I. Công thức nhị thức Niu - Tơn
1. Công thức nhị thức Niu - Tơn
Với \[a, b\] là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên \[n 1\], ta có:
\[{[a + b]^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... +\]
\[C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}[1]\]
Ví dụ:
Viết khai triển \[{\left[ {a + b} \right]^5}\].
Hướng dẫn:
Ta có:
\[{\left[ {a + b} \right]^5}\]
\[ = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2}\] \[ + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\]
\[ = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2}\] \[ + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^5} + {b^5}\]
2. Quy ước
Với \[a\] là số thực khác \[0\] và \[n\] là số tự nhiên khác \[0\], ta quy ước:
\[a^0= 1\]; \[a^{-n}={1 \over {{a^n}}}\].
3. Chú ý
Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện \[a\] và \[b\] đều khác \[0\], có thể viết công thức [1] ở dạng sau đây:
\[{\left[ {a + b} \right]^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {{a^k}{b^{n - k}}} } \]
Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.
II. Tam giác Pa-xcan
1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng
2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan
- Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng \[1\].
- Xét hai số ở cột \[k\] và cột \[k + 1\], đồng thời cùng thuộc dòng \[n\], [\[k 0; n 1\]], ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột \[k + 1\] và dòng \[n + 1\].
3. Tính chất của tam giác Pa-xcan
Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:
a] Giao của dòng \[n\] và cột \[k\] là \[C_n^k\]
b] Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:
\[C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\]
c] Các số ở dòng \[n\] là các hệ số trong khai triển của nhị thức \[{[a + b]}^n\][theo công thức nhị thức Niu - Tơn], với \[a, b\] là hai số thực tùy ý.
Chẳng hạn, các số ở dòng \[4\] là các hệ số trong khai triển của \[[a + b]^4\] [theo công thức nhị thức Niu - Tơn] dưới đây:
\[{\left[ {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right]^4} \]\[= {\rm{ }}{a^4} + {\rm{ }}4{a^3}b{\rm{ }} + {\rm{ }}6{a^2}{b^{2}} + {\rm{ }}4a{b^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}{b^4}\]