1. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f[x]
i] Tìm tập xác định của hàm số.
ii] Sự biến thiên
+ Xét sự biến thiên của hàm số
- Tìm đạo hàm bậc nhất \[y'\] ;
- Tìm các điểm tại đó \[y'\] bằng 0 hoặc không xác định ;
- Xét dấu \[y'\] và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
+ Tìm cực trị.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận [nếu có].
+ Lập bảng biến thiên tổng kết các bước trên để hình dung ra dáng điệu của đồ thị
iii] Vẽ đồ thị [thể hiện các cực trị, tiệm cận, giao của đồ thị với các trục, . . .]
2. Bảng tóm tắt một số dạng đồ thị thường gặp
3. Tương giao của các đồ thị
Cho hai đồ thị \[[C_{1}]:y=f[x];\] và \[[C_{2}]:y=g[x].\]
Phương trình xác định hoành độ giao điểm của \[[C_{1}]\] và \[[C_{2}]\] là: \[f[x]=g[x].\] [1]
- Nếu [1] vô nghiệm thì \[[C_{1}]\] và \[[C_{2}]\] không có điểm chung [không cắt nhau và không tiếp xúc với nhau].
- Nếu [1] có \[n\] nghiệm phân biệt thì \[[C_{1}]\] và \[[C_{2}]\] giao nhau tại \[n\] điểm phân biệt. Nghiệm của [1] chính là hoành độ các giao điểm.
Chú ý
a] \[[C_{1}]\] tiếp xúc với \[[C_{2}]\] \[\Leftrightarrow\] hệ \[\left\{ \begin{matrix} f[x] =g[x]& \\ f'[x]=g'[x] & \end{matrix}\right.\] có nghiệm. Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó.
b] Đường thẳng [d]: y: mx+n tiếp xúc với parabol \[y = a{x^2} + bx + c\] [\[a\ne 0\]]
\[\Leftrightarrow\] hệ \[\left\{ \begin{matrix} ax^{2}+bx+c=mx+n \\ 2ax+b=m \end{matrix}\right.\] có nghiệm
\[\Leftrightarrow\] phương trình \[ax^{2}+bx+c=mx+n\] có nghiệm kép.
Dành cho chương trình nâng cao
1. Chứng minh \[[x_{0};y_{0}]\] là tâm đối xứng của đồ thị [C] của hàm số y=f[x]
Đồ thị hàm số lẻ luôn nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.
Vậy để chứng minh \[I[x_{0};y_{0}]\] là tâm đối xứng, ta dùng công thức đổi trục: \[\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+X & \\ y=y_{0}+Y & \end{matrix}\right.\] để đưa hệ trục \[Oxy\] về hệ trục \[IXY\] [gốc \[I\]] và chứng minh: trong hệ trục \[IXY\], hàm số đã cho có dạng \[Y=g[X]\] là hàm số lẻ.
Chú ý: \[M[x,y]\in [C]\Leftrightarrow y=f[x]\]
\[\Leftrightarrow Y+y_{0}=f[X+x_{0}]\Leftrightarrow Y=g[X]\]
2. Chứng minh đường thẳng \[\Delta : x=x_{0}\] là trục đối xứng của đồ thị [C] của hàm số y=f[x]
Đồ thị của hàm số chẵn luôn nhận trục tung là trục đối xứng. Vậy để chứng minh đường thẳng \[\Delta : x=x_{0}\] là trục đối xứng, ta dùng công thức đổi trục \[\left\{\begin{matrix} x=x_{0}+X & \\ y=Y & \end{matrix}\right.\] để đưa hệ số \[Oxy\] về hệ trục \[IXY\] [\[\Delta\] là trục tung] và chứng minh: trong hệ trục \[IXY\], hàm số đã cho có dạng \[Y=g[X]\] là hàm số chẵn.
Lời đầu tiên, HOC247 xin cảm ơn các em học sinh đã tin tưởng và đồng hành cùng website hoc247.vn trong suốt thời gian vừa qua.
Vì mong muốn tạo điều kiện cho các em học sinh trên cả nước có thể tham gia học tập Online hoàn toàn miễn phí nên HOC247 chuyển toàn bộ các khoá học thu phí trên webiste hoc247.vn sang App HOC247 học miễn phí trên nền tảng iOS và Android.
