Toán Hình 9 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Giải Toán 9 bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Show
Giải bài tập Toán lớp 9 bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. Đây là tài liệu tham khảo hay được VnDoc.com sưu tầm nhằm giúp quá trình ôn tập và củng cố kiến thức chuẩn bị cho bài giảng sắp tới, đồng thời giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán trở nên thuận lợi hơn. Mời các bạn tham khảo Bài tiếp theo
Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 3 trang 105Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng: a) Nếu AB = CD thì OH = OK. b) Nếu OH = OK thì AB = CD. Lời giải OH là một phần đường kính vuông góc với dây AB ⇒ H là trung điểm của AB ⇒ AB = 2HB OK là một phần đường kính vuông góc với dây CD ⇒ K là trung điểm của CD ⇒ CD = 2KD Theo mục 1: OH2 + HB2 = OK2 + KD2 a) Ta có: AB = CD ⇒ HB = KD ⇒ OH2 = OK2 ⇒ OH = OK b) Ta có: OH = OK ⇒ HB2= KD2 ⇒ HB = KD ⇒ AB = CD Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 3 trang 105Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để so sánh các độ dài: a) OH và OK, nếu biết AB > CD. b) AB và CD, nếu biết OH < OK.
Lời giải a) Nếu AB > CD thì HB > KD ⇒ HB2 > KD2 Mà: OH2 + HB2 = OK2 + KD2 ⇒ OH2 < OK2 ⇒ OH < OK b) Nếu OH < OK thì OH2< OK2 ⇒ HB2 > KD2 ⇒ HB > KD ⇒ AB > CD Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 3 trang 105Cho tam giác ABC, O là giao của các đường trung trực của tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Cho biết OD > OE, OE = OF (h.69). Hãy so sánh các độ dài: a) BC và AC; b) AB và AC. Lời giải O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC ⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a) OE = OF ⇒ AC = BC b) OD > OE ⇒ AB < AC Bài 12 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm. a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB. b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB. Lời giải:
a) Kẻ OJ vuông góc với AB tại J.  Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAJ có: OJ2 = OA2 – AJ2 = 52 – 42 = 9 => OJ = 3cm (1) Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là OJ = 3cm. b) Kẻ OM vuông góc với CD tại M. Tứ giác OJIM có: ∠J = ∠I = ∠M = 1v nên là hình chữ nhật Ta có IJ = AJ – AI = 4 – 1 = 3cm => OM = IJ = 3cm (Tính chất hình chữ nhật) (2) Từ (1), (2) suy ra CD = AB (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau). (đpcm) Bài 13 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: a) EH = EK b) EA = EC. Lời giải: a) Nối OE ta có: AB = CD => OH = OK (Định lí 3) Hai tam giác vuông OEH và OEK có: OE là cạnh chung OH = OK => ΔOEH = ΔOEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông) => EH = EK (1). (đpcm) b) Ta có: OH ⊥ AB Mà AB = CD (gt) suy ra AH = KC (2) Từ (1) và (2) suy ra: EA = EH + HA = EK + KC = EC Vậy EA = EC. (đpcm) Bài 14 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD. Lời giải: Kẻ OM ⊥ AB, ON ⊥ CD. Ta thấy M, O, N thẳng hàng. Ta có: Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AMO có: OM2 = OA2 – AM2 = 252 – 202 = 225 => OM = √225 = 15cm => ON = MN – OM = 22 – 15 = 7 (cm) Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CON có: CN2 = CO2 – ON2 = 252 – 72 = 576 => CN = √576 = 24 => CD = 2CN = 48cm Bài 15 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB > CD. Hãy so sánh các độ dài: a) OH và OK b) ME và MF c) MH và MK. Hình 70 Lời giải: a) Trong đường tròn nhỏ: AB > CD => OH < OK (định lí 3) b) Trong đường tròn lớn: OH < OK => ME > MF (định lí 3) c) Trong đường tròn lớn: ME > MF => MH > MK Bài 16 (trang 106 SGK Toán 9 Tập 1)Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF. Lời giải:
Kẻ OH ⊥ EF. Trong tam giác vuông OHA vuông tại H có OA > OH (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên). Vì OA > OH nên BC < EF (định lí 3). Trên đây VnDoc đã hướng dẫn cho các bạn học sinh bài 3 Toán 9: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. Với lời giải chi tiết các bạn có thể so kết quả của mình từ đó nắm chắc kiến thức Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác với VnDoc để có thêm nhiều tài liệu chất lượng miễn phí nhé
