Hữu hạn điểm là gì

1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1.1. Định nghĩa

Kí hiệu $K$ là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số $y=f\left[ x \right]$ xác định trên $K$ ta có:

• Hàm số $y=f\left[ x \right]$được gọi là đồng biến [tăng] trên $K$ nếu:
  • ${\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left[ {{x_1}} \right] < f\left[ {{x_2}} \right]}$
• Hàm số $y=f\left[ x \right]$ được gọi là nghịch biến [giảm] trên $K$ nếu:
  • ${\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left[ {{x_1}} \right] > f\left[ {{x_2}} \right]}$

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là đơn điệu trên $K$

* Nhận xét:

• Hàm số $f\left[ x \right]$ đồng biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f\left[ {{x}_{2}} \right]-f\left[ {{x}_{1}} \right]}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0~~\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K,~~{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}.$ Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
• Hàm số $f\left[ x \right]$ nghịch biến trên K $\Leftrightarrow \frac{f\left[ {{x}_{2}} \right]-f\left[ {{x}_{1}} \right]}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}0 \right]$

  ${{\left[ {{u}^{\alpha }} \right]}^{\prime }}=\,\alpha .\,{{u}^{\alpha -1}}.{u}'$

  ${{\left[ \frac{1}{u} \right]}^{\prime }}=\,-\frac{{{u}'}}{{{u}^{2}}}\,\,\left[ u\ne 0 \right]$

  ${{\left[ \sqrt{u} \right]}^{\prime }}=\frac{{{u}'}}{2\sqrt{u}}\,\,\left[ u>0 \right]$

  ${{\left[ \sin x \right]}^{\prime }}=\,\cos \,x$

  ${{\left[ \sin u \right]}^{\prime }}=\,{u}'.\cos \,u$

  ${{\left[ \cos x \right]}^{\prime }}=-\sin x$

  ${{\left[ \cos u \right]}^{\prime }}=-{u}'.\sin u$

  ${{\left[ \tan x \right]}^{\prime }}\,=\,\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$

  ${{\left[ \tan u \right]}^{\prime }}=\,\frac{{{u}'}}{{{\cos }^{2}}u}$

  ${{\left[ \cot x \right]}^{\prime }}=-\,\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$

  ${{\left[ \cot u \right]}^{\prime }}=-\,\frac{{{u}'}}{{{\sin }^{2}}u}$

  ${{\left[ {{e}^{x}} \right]}^{\prime }}=\,{{e}^{x}}$

  ${{\left[ {{e}^{u}} \right]}^{\prime }}\,=\,{u}'.{{e}^{u}}$

  ${{\left[ {{a}^{x}} \right]}^{\prime }}={{a}^{x}}.\ln a$

  ${{\left[ {{a}^{u}} \right]}^{\prime }}={u}'.{{a}^{u}}.\ln a$

  ${{\left[ \ln \left| x \right| \right]}^{\prime }}=\frac{1}{x}$

  ${{\left[ \ln \left| u \right| \right]}^{\prime }}=\frac{{{u}'}}{u}$

  ${{\left[ {{\log }_{a}}\left| x \right| \right]}^{\prime }}=\frac{1}{x\ln a}$

  ${{\left[ {{\log }_{a}}\left| u \right| \right]}^{\prime }}=\frac{{{u}'}}{u.\ln a}$

  1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức

  • ${\left[ {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right]^\prime } = \frac{{ad - bc}}{{{{\left[ {cx + d} \right]}^2}}}.$

  ${\left[ {\frac{{a{x^2} + bx + c}}{{d{x^2} + ex + f}}} \right]^\prime } = \frac{{\left| \begin{array}{l}
  a\;\;\;b\\
  d\;\;\;e
  \end{array} \right|{x^2} + 2\left| \begin{array}{l}
  a\;\;\;c\\
  d\;\;\;f
  \end{array} \right|x + \left| \begin{array}{l}
  b\;\;\;c\\
  e\;\;\;f
  \end{array} \right|}}{{{{\left[ {d{x^2} + ex + f} \right]}^2}}}.$

  1.5. Đạo hàm cấp 2

  1.5.1. Định nghĩa

  ${f}''\left[ x \right]={{\left[ {f}'\left[ x \right] \right]}^{\prime }}$

  1.5.2. Ý nghĩa cơ học

  Gia tốc tức thời của chuyển động $s=f\left[ t \right]$ tại thời điểm ${{t}_{0}}$ là: $a\left[ {{t}_{0}} \right]={f}''\left[ {{t}_{0}} \right].$

  1.5.3. Đạo hàm cấp cao

  ${{f}^{\left[ n \right]}}\left[ x \right]={{\left[ {{f}^{\left[ n-1 \right]}}\left[ x \right] \right]}^{\prime }}\,\,,\left[ n\in \mathbb{N}\,,\,\,n\ge 2 \right]$.

