Trong bài này, HocThatGioi sẽ chia sẻ tất tần tật về các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng với mặt cầu trong không gian Oxyz. Trước khi vào bài này, hãy xem lại bài Phương trình đường thẳng và mặt cầu trong không gian Oxyz để nắm vững kiến thức lại nhé!
Giữa đường thẳng và mặt cầu có 3 vị trí tương đối: Đường thẳng cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt, đường thẳng tiếp xúc mặt cầu và đường thẳng không cắt mặt cầu. Để xác định được vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu thì bạn cần nắm vững cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz. [click vào để xem chi tiết nhé]
Đường thẳng \Delta cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến đường thẳng đó bé hơn bán kính R của mặt cầu.
d[I,\Delta] R
Vậy giữa đường thẳng và mặt cầu đã cho không có điểm chung nào.
Tương tự như đường thẳng thì giữa mặt phẳng và mặt cầu cũng có 3 vị trí tương đối: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn, mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu và mặt phẳng không tiếp xúc mặt cầu. Để biết được vị trí tương đối này, ta sẽ dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng đó.
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I của đường tròn đó đến mặt phẳng bé hơn bán kính R.
d[I,[P]]R
Vị trí tương đối giữa mặt phẳng [P]: x-y+2z-2=0 và mặt cầu tâm I[1,-1,0] bán kính R=2 là gì?
Ta có: d[I,[P]]=0 => d[I,[P]]< R Vậy mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn.
Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi về Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng với mặt cầu trong không gian Oxyz. Nếu các bạn thấy hay và bổ ích, hãy chia sẻ cho bạn bè của mình để cùng nhau học thật giỏi. Đừng quên để lại 1 like, 1 cmt dể tạo động lực cho HocThatGioi và giúp HocThatGioi ngày càng phát triển hơn nhé! Chúc các bạn học thật tốt!
Bài viết khác liên quan đến phương pháp toạ độ trong không gian
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng: Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng. Phương pháp Cho mặt phẳng và mặt cầu tâm I bán kính R và S không có điểm chung tiếp xúc với S. Khi đó là tiếp diện và S cắt nhau. Khi đó O có tâm là hình chiếu của I trên và bán kính R. Bài tập 1: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu. Mặt phẳng nào cắt S theo một đường tròn có bán kính r. Phương trình mặt cầu S là. Suy ra tâm I và bán kính R. Ta gọi khoảng cách từ tâm I của mặt cầu tới các mặt phẳng ở các đáp án là h, khi đó để mặt phẳng cắt mặt cầu S theo một đường tròn có bán kính r.
Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I[1; 2] và mặt phẳng xyz. Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng [P] theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng 16 là. Bán kính của đường tròn giao tuyến là: Mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng P theo giao tuyến là một đường tròn. Vậy phương trình mặt cầu tâm I, bán kính R = 5. Bài tập 3: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S có phương trình và mặt phẳng. Tìm phương trình mặt phẳng thỏa mãn đồng thời các điều kiện: tiếp xúc với S, song song với và cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình của mặt phẳng liên quan đến mặt cầu và khoảng cách, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Viết phương trình của mặt phẳng liên quan đến mặt cầu và khoảng cách: Phương pháp giải. Kiến thức cần nhớ: 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt. 2. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu. Ví dụ 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q]: 2y – 2z + 1= 0 và tiếp xúc với mặt cầu [S]: x2 + y2 + 22 + 2c – 44 – 22 – 3 = 0. Mặt cầu [S] có tâm I[-1; 2; 1] và bán kính R= V[-1]^2 + 12 + 3 = 3. Do [P] song song với mặt phẳng [Q] nên phương trình của mặt phẳng [P] có dạng: x + 2y – 2z + D = 0, D + 1. Ví dụ 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu [S] có phương trình: x2 + y + 2 – 2x + 6g – 43 – 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [P] song song với giá của véctơ n = [1; 6; 2], vuông góc với mặt phẳng [a]: x + 4 và tiếp xúc với [S]. Mặt cầu [S] có tâm I[1; -3; 2] và bán kính R = 4. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng [a] là I = [1; 4; 1]. Suy ra vectơ pháp tuyến của [P] là: P = [2; -1; 2]. Phương trình của [P] có dạng: 20 – 2x + m = 0. Vì [P] tiếp xúc với [S] nên d[I, [P]]. Vậy phương trình mặt phẳng [P]: 23 – g + 22 + 3 = 0 hoặc [P]: 2x – 4 + 2z – 21 = 0. Ví dụ 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S]: c2 + y2 + 2 + 2x – 40 – 4 = 0 và mặt phẳng [P]: 04 – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [Q] đi qua điểm M[3; 1; -1] vuông góc với mặt phẳng [P] và tiếp xúc với mặt cầu [S]. Mặt cầu [S] có tâm I[-1; 2; 0] và bán kính R = 3; mặt phẳng [P] có véctơ pháp tuyến [1; 0; 1]. [Q]: 2x + 2y + z – 6 = 0 hoặc [Q]: 100 – 10g + 2z – 5 = 0. Ví dụ 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S]: x + y2 + x2 – 2x + 4 + 2x – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa trục Ox và cắt mặt cầu [S] theo một đường tròn có bán kính r = 3. Mặt cầu [S] có tâm I[1; -2; -1], bán kính R = 3. Mặt phẳng [P] chứa Ox, nên phương trình mặt phẳng [P] có dạng: ay + bz = 0. Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên [P] đi qua tâm I. Suy ra: – 2a – b = 0 + b = -2a[a + 0] » [P]: y – 2 = 0. Ví dụ 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu [S] : 22 + 2x – 2y + 2x – 1 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng [P] chứa d và cắt mặt cầu [S] theo một đường tròn có bán kính r = 1. [P]: x + y – 3 – 4 = 0. Với [2] + [P] : 7 – 17x + 5 – 4 = 0. Ví dụ 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu [S], mặt phẳng [a] có phương trình 2x + 2y – 8 + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng [8] song Song với [a] và cắt mặt cầu [S] theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng p = 6T. Do [a] || [8] nên mặt phẳng [8] có phương trình 2x + 2y = 0. Mặt cầu [S] có tâm I[1; -2; 3], bán kính R = 5. Đường tròn giao tuyến có chu vi 60 nên có bán kính r = 3. Khoảng cách từ 1 tới [3] là h = R2 = r2. Vậy [8] có phương trình 2x + 2y – 3 – 7 = 0.
Ví dụ 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A[1; 0; 0], B[0; b; 0], C[0; 0; c] trong đó b, c dương và mặt phẳng [P]: y = 0. Viết phương trình mặt phẳng [ABC] biết mặt phẳng [ABC] vuông góc với mặt phẳng [P] và khoảng cách từ điểm 0 đến mặt phẳng [ABC] bằng 3. Vậy phương trình mặt phẳng [ABC]: 1 + 2y + 2 = 1.