Tổng quát, biến ngẫu nhiên phân phối đều rời rạc X có thể nhận giá trị trong một tập vô hạn, nhưng ở đây ta chỉ đề cập đến trường hợp X nhận hữu hạn giá trị nguyên dương từ 1 đến n. Mỗi giá trị có cùng xác suất xảy ra là
Ví dụ: Tung một xúc sắc đồng chất, gọi X là số nút xuất hiện, khi đó
Thực hiện thí nghiệm minh họa ví dụ trên
Tung một con xúc sắc đồng chất 10000 lần, đếm số lần xuất hiện của các giá trị 1,2,3,4,5,6.
X 1 2 3 4 5 6 Số lần xuất hiện 1638 1607 1671 1670 1691 1723
Từ đó ta tính được xác suất thực nghiệm như sau
X 1 2 3 4 5 6 Xác suất 0.1638 0.1607 0.1671 0.1670 0.1691 0.1723
Vẽ đồ thị hàm xác suất
Vẽ đồ thị hàm phân phối tích lũy
Trong lý thuyết xác suất, một phân phối xác suất được gọi là rời rạc nếu nó được đặc trưng bởi một hàm khối xác suất [probability mass function]. Khi đó, phân phối của một biến ngẫu nhiên X là rời rạc, và X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu
khi u chạy trên tập tất cả các giá trị của X.
Nếu một biến ngẫu nhiên là rời rạc, thì tập hợp tất cả các giá trị mà nó có thể nhận với xác suất khác 0 là một tập hoặc vô hạn đếm được, vì tổng của số lượng không đếm được các số thực dương luôn tiến đến vô cùng.
Phân phối Poisson, phân phối Bernoulli, phân phối nhị thức, phân phối hình học, và phân phối nhị thức âm nằm trong số những phân phối xác suất rời rạc thông dụng nhất.
Chương 2
BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
1. TỔNG QUAN VỀ BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN
Xét phép thử
với không gian mẫu
. Giả sử, ứng với mỗi biến số sơ cấp
, ta liên kết
với một số thực
, thì X được gọi là một biến số ngẫu nhiên.
Ví dụ 1. Với trò chơi sấp ngửa bằng cách thảy đồng xu, giả sử nếu xuất hiện mặt sấp, ta được 1
đồng; nếu xuất hiện mặt ngửa, ta mất 1 đồng. Khi đó, ta có
Phép thử
"thảy đồng xu",
Không gian mẫu
,
Biến số ngẫu nhiên X với
và
.
Tổng quát, biến số ngẫu nhiên X của một phép thử
với không gian mẫu
là một ánh xạ
Khi
là một tập hợp hữu hạn
hay là một dãy
, ta nói X là
một biến số ngẫu nhiên rời rạc. Khi
là một khoảng của [hay cả ], ta nói X là một biến
số ngẫu nhiên liên tục.
Trong thực nghiệm, các biến số ngẫu nhiên thường là rời rạc. Tuy nhiên, khi biến số ngẫu
nhiên khảo sát lấy giá trị tùy ý trên một khoảng của [hay cả ], ta coi nó như một biến số ngẫu
nhiên liên tục. Chẳng hạn, biến số ngẫu nhiên trong ví dụ 1 là một biến số ngẫu nhiên rời rạc. Còn
lấy ngẫu nhiên một sinh viên trong trường và đo chiều cao [phép thử
"lấy một sinh viên trong
trường", không gian mẫu
là tập hợp tất cả các sinh viên và với sinh viên
thì
là
chiều cao của
], ta được một biến số ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị đủ nhiều trên nên ta coi
nó là một biến số ngẫu nhiên liên tục. Thực chất, các biến ngẫu nhiên liên tục được dùng làm xấp xỉ
cho các biến ngẫu nhiên rời rạc khi tập các giá trị của biến số ngẫu nhiên rời rạc đủ lớn.
Do các biến số ngẫu nhiên X là các ánh xạ có giá trị trong nên với một hàm số
,
ta có thể thành lập biến số ngẫu nhiên
, với
Chẳng hạn, với
, ta có biến số ngẫu nhiên
, với
với mọi
, và với
, ta có biến số ngẫu nhiên
, với
2
2
XX
với mọi
.
Hơn nữa, trên thực tế, khi nghiên cứu một đối tượng, người ta thường quan tâm đến nhiều
tham số cùng một lúc. Nếu mỗi tham số khảo sát đều là một biến số ngẫu nhiên, ta nhận được một