu của chất phóng xạ.

     ${{A}_{X}},{{A}_{Y}}$ là số khối của chất phóng xạ ban đầu và chất mới được tạo thành.

- Tỉ số hạt (khối lượng) nhân con và số hạt (khối lượng) nhân mẹ ở thời điểm t:

$\left\{ \begin{array}{} {{N}_{X}}={{N}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{T}}} \\ {} {{N}_{Y}}=\Delta {{N}_{X}}={{N}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{{{N}_{Y}}}{{{N}_{X}}}={{2}^{\frac{t}{T}}}-1$

       $\Rightarrow \frac{{{m}_{Y}}}{{{m}_{X}}}=\frac{{{A}_{Y}}.{{N}_{Y}}}{{{A}_{X}}.{{N}_{X}}}=\frac{{{A}_{Y}}}{{{A}_{X}}}\left( {{2}^{\frac{t}{T}}}-1 \right).$

VÍ DỤ MINH HỌA

Lời giải

Phương trình phản ứng: $_{84}^{210}Po\to _{2}^{4}\alpha +_{82}^{206}Pb.$

a) Ta có:  $\frac{{{N}_{Pb}}}{{{N}_{Po}}}={{2}^{\frac{t}{T}}}-1={{2}^{\frac{100}{138,4}}}-1\approx 0,6524$

b) Ta có:  $\frac{{{m}_{Pb}}}{{{m}_{Po}}}=\frac{{{A}_{Pb}}}{{{A}_{Po}}}\left( {{2}^{\frac{t}{T}}}-1 \right)\Leftrightarrow \frac{1}{4}=\frac{206}{210}\left( {{2}^{\frac{t}{138,4}}}-1 \right)\Rightarrow t=45,1977$ngày.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP DẠNG 2

Lời giải

Ta có: ${{m}_{Rn}}=\frac{{{A}_{Rn}}}{{{A}_{Ra}}}{{m}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)=\frac{222}{226}.226\left( 1-{{2}^{-\frac{2T}{T}}} \right)=166,5g.$ Chọn D.

Lời giải

Ta có: $\frac{{{m}_{Y}}}{{{m}_{X}}}=\frac{{{A}_{Y}}}{{{A}_{X}}}\left( {{2}^{\frac{t}{T}}}-1 \right)=\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}\left( {{2}^{\frac{2T}{T}}}-1 \right)=3\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}.$ Chọn C.

Lời giải

Phương trình phóng xạ: $X\to Y+$tia phóng xạ.

Tại ${{t}_{1}}$, tỉ số giữa số hạt nhân con và hạt nhân mẹ là: 

$\frac{{{N}_{Y}}}{{{N}_{X}}}=2={{2}^{\frac{{{t}_{1}}}{T}}}-1\Rightarrow {{2}^{\frac{{{t}_{1}}}{T}}}=3\Rightarrow \frac{{{t}_{1}}}{T}=\ell o{{g}_{2}}3$

Tại ${{t}_{2}}$, tỉ số giữa số hạt nhân con và hạt nhân mẹ là: 

$\frac{{{N}_{Y}}}{{{N}_{X}}}=3={{2}^{\frac{{{t}_{2}}}{T}}}-1\Rightarrow {{2}^{\frac{{{t}_{2}}}{T}}}=4\Rightarrow \frac{{{t}_{2}}}{T}=\ell o{{g}_{2}}4=2$

Tại ${{t}_{3}}$, tỉ số giữa số hạt nhân con và hạt nhân mẹ là: 

$\begin{array}{} \frac{{{N}_{Y}}}{{{N}_{X}}}={{2}^{\frac{2{{t}_{1}}+3{{t}_{2}}}{T}}}-1\Rightarrow {{2}^{2\frac{{{t}_{1}}}{T}+3\frac{{{t}_{2}}}{T}}}-1={{2}^{2\ell o{{g}_{2}}3.2}}-1=575. \\ {}  \\ \end{array}$ 

Chọn B.