.................................... Ngoài Giải bài tập Toán lớp 9 bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học học kì 1 lớp 9, đề thi học học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi học kì 2 lớp 9 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt Mục lục 1. Định lí 1 [edit] 2. Định lí 2 [edit] Định lí 1 [edit]Trong một đường tròn: a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Cho đường tròn \((O) \) có hai dây \(AB\) và \(CD\) khác đường kính. Kẻ \(OH \bot AB;\ OK \bot CD.\) Chứng minh: a) Nếu \(AB=CD\) thì \(OH=OK.\) b) Nếu \(OH=OK\) thì \(AB=CD.\) Chứng minh: Ta có \(\left\{\begin{array}{ll} OH \bot AB\\ OK \bot CD \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}AB=2HB\\ CD=2KD \end{array} \right.\) (Đường kính vuông góc với dây cung) \((1)\) Áp dụng định lí Py - ta - go cho hai tam giác vuông \(OHB\) và \(OKD,\) ta có: \(\left\{\begin{array}{ll}OH^2+HB^2= OB^2=R^2\\OK^2+KD^2=OD^2=R^2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}OH^2=R^2-HB^2\\ OK^2=R^2-KD^2\end{array} \right.\) \((2)\) a) Nếu \(AB=CD\) thì \(OH=OK.\) Theo giả thiết: \(AB=CD.\) Từ \((1)\) \(\Rightarrow HB=KD \Rightarrow HB^2=KD^2.\) Từ \((2)\) \(\Rightarrow OH^2=OK^2\Rightarrow OH=OK.\) Vậy trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. b) Nếu \(OH=OK\) thì \(AB=CD.\) Theo giả thiết: \(OH=OK.\) \(\Rightarrow OH^2=OK^2.\) Từ \((2)\) \(\Rightarrow HB^2=KD^2.\) \(\Rightarrow HB=KD.\) Từ \((1)\) \(\Rightarrow AB=CD.\) Vậy trong một đường tròn, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. \(\square\) Ví dụ 1: Cho đường tròn \((O);\) đường kính \(AB,\) hai dây \(AC\) và \(BD\) song song với nhau. Gọi \(d_1;\ d_2\) lần lượt là khoảng cách từ \(O\) đến \(AC,\ BD.\) So sánh \(d_1\) và \(d_2.\) Phân tích: Với bài toán này, ta không có số liệu cụ thể để tính toán khoảng cách để so sánh. Do vậy ta phải sử dụng mối liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. Tìm mối quan hệ giữa hai dây \(AC\) và \(BD\) Giải: Ta có: \(C \in \left ( O;\ \dfrac{AB}{2} \right ) \Rightarrow OA=OB=OC=\dfrac{AB}{2}.\) \(\Rightarrow \Delta ACB\) vuông tại \(C.\) \(\Rightarrow AC \bot BC.\) Ta lại có: \(D \in \left ( O;\ \dfrac{AB}{2} \right ) \Rightarrow OA=OB=OD=\dfrac{AB}{2}.\) \(\Rightarrow \Delta ADB\) vuông tại \(D.\) \(\Rightarrow BD \bot AD.\) Mà \(AC // BD \Rightarrow AD // BC.\) Khi đó, tứ giác \(ACBD\) là hình bình hành. \(\Rightarrow AC=BD\) (Tính chất hình bình hành) \(\Rightarrow d_1 = d_2.\) (Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm) \(\square\) Ví dụ 2: Cho hình vẽ: Trong hai đoạn thẳng GH và MN, đoạn nào dài hơn? GiảiVì hai điểm \(I,\ J\) cùng thuộc đường tròn nhỏ nên \(OI = OJ.\) Mà trong đường tròn lớn có \(OI,\ OJ\) là khoảng cách từ tâm tới hai dây \(GH;\ MN\) \(\Rightarrow GH=MN.\) (Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau) \(\square\) Định lí 2 [edit]Trong hai dây của một đường tròn: a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. Cho \((O), \) hai dây \(AB,\ CD\) khác đường kính. Kẻ \(OH \bot AB;\ OK \bot CD.\) Khi đó: a) Nếu \(AB b) Nếu \(OH Chứng minh: a) Nếu \(AB>CD\) thì \(OH Theo giả thiết: \(AB>CD.\) Từ \((1)\) \(\Rightarrow HB> KD\Rightarrow HB^2>KD^2\) Từ \((2)\) \(\Rightarrow OH^2 Vậy trong hai dây của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. b) Nếu \(OH Theo giả thiết: \(OH Từ \((2)\) \(\Rightarrow HB^2>KD^2.\) Từ \((1)\) \(\Rightarrow AB^2>CD^2\Rightarrow AB>CD.\) Vậy trong hai dây của một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. \(\square\) Ví dụ 3: Cho \((O),\) hai dây \(AB,\ CD\) không đi qua tâm. Biết khoảng cách từ tâm đến dây \(AB, CD\) lần lượt là \(4cm,\ 3cm.\) So sánh độ dài hai dây \(AB\) và \(CD.\) Giải Từ \(O\) kẻ \(OI \bot AB\ ( I \in AB);\ OK \bot CD\ (K \in CD).\) \(\Rightarrow OK=3cm;\ OI=4cm.\) Mà \(OK \(\Rightarrow CD>AB.\) (Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn) \(\square\) Ví dụ 4: Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O).\) Gọi \(M,\ N,\ P\) lần lượt là hình chiếu của tâm \(O\) lên \(AC,\ AB,\ BC.\) So sánh ba đoạn thẳng \(OM,\ ON,\ OP\) nếu \(AB = 5cm;\ AC = 7cm\) và \(BC = 11cm.\) Giải Tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O).\) \(\Rightarrow AB,\ AC,\ BC\) là ba dây cung của đường tròn. Ta có: \(BC>AC\ (11cm>7cm)\) \(\Rightarrow OP Lại có: \(AC>AB\ (7cm>5cm)\) \(\Rightarrow OM Từ \((1)\) và \((2)\)
\(\Rightarrow OP |
