VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai vô nghiệm / có nghiệm / có hai nghiệm phân biệt, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai vô nghiệm / có nghiệm / có hai nghiệm phân biệt: Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai Vô nghiệm – có nghiệm – có hai nghiệm phân biệt. Phương pháp. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Câu 1: Phương trình x – [m + 1]x + 1 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi A < 0e. Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình [m – 2]x + 2[2m – 3]x + 5m – 6 = 0 vô nghiệm? Lời giải: Xét phương trình [m – 2]x + [2m –3]x + 5m – 6 = 0. Với m – 2 = 0 + m = 2. Suy ra với m = 2 thì phương trình [*] có nghiệm duy nhất x = -2. Do đó m = 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. TH2. Với m = 2, khi đó để phương trình [+] vô nghiệm ở A 0. Xét phương trình [m − 5]x – 4mx + m – 2 = 0 TH1. Với m – 5 = 0 + m = 5, khi đó suy ra phương trình [+] có nghiệm duy nhất x. TH2. Với m = 40, khi đó để phương trình [*] có nghiệm ở A 20. Do đó, với 10 thì phương trình [%] có nghiệm. Kết hợp hai TH, ta được giá trị cần tìm. Tìm tất cả các giá trị của tham số m [m – 1]x + [3m – 2]x + 3 – 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt? Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình sau vô nghiệm [2m2 + 1] . x2 – 4mx + 2 = 0. Vậy phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m & R.
Câu 2: Phương trình mx – 2mx + 4 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi xét phương trình mx –2x + 4 = 0. Với m = 0, khi đó phương trình vô lý. Suy ra với m = 0 thì phương trình [+] vô nghiệm. TH2. Với m = 0, khi đó để phương trình [*] vô nghiệm ở A < 0. Kết hợp hai TH, ta được 0 < 4 là giá trị cần tìm. Phương trình [m − 4]x + 2[m – 2]x + 3 = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi xét phương trình. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho [m – 1]x – 2[m + 3]x – m + 2 = 0 có nghiệm. Câu 5: Xét phương trình [m – 1]x – 2[m + 3]x – m + 2 = 0 khi đó để phương trình [+] có nghiệm ở A. Do đó, với m = 1 thì phương trình [*] luôn có hai nghiệm phân biệt. Kết hợp hai TH, ta được m + R là giá trị cần tìm.
Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là :” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”.
Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là :” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”.
ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Giải phương trình, tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai là một nội dung quan trọng trong chương trình THCS, nhất là bồi dưỡng toán 9
Các em cần phải nắm được các kiến thức về công thức nghiệm phương trình bậc 2, định lý Vi-ét, các kiến thức có liên quan, các em cần có sự say mê, hứng thú với loại này và có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng bài tập điển hình.
Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là :” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”.
A- Dấu của các nghiệm của phương trình bậc hai
Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc hai \[a{{x}^{2}}+bx+c=0[a\ne 0]\]: có nghiệm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\] thì \[S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a};\] \[P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\].
Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2 :
– Có 2 nghiệm dương là: \[\Delta \ge 0;P>0;S>0\]
– Có 2 nghiệm âm là: \[\Delta \ge 0;P>0;S0\] thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu. Để thỏa mãn đề bài ta phải có \[S>0\]. Giải điều kiện \[P>0;S>0;\] ta được m > 2 và m < 0 không xảy ra.
Kết luận: \[m\le 2\].
Cách 3: Giải phương trình [1]: \[\Delta ={{m}^{2}}-4[2m-4]={{[m-4]}^{2}}\ge 0\forall m\]
Ta có: \[{{x}_{1}}=\frac{-m-[m-4]}{2}=2-m\]; \[{{x}_{2}}=\frac{-m+[m-4]}{2}=-2\]
Do \[{{x}_{2}}=-2
Ví dụ 2: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-2[m+3]x+4m-1=0\] [2]. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương.
Giải
Phương trình [2] có hai nghiệm dương
II/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ
Trong nhiều trường hợp để so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ ta
có thể quy về trường hợp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0:
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2: \[{{x}^{2}}+mx+1=0\] [1]
Cách 1: Đặt y = x – 2 \[\Rightarrow x=y+2\] thay vào phương trình [1], ta được:
\[{{\left[ y+2 \right]}^{2}}+m\left[ y+2 \right]-1=0\Leftrightarrow {{y}^{2}}+\left[ 4+m \right]y+3-2m=0\] [2]
Ta cần tìm nghiệm m để phương trình [2] có ít nhất một nghiệm không âm.
\[\Delta ={{\left[ m+4 \right]}^{2}}-4\left[ 2m+3 \right]={{m}^{2}}+4>0\forall m\]
\[P=2m+3;S=-\left[ m+4 \right]\]. Điều kiện để phương trình [2] có 2 nghiệm đều âm là :
Vậy với \[m\le \frac{-3}{2}\] thì phương trình [2] có ít nhất một nghiệm không âm tức là [1] có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.
Cách 2:
Giải phương trình [1] ta được: \[{{x}_{1}}=\frac{-m+\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{-m-\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\].