Lời giải

Số mol hạt nhân Po ban đầu: ${{n}_{o}}=\frac{m}{{{A}_{Po}}}=\frac{5}{210}=\frac{1}{42}mol$

Mỗi một hạt Po bị phân rã sẽ phóng ra một hạt $\alpha $ nên số hạt $\alpha $ tạo ra bằng số hạt nhân Po đã bị phân rã, hay số mol $\alpha $ tạo ra bằng số mol hạt Po đã phân ra:

${{n}_{\alpha }}=\Delta {{n}_{Po}}={{n}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)=\frac{1}{42}\left( 1-{{2}^{-\frac{365}{138,4}}} \right)\approx 0,02mol$

Thể tích khí He sinh ra ở điều kiện tiêu chuẩn là: $V={{n}_{\alpha }}.22,4=0,02.22,4=0,448\ell .$ Chọn D.

Lời giải

Chuỗi phân rã: $_{92}^{235}U\to ...\to _{82}^{206}Pb$

Tỉ lệ khối lượng của hạt nhân mẹ và con ở hiện tại

$\frac{{{m}_{Pb}}}{{{m}_{U}}}=\frac{{{A}_{Pb}}}{{{A}_{U}}}\left( {{2}^{\frac{t}{T}}}-1 \right)=\frac{206}{235}\left( {{2}^{\frac{4,{{5.10}^{9}}}{0,{{713.10}^{9}}}}}-1 \right)\approx 68,7\Rightarrow \frac{{{m}_{U}}}{{{m}_{Pb}}}=\frac{1}{68,7}=0,0145.$Chọn A.

Lời giải

Chuỗi phân rã: $_{92}^{238}U\to ...\to _{82}^{206}Pb$

Tất cả lượng chì có mặt đều là sản phẩm phân rã của $_{92}^{238}U$. Áp dụng công thức hạt nhân con và hạt nhân mẹ ở thời điểm t (tuổi của khối đá) ta được:

$\frac{{{N}_{Pb}}}{{{N}_{U}}}={{2}^{\frac{t}{T}}}-1\Leftrightarrow \frac{6,{{239.10}^{18}}}{1,{{188.10}^{20}}}={{2}^{\frac{t}{4,{{47.10}^{9}}}}}-1$

$\Rightarrow {{2}^{\frac{t}{4,{{47.10}^{9}}}}}=1,0525\Rightarrow t=4,{{47.10}^{9}}.\ell o{{g}_{2}}\left( 1,0525 \right)=3,{{3.10}^{8}}$năm. Chọn D.

Lời giải

Tại ${{t}_{1}}$, tỉ số giữa số hạt nhân con và hạt nhân mẹ là

$\frac{{{N}_{Pb}}}{{{N}_{Po}}}={{2}^{\frac{{{t}_{1}}}{T}}}-1=7\Rightarrow {{2}^{\frac{{{t}_{1}}}{T}}}=8\Rightarrow \frac{{{t}_{1}}}{T}=3$

Tại ${{t}_{2}}$, tỉ số giữa số hạt nhân con và hạt nhân mẹ là

$\frac{{{N}_{Pb}}}{{{N}_{Po}}}={{2}^{\frac{{{t}_{1}}+414}{T}}}-1=63\Rightarrow {{2}^{\frac{{{t}_{1}}+414}{T}}}=64\Rightarrow \frac{{{t}_{1}}}{T}+\frac{414}{T}=6$

$\Rightarrow \frac{414}{T}=6-3=3\Rightarrow T=138$ ngày . Chọn A.