Các em hãy cài đặt ngay App HOC247 để học tập hoàn toàn miễn phí các khoá học và luyện tập thư viện đề thi trắc nghiệm THPT QG.
Đối với chương trình toán học đại số, đồ thị hàm số luôn là chuyên đề quá quen thuộc. Nó có rất nhiều dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao và được vận dụng trong rất nhiều trường hợp. Chính vì thế mà đồ thị hàm số là một trong những dạng toán thường hay xuất hiện trong rất nhiều đề thi. Một trong số kiểu toán đó không thể không kể đến bài tập về lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Hãy Cmath tìm hiểu về những lý thuyết cơ bản và các dạng bài tập xoay xung quanh dạng toán này trong bài viết dưới đây nhé.Lý thuyết cơ bản về lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Hầu hết ở các bài tập cơ bản về lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số luôn có những phương pháp làm bài và các bước khảo sát chung có thể áp dụng cho các bài tập vẽ đồ thị hàm số khác.
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = f[x]:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f[x]
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số:
+ Xét sự biến thiên của hàm số:
- Tính đạo hàm bậc nhất của f′[x]
- Tìm các điểm mà tại điểm đó f′[x] = 0 hoặc không xác định
- Xét dấu đạo hàm của f′[x]. Từ đó suy ra được chiều biến thiên của hàm số.
+ Tìm cực trị [ cực đại, cực tiểu ] của hàm số đó
+ Tìm các giới hạn tại vô cực y , y , các giới hạn cho ra kết quả vô cực [= ± ∞] và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số [ nếu có ]
Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f[x]
+ Xác định các điểm trên trục sao cho giao với Ox, Oy có tọa độ nguyên
+ Chỉ ra tâm đối xứng và trục đối xứng [ nếu có ]
+ Thể hiện rõ trên đồ thị hàm số các điểm giao của đồ thị với các trục, các điểm cực trị và các đường tiệm cận [ nếu có ]
Lưu ý:
+ Nếu đồ thị hàm số lẻ sẽ nhận gốc tọa độ O [ 0; 0] làm tâm đối xứng
+ Nếu đồ thị hàm số chẵn sẽ nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Đồi thị hàm số bậc nhất và đồ thị hàm số phân thức bậc nhất sẽ nhận giao của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
+ Điểm I [x0, f[x0] ], trong đó x0 là nghiệm phương trình f′′[ x0 ] = 0 là tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba
Một số dạng đồ thị thường gặp
- Đồ thị hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d [a≠0]
Lưu ý: Nếu ac < 0 thì đồ thị của hàm số có 2 điểm cực trị nằm ở 2 phía so với trục tung Oy.
- Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương: y = ax4 + bx2 +c [ a ≠s 0]
- Đồ thị hàm số bậc nhất/ phân thức bậc nhất: y = ax+ bcx+ d [ c ≠ 0, ad – bc ≠ 0]
Sự tương giao của các đồ thị hàm số
Cho hai đồ thị y = f[x] [C1] và y = g[x] [C2]
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của [C1] và [C2] là:
f[x] = g[x] [1]
Trường hợp 1: Nếu [1] vô nghiệm thì [C1] và [C2] sẽ không có điểm chung. Tức là Hai đồ thị hàm số này không cắt nhau và không có sự tương giao với nhau.
Trường hợp 2: Nếu [1] có n nghiệm phân biệt thì hai đồ thị hàm số thì [C1] và [C2] sẽ giao nhau tại n điểm phân biệt, trong đó nghiệm của phương trình [1] sẽ là các hoành độ giao điểm.
Lưu ý:
+ Hai đồ thị hàm số [C1] tiếp xúc với [C2] khi và chỉ khi f[x] = g[x]
f′[x] = g′[x]
có nghiệm. Nghiệm của hệ phương trình này chính là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị trên.
+ Đường thẳng [d]: y = mx + n tiếp xúc với parabol y = ax2 + bx + cy [ a≠0a≠0 ] khi và chỉ khi ax2 + bx +c = mx + n có nghiệm
2ax + b = m
Và phương trình ax2 + bx + c = mx + nax2 + bx + c = mx + n có nghiệm kép.
