Hữu hạn điểm là gì

1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1.1. Định nghĩa

Kí hiệu $K$ là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $K$ ta có:

• Hàm số $y=f\left( x \right)$được gọi là đồng biến (tăng) trên $K$ nếu:
  • ${\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)}$
• Hàm số $y=f\left( x \right)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu:
  • ${\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)}$

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là đơn điệu trên $K$

* Nhận xét:

• Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0~~\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K,~~{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}.$ Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
• Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}<0~~\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K,~~{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}.$ Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
• Nếu ${f}'\left( x \right)>0,\text{ }\forall x\in \left( a;b \right)\Rightarrow $ hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right).$
• Nếu ${f}'\left( x \right)<0,\text{ }\forall x\in \left( a;b \right)\Rightarrow $ hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( a;b \right).$
• Nếu ${f}'\left( x \right)=0,\text{ }\forall x\in \left( a;b \right)$$\Rightarrow $ hàm số $f\left( x \right)$ không đổi trên khoảng $\left( a;b \right).$
• Nếu $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( a;b \right).$
• Nếu $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( a;b \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( a;b \right).$
• Nếu thay đổi khoảng $\left( a;b \right)$ bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết hàm số$f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó.

1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm: Cho $u=u\left( x \right)\,;\,\,v=v\left( x \right)\,;\,\,C\,\,:$ là hằng số .

• Tổng, hiệu: ${{\left( u\pm v \right)}^{\prime }}={u}'\pm {v}'.$
• Tích: ${{\left( u.v \right)}^{\prime }}={u}'.v+{v}'.u\Rightarrow \,{{\left( C.u \right)}^{\prime }}=C.{u}'.$
• Thương: $\left( \frac{u}{v} \right)=\frac{{u}'.v-{v}'.u}{{{v}^{2}}}\,\,,\,\,\left( v\ne 0 \right)\Rightarrow \,\,{{\left( \frac{C}{u} \right)}^{\prime }}=-\frac{C.{u}'}{{{u}^{2}}}$
• Đạo hàm hàm hợp: Nếu $y=f\left( u \right)\,,\,\,u=u\left( x \right)\Rightarrow {{{y}'}_{x}}={{{y}'}_{u}}.{{{u}'}_{x}}$.

1.3. Bảng công thức tính đạo hàm

Đạo hàm của hàm sơ cấp

Đạo hàm của hàm hợp

${{\left( C \right)}^{\prime }}=0$ (C là hằng số).

${{\left( {{x}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha .{{x}^{\alpha -1}}$

${{\left( {{x}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha .{{x}^{\alpha -1}}$

${{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=\,-\frac{1}{{{x}^{2}}}\,\,(x\ne 0)$

${{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\,\left( x>0 \right)$

${{\left( {{u}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\,\alpha .\,{{u}^{\alpha -1}}.{u}'$

${{\left( \frac{1}{u} \right)}^{\prime }}=\,-\frac{{{u}'}}{{{u}^{2}}}\,\,\left( u\ne 0 \right)$

${{\left( \sqrt{u} \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}'}}{2\sqrt{u}}\,\,\left( u>0 \right)$

${{\left( \sin x \right)}^{\prime }}=\,\cos \,x$

${{\left( \sin u \right)}^{\prime }}=\,{u}'.\cos \,u$

${{\left( \cos x \right)}^{\prime }}=-\sin x$

${{\left( \cos u \right)}^{\prime }}=-{u}'.\sin u$

${{\left( \tan x \right)}^{\prime }}\,=\,\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$

${{\left( \tan u \right)}^{\prime }}=\,\frac{{{u}'}}{{{\cos }^{2}}u}$

${{\left( \cot x \right)}^{\prime }}=-\,\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$

${{\left( \cot u \right)}^{\prime }}=-\,\frac{{{u}'}}{{{\sin }^{2}}u}$

${{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}=\,{{e}^{x}}$

${{\left( {{e}^{u}} \right)}^{\prime }}\,=\,{u}'.{{e}^{u}}$

${{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\prime }}={{a}^{x}}.\ln a$

${{\left( {{a}^{u}} \right)}^{\prime }}={u}'.{{a}^{u}}.\ln a$

${{\left( \ln \left| x \right| \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}$

${{\left( \ln \left| u \right| \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}'}}{u}$

${{\left( {{\log }_{a}}\left| x \right| \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x\ln a}$