Lời giải

Phương trình phản ứng: ${}^{210}Po\to _{2}^{4}\alpha +{}^{206}Pb.$

Giả sử số mol Po ban đầu là ${{n}_{oPo}}=1mol\Leftrightarrow {{m}_{oPo}}=210g$

Do mẫu có 50% là tạp chất nên khối lượng của mẫu ban đầu là mmẫu $=210.2=420g.$ 

Số mol Po còn sau 276 ngày là $n={{n}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{T}}}={{1.2}^{-\frac{276}{138,4}}}=\frac{1}{4}mol$

Khối lượng Po còn lại sau 276 ngày là ${{m}_{po}}=\frac{1}{4}.210=52,5g$

$\Rightarrow $Số mol Po đã phân rã là $\Delta {{n}_{po}}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}mol$

$\Rightarrow $Số mol $\alpha $ tạo ra và bay đi là ${{n}_{\alpha }}=\Delta {{n}_{po}}=\frac{3}{4}mol$

$\Rightarrow $Khối lượng $\alpha $ bay đi là ${{m}_{\alpha }}={{n}_{\alpha .}}{{A}_{\alpha }}=\frac{3}{4}.4=3g$

Khối lượng mẫu sau 276 ngày là ${m}'=$ mmẫu $-{{m}_{\alpha }}=420-3=417g$

Phần trăm Po còn lại sau 276 ngày là $%Po=\frac{52,5}{417}.100%=12,59%.$Chọn C.

Lời giải

Tỉ lệ khối lượng ${}^{238}U$ và ${}^{106}Pb$ ở thời điểm hiện tại là:

$\frac{{{m}_{U}}}{{{m}_{Pb}}}=\frac{{{M}_{U}}}{{{M}_{Pb}}}.\frac{{{2}^{-\frac{t}{4,{{47.10}^{9}}}}}}{\left( 1-{{2}^{\frac{-t}{4,{{47.10}^{9}}}}} \right)}\Leftrightarrow \frac{0,86}{0,15}=\frac{238}{206}\frac{{{2}^{\frac{-t}{4,{{47.10}^{9}}}}}}{\left( 1-{{2}^{\frac{-t}{4,{{47.10}^{9}}}}} \right)}\Rightarrow t=1,{{1839.10}^{9}}$ năm

Tỉ lệ khối lượng ${}^{40}K$ và ${}^{40}Ca$ ở thời điểm hiện tại là:

$\frac{{{m}_{K}}}{{{m}_{Ca}}}=\frac{{{M}_{K}}}{{{M}_{Ca}}}.\frac{{{2}^{-\frac{t}{1,{{25.10}^{9}}}}}}{\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{1,{{25.10}^{9}}}}} \right)}\Leftrightarrow \frac{{{m}_{K}}}{1,6}=\frac{40}{40}.\frac{{{2}^{\frac{-1,{{1839.10}^{9}}}{1,{{25.10}^{9}}}}}}{\left( 1-{{2}^{\frac{-1,{{1839.10}^{9}}}{1,{{25.10}^{9}}}}} \right)}\Rightarrow {{m}_{K}}=1,724mg.$ Chọn A.

DẠNG 3: SỐ HẠT NHÂN PHÂN RÃ Ở HAI THỜI ĐIỂM KHÁC NHAU.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bài toán: Máy đếm xung của một chất phóng xạ, trong lần đo thứ nhất đếm được $\Delta {{N}_{1}}$ hạt nhân phân rã trong khoảng thời gian $\Delta {{t}_{1}}$. Lần đo thứ hai sau lần đo thứ nhất là t , máy đếm được $\Delta {{N}_{2}}$ phân rã trong cùng khoảng thời gian $\Delta {{t}_{2}}.$

- Phân bố số hạt nhân mẹ phóng xạ còn lại theo trục thời gian:

Gọi ${{N}_{1}}$ là số hạt nhân của chất phóng xạ khi đo ở lần thứ nhất. Số phân rã trong khoảng thời gian $\Delta t$ ở lần đo đầu tiên là: $\vartriangle {{N}_{1}}={{N}_{1}}\left( 1-{{2}^{-\frac{\vartriangle {{t}_{1}}}{T}}} \right)={{N}_{1}}\left( 1-{{e}^{-\lambda .\vartriangle {{t}_{1}}}} \right).$

