1. Đường phân giác của tam giác
Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M.
- Đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác của tam giác ABC
- Đường thẳng AM cũng được gọi là đường phân giác của tam giác ABC
- Mỗi tam giác có ba đường phân giác.
Tính chất
Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.
2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Định lí
Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Tam giác ABC có I là giao điểm ba tia phân giác => IK = IH = IL.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 36: Trang 72 - SGK Toán 7 tập 2
Cho tam giác DEF, điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của nó. Chứng minh I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 37: Trang 72 - SGK Toán 7 tập 2
Nêu cách vẽ điểm K ở trong tam giác MNP mà các khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau. Vẽ hình minh họa.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 38: Trang 73 - SGK Toán 7 tập 2
Cho hình 38.
a] Tính góc KOL.
b] Kẻ tia IO, hãy tính góc KIO.
c] Điểm O có cách đều ba cạnh của tam giác IKL không? Tại sao?
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 39: Trang 73 - SGK Toán 7 tập 2
Cho hình 39.
a] Chứng minh ΔABD = ΔACD
b] So sánh góc DBC và góc DCB.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 40: Trang 73 - SGK Toán 7 tập 2
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 41: Trang 73 - SGK Toán 7 tập 2
Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 42: Trang 73 - SGK Toán 7 tập 2
Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.
Gợi ý: Trong ΔABC, nếu AD là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài AD một đoạn DA, sao cho DA1 = AD.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 43: Trang 73 - SGK Toán 7 tập 2
Đố: Có hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tại hai địa điểm khác nhau [h.40].
Hãy tìm một địa điểm để xây dựng một đài quan sát sao cho khoảng cách từ đó đến hai con đường và đến bờ sông bằng nhâu.
Có tất cả mấy địa điểm như vậy?
=> Xem hướng dẫn giải
Trắc nghiệm Hình học 7 Bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giácGiải bài tập Toán lớp 7 bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 6: Tính chất ba đường phân giác của tam giác với lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán lớp 7. Lời giải hay bài tập Toán 7 này gồm các bài giải tương ứng với từng bài học trong sách giúp cho các bạn học sinh ôn tập và củng cố các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải môn Toán. Mời các bạn tham khảo
- Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác
- Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
- Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 7, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 7 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 7. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 6 trang 72: Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp hình xác định ba đường phân giác của nó. Trải tam giác ra, quan sát và cho biết: Ba nếp gấp có đi qua cùng một điểm không.
Lời giải
Ba nếp gấp có đi qua cùng một điểm
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 6 trang 72: Dựa vào hình 37, hãy cho biết giả thiết và kết luận của định lý.
Lời giải
- Giả thiết: ΔABC có I là giao điểm ba đường phân giác
IH, IK, IL lần lượt là khoảng cách từ I đến BC, AC, AB
- Kết luận: IH = IK = IK
Bài 36 [trang 72 SGK Toán 7 tập 2]: Cho tam giác DEF, điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của nó. Chứng minh I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.
Lời giải:
Từ điểm I ta kẻ IA ⊥ DE; IB ⊥ EF và IC ⊥ DF
- Vì điểm I cách đều hai cạnh DE và DF nên I nằm trên đường phân giác của góc EDF [định lí 2 - định lí đảo của tia phân giác]
Tương tự ta suy ra điểm I nằm trên tia phân giác của góc DEF và góc EFD.
Vậy I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.
Bài 37 [trang 72 SGK Toán 7 tập 2]: Nêu cách vẽ điểm K ở trong tam giác MNP mà các khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau. Vẽ hình minh họa.
Lời giải:
- Cách vẽ: Vẽ tia phân giác MJ của góc M, tia phân giác NQ của góc N. Giao điểm của hai tia phân giác chính là điểm K cần vẽ.
- Chứng minh: Vì K là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác MNP nên K cách đều ba cạnh của tam giác đó [theo định lí giao điểm của ba đường phân giác.]
Bài 38 [trang 73 SGK Toán 7 tập 2]: Cho hình 38.
a] Tính góc KOL.
b] Kẻ tia IO, hãy tính góc KIO.
c] Điểm O có cách đều ba cạnh của tam giác IKL không? Tại sao?
