2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân.
\[a < b\] thì \[a.c{\rm{ }} < {\rm{ }}b.c\] với \[c > 0\]
II. Bài tập
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn?
\[\begin{array}{*{20}{l}}{a]{\rm{ }}{{27}{11}}vs{\rm{ }}{{81}^8}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b]{\rm{ }}{{625}^5}vs{\rm{ }}{{125}^7}}\\{\;c]{\rm{ }}{5{36}}vs{\rm{ }}{{11}{24\;\;\;\;}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;d]{\rm{ }}{3{2n}}vs{\rm{ }}{2^{3n\;}}\;[n \in {N^*}]}\end{array}\]
Hướng dẫn:
- Đưa về cùng cơ số 3.
- Đưa về cùng cơ số 5.
- Đưa về cùng số mũ 12.
- Đưa về cùng số mũ n
Bài 2: So sánh các số sau, số nào lớn hơn?
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\;\;\;\;\;\;\;\;\;a]{\rm{ }}{5^{23}}\;vs{\rm{ }}{{6.5}{22}}\;\;\;\;\;\;\;}\\{\;\;\;\;\;\;\;\;\;b]{\rm{ }}{{7.2}{13}}vs{\rm{ }}{2^{16}}}\\{\;\;\;\;\;\;\;\;\;c]{\rm{ }}{{21}^{15}}vs{\rm{ }}{{27}^5}{{.49}^8}}\end{array}\]
Hướng dẫn:
- Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522.
- Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213.
- Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.
Bài 3: So sánh các số sau, số nào lớn hơn.
\[\begin{array}{*{20}{l}}{a]{\rm{ }}{{199}{20}}\;vs{\rm{ }}{{2003}{15}}.}\\{\;b]{\rm{ }}{3^{39}}vs{\rm{ }}{{11}^{21}}.}\end{array}\]
Hướng dẫn :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{a]{\rm{ }}{{199}{20}} < {\rm{ }}{{200}{20}} = {\rm{ }}{{\left[ {{2^3}{{.5}2}} \right]}{20}} = {\rm{ }}{2^{60}}.{\rm{ }}{5^{40}}.}\\\begin{array}{l}\;{2003^{15}} > {\rm{ }}{2000^{15}} = {\rm{ }}{\left[ {{{2.10}3}} \right]{15}} = {\rm{ }}{\left[ {{2^4}.{\rm{ }}{5^3}} \right]{15}} = {\rm{ }}{2{60}}{.5^{45}}\\ = > {199^{20}} < {2003^{15}}\;\end{array}\\{\;b]{\rm{ }}{3^{39}} < {3^{40}} = {\rm{ }}{{\left[ {{3^2}} \right]}{20}} = {\rm{ }}{9{20}} < {{11}^{21}}.}\end{array}\]
Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?
\[{72^{45}} - {\rm{ }}{72^{44}}\] và \[{72^{44}} - {\rm{ }}{72^{43}}\]
Hướng dẫn:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{72}{45}} - {{72}{44}} = {{72}{44}}\left[ {72 - 1} \right] = {{72}{44}}.71.}\\{{{72}{44}} - {{72}{43}} = {{72}{43}}\left[ {72 - 1} \right] = {{72}{43}}.71.}\end{array}\]
Bài 5: Tìm \[x \in N\]biết:
\[\begin{array}{l}a,{\rm{ }}{16^x} < {\rm{ }}{128^{4.}}\\b,{\rm{ }}{5^x}{.5^{x + 1}}{.5^{x + 2}} \le 100...0{\rm{ }}:{\rm{ }}{2^{18}}\end{array}\]
Hướng dẫn:
a, Đưa 2 vế về cùng cơ số 2.
luỹ thừa nhỏ hơnsố mũ nhỏ hơn.
Từ đó tìm x.
b, Đưa 2 vế về cùng cơ số 5x.\[{10.9^8}.\]
Bài 6: Cho \[S = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ..... + {2^9}.\]
Hãy so sánh S với \[{5.2^8}.\]
Hướng dẫn:
\[\begin{array}{l}2S = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + .... + {2^{10}}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ = > 2S - S = {2^{10}} - 1\left[ {{2^{10}} = {2^2}{{.2}^8} = {{4.2}^8} < {{5.2}^8}} \right].\end{array}\]
Bài 7: Gọi m là các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0. Hãy so sánh m với
Hướng dẫn:Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm triệu.
Có 9 cách chọn chữ số hàng chục triệu....
\[ = > m = 9.9.9.9.9.9.9.9.9 = {9^9}.\]
Mà \[{9^{9\;}} = \;{9.9^8}{\;^{\;\;}} < \;{10.9^8}.\]
Vậy: \[m{\rm{ }} < \;{10.9^8}.\]
Bài 8: So sánh \[a]\;\;{31^{31}}\;\;vs\;\;{17^{39}}.\;\;\;\] b] và
Hướng dẫn: a] \[{31^{31}} < {\rm{ }}{32^{31}} = {2^{155}};{\rm{ }}{17^{39}} > {16^{39}} = {\rm{ }}{2^{156}}.\]
- So sánh \[{2^{21}}vs{\rm{ }}{5^{35}}\;\;\;\;\;\]
Bài 9:
Tìm \[x \in N\] biết
\[\begin{array}{*{20}{l}}{a]{\rm{ }}{1^3}\;\; + {\rm{ }}{2^3}\;\;\; + {\rm{ }}{3^3} + {\rm{ }}... + {\rm{ }}{{10}^3} = {\rm{ }}{{\left[ {{\rm{ }}x{\rm{ }} + 1} \right]}^2}}\\{b]{\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}... + {\rm{ }}99{\rm{ }} = {\rm{ }}{{\left[ {x{\rm{ }} - 2} \right]}^2}}\end{array}\;\]
Giải:
\[\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}{a]{1^3}\;\; + {2^3}\;\; + {\rm{ }}{3^3} + {\rm{ }}... + {\rm{ }}{{10}^3} = {\rm{ }}{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}\\{{{\left[ {1 + {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3 + ... + {\rm{ }}10} \right]}^2} = {\rm{ }}{{\left[ {{\rm{ }}x{\rm{ }} + 1} \right]}^2}}\\{{{55}^2}\;\; = {\rm{ }}{{\left[ {{\rm{ }}x{\rm{ }} + 1} \right]}^2}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{l}}{55{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }} + 1}\\{x{\rm{ }} = {\rm{ }}55 - {\rm{ }}1}\\{x{\rm{ }} = {\rm{ }}54}\\{}\end{array}\end{array}\] \[\begin{array}{l}b]1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99 = {[x - 2]^2}\\{[\frac{{99 - 1}}{2} + 1]^2} = {[x - 2]^2}\\{50^2} = {[x - 2]^2}\\x = 50 + 2\\x = 52\end{array}\]