Ta thấy \[{{x}_{1}}>{{x}_{2}}\] nên chỉ cần tìm m để \[{{x}_{1}}\ge 2\]. Ta có:
\[\frac{-m+\sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}\ge 2\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+4}\ge m+4\] [3]
- Nếu \[m\le -4\] thì [3] có vế phải âm, vế trái dương nên [3] đúng.
- Nếu \[m>-4\] thì [3] \[\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4={{m}^{2}}+8m+16\Leftrightarrow m\le \frac{-3}{2}\]. Ta được \[-4\le m\le \frac{-3}{2}\].
Gộp \[m\le -4\] và \[-4\le m\le \frac{-3}{2}\Rightarrow m\le \frac{-3}{2}\] là giá trị cần tìm của m.
Ví dụ 2:
Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2:
\[3{{x}^{2}}-4x+2\left[ m-1 \right]=0\] [1]
Giải
Cách 1: đặt \[y=x-2\Rightarrow x=y+2\] thay vào [1] ta được:
\[3{{\left[ y+2 \right]}^{2}}-4\left[ y+2 \right]+2\left[ m-1 \right]=0\Leftrightarrow 3{{y}^{2}}+8y+2m+2=0\] [2]
Cần tìm m để phương trình [2] có 2 nghiệm âm phân biệt. Ta giải điều kiện:
Kết luận: Với \[-1
Cách 2:
Xét phương trình [1]. Giải điều kiện:
Giải [2] được \[m0\Leftrightarrow \frac{2\left[ m-1 \right]}{3}-2.\frac{4}{3}+4>0\Leftrightarrow m>-1\]
Giải [4]: \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-4
Vậy ra được \[-1
Cách 3: giải phương trình [1]: \[{{\Delta }^{'}}=4-6\left[ m-1 \right]=10-6m\]
Nếu \[{{\Delta }^{'}}>0\Leftrightarrow m
\[{{x}_{1}}=\frac{2-\sqrt{10-6m}}{3}\]; \[{{x}_{2}}=\frac{2+\sqrt{10-6m}}{3}\]
Do \[{{x}_{1}}
\[{{x}_{2}}-1\]
Vậy ta được: \[-1
III/ Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2
Ví dụ 1 Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm
\[{{x}^{4}}+m{{x}^{2}}+2n-4=0\] [1]
Giải
Đặt \[{{x}^{2}}=y\ge 0\]. Điều kiện để phương trình [1] có nghiệm là phương trình \[{{y}^{2}}+my+2m-4=0\] có ít nhất một nghiệm không âm.
Theo kết quả ở VD1 mục I, các giá trị của m cần tìm là \[m\le 2\]
Ví dụ 2: TÌm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình
\[x-\sqrt{1-{{x}^{2}}}=m\] [1] chỉ có 1 phần tử
Giải
Do đó tập nghiệm của phương trình [1] chỉ có một phần tử khi và chỉ khi có 1 và chỉ 1 nghiệm của phương trình [2] thoản mãn điều kiện \[x\ge m\]. Đặt x –m =y. Khi đó phương trình [2] trở thành \[2{{y}^{2}}+2my+{{m}^{2}}-1=0\] [3]
Cần tìm m để có một nghiệm của phương trình [3] thỏa mãn \[y\ge 0\].
Có 3 trường hợp xảy ra:
a] Phương trình [3] có nghiệm kép không âm
b] Phương trình [3] co s2 nghiệm trái dấu:
\[P
c] Phương trình [3] có một nghiệm âm, nghiệm còn lại bằng 0:
Kết luận \[m=-\sqrt{2}\] hoặc \[-1
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
\[x\left[ x-2 \right]\left[ x+2 \right]\left[ x+4 \right]=m\] [1]
Giải
[1] \[\Leftrightarrow \left[ {{x}^{2}}+2x \right]\left[ {{x}^{2}}+2x-8 \right]=m\]
Đặt \[{{x}^{2}}+2x+1=y\ge 0\], khi đó [1] trở thảnh \[\left[ y-1 \right]\left[ y-9 \right]=m\Leftrightarrow {{y}^{2}}-10y+\left[ 9-m \right]=0\] [2]
Với cách đặt ẩn phụ như trên, ứng với mỗi giá trị dương của y có hai giá trị của x.
Do đó:
[1] có 4 nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \][2] có 2 nghiệm dương phân biệt. Do đó, ở [2] ta phải có:
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm các giá trị của m để tồn tại nghiệm không âm của phương trình: \[{{x}^{2}}-2x+\left[ m-2 \right]=0\]
Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: \[{{x}^{2}}+2m\left| x-2 \right|-4x+{{m}^{2}}+3=0\]
Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình: \[\left[ m-1 \right]{{x}^{2}}-\left[ m-5 \right]x+\left[ m-1 \right]=0\]
có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình: \[{{x}^{2}}+mx-1=0\] có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng -2.
Bài 5: Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình: \[{{x}^{4}}-2\left[ m-1 \right]{{x}^{2}}-\left[ m-3 \right]=0\]
a] Có 4 phần tử.
b] Có 3 phần tử.
c] Có 2 phần tử.
d] Có 1 phần tử.