  * Một số chú ý:

  • Nếu hàm số $f\left[ x \right]$ và $g\left[ x \right]$ cùng đồng biến [nghịch biến] trên $K$ thì hàm số $f\left[ x \right]+g\left[ x \right]$ cũng đồng biến [nghịch biến] trên $K.$ Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu $f\left[ x \right]-g\left[ x \right]$.
  • Nếu hàm số$f\left[ x \right]$ và $g\left[ x \right]$ là các hàm số dương và cùng đồng biến [nghịch biến] trên $K$ thì hàm số $f\left[ x \right].g\left[ x \right]$ cũng đồng biến [nghịch biến] trên $K.$Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số $f\left[ x \right],g\left[ x \right]$ không là các hàm số dương trên $K.$
  • Cho hàm số $u=u\left[ x \right]$, xác định với $x\in \left[ a;b \right]$ và $u\left[ x \right]\in \left[ c;d \right]$. Hàm số $f\left[ u\left[ x \right] \right]$ cũng xác định với $x\in \left[ a;b \right]$ .

  Ta có nhận xét sau:

  • Giả sử hàm số $u=u\left[ x \right]$ đồng biến với $x\in \left[ a;b \right]$. Khi đó, hàm số $f\left[ u\left[ x \right] \right]$ đồng biến với $x\in \left[ a;b \right]\Leftrightarrow f\left[ u \right]$ đồng biến với $u\in \left[ c;d \right]$.
  • Giả sử hàm số $u=u\left[ x \right]$ nghịch biến với $x\in \left[ a;b \right]$ . Khi đó, hàm số $f\left[ u\left[ x \right] \right]$ nghịch biến với $x\in \left[ a;b \right]\Leftrightarrow f\left[ u \right]$nghịch biến với $u\in \left[ c;d \right]$.

  Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

  Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm trên $K$

  • Nếu $f'\left[ x \right]\ge 0$ với mọi $x\in K$ và $f'\left[ x \right]=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số $f$ đồng biến trên $K$.
  • Nếu $f'\left[ x \right]\le 0$ với mọi $x\in K$ và $f'\left[ x \right]=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số $f$ nghịch biến trên $K$.

  Chú ý:

  * Đối với hàm phân thức hữu tỉ $y=\frac{ax+b}{cx+d}\text{ }\left[ x\ne -\frac{d}{c} \right]$ thì dấu $''=''$ khi xét dấu đạo hàm ${y}'$ không xảy ra.

  Giả sử $y=f\left[ x \right]=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow {f}'\left[ x \right]=3a{{x}^{2}}+2bx+c.$

  Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

  $\Leftrightarrow f'\left[ x \right] \ge 0;\forall x \in R \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {a > 0}\\
  {\Delta \le 0}
  \end{array}{\rm{ }}} \right.\\
  \left\{ \begin{array}{l}
  a = 0\\
  b = 0\\
  c > 0
  \end{array} \right.
  \end{array} \right.$

  Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

  $ \Leftrightarrow f'\left[ x \right] \le 0;\forall x \in R \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {a < 0}\\
  {\Delta \le 0}
  \end{array}{\rm{ }}} \right.\\
  \left\{ \begin{array}{l}
  a = 0\\
  b = 0\\
  c < 0
  \end{array} \right.
  \end{array} \right..$

  Trường hợp 2 thì hệ số $c$ khác $0$ vì khi $a=b=c=0$thì$f\left[ x \right]=d$

  [Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu]

  * Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng $l$ ta giải như sau:

  Bước 1: Tính ${y}'={f}'\left[ x;m \right]=a{{x}^{2}}+bx+c.$

  Bước 2: Hàm số đơn điệu trên $\left[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right]\Leftrightarrow {y}'=0$ có $2$ nghiệm phân biệt

  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
  \Delta > 0\\
  a \ne 0
  \end{array} \right.$$\left[ * \right]$

  Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng $l$

  $\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=l$$\Leftrightarrow {{\left[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right]}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{l}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{S}^{2}}-4P={{l}^{2}}$ $\left[ ** \right]$

  Bước 4: Giải $\left[ * \right]$ và giao với $\left[ ** \right]$ để suy ra giá trị m cần tìm.

Video liên quan