${{\left( {{\log }_{a}}\left| u \right| \right)}^{\prime }}=\frac{{{u}'}}{u.\ln a}$

1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức

• ${\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)^\prime } = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}.$

${\left( {\frac{{a{x^2} + bx + c}}{{d{x^2} + ex + f}}} \right)^\prime } = \frac{{\left| \begin{array}{l}
a\;\;\;b\\
d\;\;\;e
\end{array} \right|{x^2} + 2\left| \begin{array}{l}
a\;\;\;c\\
d\;\;\;f
\end{array} \right|x + \left| \begin{array}{l}
b\;\;\;c\\
e\;\;\;f
\end{array} \right|}}{{{{\left( {d{x^2} + ex + f} \right)}^2}}}.$

1.5. Đạo hàm cấp 2

1.5.1. Định nghĩa

${f}''\left( x \right)={{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{\prime }}$

1.5.2. Ý nghĩa cơ học

Gia tốc tức thời của chuyển động $s=f\left( t \right)$ tại thời điểm ${{t}_{0}}$ là: $a\left( {{t}_{0}} \right)={f}''\left( {{t}_{0}} \right).$

1.5.3. Đạo hàm cấp cao

${{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)={{\left[ {{f}^{\left( n-1 \right)}}\left( x \right) \right]}^{\prime }}\,\,,\left( n\in \mathbb{N}\,,\,\,n\ge 2 \right)$.

* Một số chú ý:

• Nếu hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ cùng đồng biến (nghịch biến) trên $K$ thì hàm số $f\left( x \right)+g\left( x \right)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên $K.$ Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu $f\left( x \right)-g\left( x \right)$.
• Nếu hàm số$f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên $K$ thì hàm số $f\left( x \right).g\left( x \right)$ cũng đồng biến (nghịch biến) trên $K.$Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ không là các hàm số dương trên $K.$
• Cho hàm số $u=u\left( x \right)$, xác định với $x\in \left( a;b \right)$ và $u\left( x \right)\in \left( c;d \right)$. Hàm số $f\left[ u\left( x \right) \right]$ cũng xác định với $x\in \left( a;b \right)$ .

Ta có nhận xét sau:

• Giả sử hàm số $u=u\left( x \right)$ đồng biến với $x\in \left( a;b \right)$. Khi đó, hàm số $f\left[ u\left( x \right) \right]$ đồng biến với $x\in \left( a;b \right)\Leftrightarrow f\left( u \right)$ đồng biến với $u\in \left( c;d \right)$.
• Giả sử hàm số $u=u\left( x \right)$ nghịch biến với $x\in \left( a;b \right)$ . Khi đó, hàm số $f\left[ u\left( x \right) \right]$ nghịch biến với $x\in \left( a;b \right)\Leftrightarrow f\left( u \right)$nghịch biến với $u\in \left( c;d \right)$.

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên $K$

• Nếu $f'\left( x \right)\ge 0$ với mọi $x\in K$ và $f'\left( x \right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số $f$ đồng biến trên $K$.
• Nếu $f'\left( x \right)\le 0$ với mọi $x\in K$ và $f'\left( x \right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số $f$ nghịch biến trên $K$.

Chú ý:

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ $y=\frac{ax+b}{cx+d}\text{ }\left( x\ne -\frac{d}{c} \right)$ thì dấu $''=''$ khi xét dấu đạo hàm ${y}'$ không xảy ra.

Giả sử $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0;\forall x \in R \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > 0}\\
{\Delta \le 0}
\end{array}{\rm{ }}} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 0\\
c > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

$ \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0;\forall x \in R \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a < 0}\\
{\Delta \le 0}
\end{array}{\rm{ }}} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 0\\
c < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right..$

Trường hợp 2 thì hệ số $c$ khác $0$ vì khi $a=b=c=0$thì$f\left( x \right)=d$

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng $l$ ta giải như sau:

Bước 1: Tính ${y}'={f}'\left( x;m \right)=a{{x}^{2}}+bx+c.$

Bước 2: Hàm số đơn điệu trên $\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)\Leftrightarrow {y}'=0$ có $2$ nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
a \ne 0
\end{array} \right.$$\left( * \right)$

Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng $l$

$\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=l$$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{l}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{S}^{2}}-4P={{l}^{2}}$ $\left( ** \right)$

Bước 4: Giải $\left( * \right)$ và giao với $\left( ** \right)$ để suy ra giá trị m cần tìm.