Gọi ${{N}_{2}}$ là số hạt nhân phóng xạ khi đo ở lần thứ hai. Số phân rã trong khoảng thời gian $\Delta t$ ở lần đo thứ hai là: $\Delta {{N}_{2}}={{N}_{2}}\left( 1-{{2}^{-\frac{\Delta {{t}_{2}}}{T}}} \right)={{N}_{2}}\left( 1-{{e}^{-\lambda .\Delta {{t}_{2}}}} \right).$

Lập tỉ số: $\frac{\Delta {{N}_{1}}}{\Delta {{N}_{2}}}=\frac{{{N}_{1}}\left( 1-{{e}^{-\lambda .\vartriangle {{t}_{1}}}} \right)}{{{N}_{2}}\left( 1-{{e}^{-\lambda .\vartriangle {{t}_{2}}}} \right)}$

Mặt khác, khi đo lần thứ 2 thì số hạt ban đầu của lần 2 chính bằng số hạt còn lại sau khi đo lần 1 một khoảng thời gian t, tức là: ${{N}_{2}}={{N}_{1}}{{.2}^{-\frac{t}{T}}}$

Do đó: $\frac{\Delta {{N}_{1}}}{\Delta {{N}_{2}}}={{2}^{\frac{t}{T}}}.\frac{1-{{e}^{-\lambda .\vartriangle {{t}_{1}}}}}{1-{{e}^{-\lambda .\vartriangle {{t}_{2}}}}}\left( 1 \right)$

Từ toán học: x rất nhỏ: $\frac{{{e}^{x}}-1}{x}\approx 1\Rightarrow {{e}^{x}}-1\approx x\Leftrightarrow {{e}^{-x}}-1\approx -x\Rightarrow 1-{{e}^{-x}}\approx x\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} 1-{{e}^{-\lambda .\vartriangle {{t}_{1}}}}\approx \lambda .\Delta {{t}_{1}} \\ {} 1-{{e}^{-\lambda .\vartriangle {{t}_{2}}}}\approx \lambda .\Delta {{t}_{2}} \\ \end{array} \right.$

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( 2 \right)$

 Chỉ áp dụng công thức (2) khi $\Delta {{t}_{1}},\Delta {{t}_{2}}\ll t$.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP DẠNG 3

Lời giải

Áp dụng:$\frac{\Delta {{N}_{1}}}{\Delta {{N}_{2}}}={{2}^{\frac{t}{T}}}.\frac{\Delta {{t}_{1}}}{\Delta {{t}_{2}}}\Leftrightarrow \frac{{{10}^{14}}}{\Delta {{N}_{2}}}={{2}^{\frac{12}{4}}}.\frac{1}{2}\Rightarrow \Delta {{N}_{2}}=2,{{5.10}^{13}}$. Chọn A.

Lời giải

Áp dụng công thức: $\frac{\Delta {{N}_{1}}}{\Delta {{N}_{2}}}={{2}^{\frac{t}{T}}}.\frac{\Delta {{t}_{1}}}{\Delta {{t}_{2}}}\Leftrightarrow \frac{360}{90}={{2}^{\frac{2}{T}}}.\frac{1}{1}\Rightarrow T=1$ giờ. Chọn A.

Lời giải

Áp dụng công thức: $\frac{\Delta {{N}_{1}}}{\Delta {{N}_{2}}}={{2}^{\frac{t}{T}}}.\frac{\Delta {{t}_{1}}}{\Delta {{t}_{2}}}\left( 1 \right)$

Do lần thứ 3 được chiếu xạ với cùng một lượng tia $\gamma $ nên $\Delta {{N}_{1}}=\Delta {{N}_{2}}\Rightarrow \frac{\Delta {{N}_{1}}}{\Delta {{N}_{2}}}=1$

Do mỗi tháng 1 lần, lần 1 tính từ lần đầu tiên nên chiếu xạ lần thứ 3 thì t = 2 tháng.

Suy ra $\left( 1 \right)\Rightarrow 1={{2}^{\frac{2}{4}}}.\frac{20}{\vartriangle {{t}_{2}}}\Rightarrow \Delta {{t}_{2}}\approx 28,3$ phút. Chọn D.