Lời giải:
a. Xét tam giác KIL có:
Mà
Vì KO và LO lần lượt là phân giác của góc
Suy ra
Xét tam giác KOL có:
b] ΔKIL có O là giao điểm của hai đường phân giác KO và LO nên OI là đường phân giác của góc KIL [định lí ba đường phân giác cùng đi qua một điểm].
Do đó:
c] Điểm O có cách đều 3 cạnh của tam giác IKL bởi vì O là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác đó.
Bài 39 [trang 73 SGK Toán 7 tập 2]: Cho hình 39.
a] Chứng minh ΔABD = ΔACD
b] So sánh góc DBC và góc DCB.
Hình 39
Lời giải:
a] Xét ΔABD và ΔACD có:
AB = AC
AD là cạnh chung
=> ΔABD = ΔACD [c.g.c] [đpcm].
b] Từ chứng minh câu a] ta có: ΔABD = ΔACD
=> BD = CD
=> ΔBDC cân tại D.
Bài 40 [trang 73 SGK Toán 7 tập 2]: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng.
Lời giải:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC.
- Vì G là trọng tâm nên G nằm trên trung tuyến AM [1].
- Vì I cách đều ba cạnh của tam giác => I là giao điểm của ba đường phân giác trong của ΔABC.
- ΔABC cân nên đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến [tính chất trang 71 sgk Toán 7 tập 2]. Do đó, I nằm trên AM [2].
Từ [1] và [2] suy ra ba điểm A, G, I thẳng hàng [đpcm].
Bài 41 [trang 73 SGK Toán 7 tập 2]: Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?
Hướng dẫn giải
Áp dụng tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.
Lời giải:
[Nhắc lại tính chất trang 71 sgk Toán 7 Tập 2: Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.]
Giả sử ta có ΔABC đều và có trọng tâm G.
Vì ΔABC đều nên ba trung tuyến AN, BM, CE bằng nhau
Suy ra: GA = GB = GC
Do đó: ΔAMG = ΔCMG [c.c.c]
=> GM ⊥ AC tức là GM là khoảng cách từ G đến AC.
Chứng minh tương tự GE, GN là khoảng cách từ G đến AB, BC.
Và AN = BM = EC nên GM = GN = GE
Hay G cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
Bài 42 [trang 73 SGK Toán 7 tập 2]: Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.
Gợi ý: Trong ΔABC, nếu AD là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài AD một đoạn DA, sao cho DA1 = AD.
Lời giải:
Gọi AD là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của góc A trong ΔABC
Kéo dài AD một đoạn DA1 sao cho AD = DA1
Xét hai tam giác ADC và tam giác ADB ta có:
DB = DC [Do AD là đường trung tuyến]
AD = DA1 [cách vẽ]
Vậy tam giác ΔADC = ΔA1DB [c - g - c]
Suy ra BA1 = AC
Mà
Xét tam giác ABA1 ta có:
Vậy ΔBAD cân tại B nên AB = BA1 [2]
Từ [1] và [2] ta suy ra được: AB = AC
Vậy tam giác ABC cân tại A [điều phải chứng minh]
Bài 43 [trang 73 SGK Toán 7 tập 2]: Đố: Có hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tại hai địa điểm khác nhau [h.40].
Hãy tìm một địa điểm để xây dựng một đài quan sát sao cho khoảng cách từ đó đến hai con đường và đến bờ sông bằng nhâu.
Có tất cả mấy địa điểm như vậy?
Lời giải:
Ta hình dung hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tạo thành một tam giác ABC.
- Địa điểm để xây dựng đài quan sát thỏa mãn đề bài phải là giao điểm I của 3 đường phân giác trong của tam giác ABC.
- Ngoài ra, giao điểm I' của hai đường phân giác ngoài của góc B và C cũng thỏa mãn đề
Vậy có 2 địa điểm để xây dựng đài quan sát là I và I'.
-------------------------------------------------------------
Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn lý thuyết môn Toán học 8: Tính chất đường phân giác của tam giác. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Chuyên đề Toán học 8, Giải bài tập Toán lớp 8, Giải VBT Toán lớp 8 mà VnDoc tổng hợp và giới thiệu tới các bạn đọc.
Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:
- Các trường hợp bằng nhau của tam giác
- 30 đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 CÓ ĐÁP ÁN
- Tổng ba góc của một tam giác, góc ngoài tam giác