Một số kiến thức nâng cao thường gặp
Cho đồ thị hàm số [C]: y = f[x]. Với a > 0, ta có:
- Hàm số y = f[x] + a có đồ thị hàm số [ C’] tịnh tiến theo đồ thị [C] theo phương trục tung Oy lên trên a đơn vị
- Hàm số y = f[x] – a có đồ thị hàm số [ C’] tịnh tiến theo đồ thị [C] theo phương trục tung Oy bên dưới a đơn vị
- Hàm số y = f[ x + a ] có đồ thị hàm số [ C’] tịnh tiến theo đồ thị [C] theo phương trục hoành Ox sang bên trái a đơn vị
- Hàm số y = f[ x – a ] có đồ thị hàm số [ C’] tịnh tiến theo đồ thị [C] theo phương trục hoành Ox sang bên phải a đơn vị
- Hàm số y = f [-x] có đồ thị hàm số [ C’ ] đối xứng với đồ thị [C] qua trục tung Oy
- Hàm số y = – f [x] có đồ thị hàm số [ C’ ] đối xứng với đồ thị [C] qua trục hoành Ox
- Hàm số y = f[|x|] = f [x] khi x > 0 có [C’] bằng cách:
f [ – x ] khi < hoặc = 0
Giữ nguyên phần bên phải trục Oy và bỏ phần bên trái trục Oy của đồ thị hàm số [C]. Sau đó lấy đối xứng phần bên phải trục Oy của đồ thị [C] qua Oy.
- Hàm số y = | f[x] | = f[x] khi f[x] > 0 có [C’] bằng cách:
– f[x] khi < hoặc = 0
Giữ nguyên phần đồ thị hàm số [C] nằm bên trên trục Ox. Qua Ox, lấy phần đối xứng nằm bên dưới Ox của đồ thị [C] lên bên trên và bỏ phần đồ thị [C] nằm bên dưới Ox.
Ví dụ về bài tập lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= x3 − 3x2 + 2 .
Lời giải:
Tập xác định: D = R
Ta có:
y′ = 3x2 − 6x
y′= 0 ⇔ 3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0
x = 2
y = −∞; y = +∞
Ta có bảng biến thiên:
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ví dụ 1
Suy ra:
Hàm số đồng biến trên [−∞;0][−∞;0] và [2;+∞][2;+∞].
Hàm số nghịch biến trên [0;2].[0;2].
Hàm số đạt cực đại tại x = 0; giá trị cực đại là y = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; giá trị cực tiểu là y = -2.
Có: y′′= 6x − 6
y′′=0 ⇔ 6x – 6 = 0 ⇔ x = 1
Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I[1;0] làm tâm đối xứng.
Cho: x = −1 ⇒ y = −2 ; x = 3 ⇒ y = 2
Vẽ đồ thị hàm số:
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = −x4 + 2x2 + 1 .
Lời giải:
Tập xác định: D = R
Ta có:
y′ = −4xx3 + 4x
y′ = 0 ⇔ −4x3 + 4x = 0 ⇔ x = 0
x = ±1
y = −∞; y = −∞
Lập bảng biến thiên:
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ví dụ 2
Suy ra:
Hàm số đồng biến trên các khoảng [−∞;−1] và [0;1]; nghịch biến trên các khoảng [−1;0] và [1;+∞].
Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và x = 1 với giá trị cực đại y = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 với giá trị cực tiểu y = 1.
Đồ thị hàm số nhậc trục Oy là trục đối xứng.
Ta có: y = 0 ⇔ −x4 + 2x2 + 1 = 0 ⇔ x= ± 1+ 2
Vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x + 1x-1
Tập xác định: D = R∖{1}
Ta có: y′ = 2/ [[x-1 ]2] < 0
Hàm số đồng biến trên các khoảng [−∞;1];[1;+∞]
Hàm số không có cực trị.
Ta có:
y = +∞; y = −∞. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng.
y = 1 ; y = 1. Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 1 làm tiệm cận ngang.
Lập bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số nhận điểm I[1;1] là tâm đối xứng.
Cho: x=0 ⇒ y= −1; y=0 ⇒ x = −1.
Vẽ đồ thị hàm số
Kết luận
Trên đây là những lý thuyết và ví dụ về bài tập lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Hy vọng, qua bài viết này, Cmath cung cấp cho các bạn học sinh những kiến thức cơ bản về đồ thị hàm số, giúp các bạn tự tin hơn khi làm bài.