Trình bày cách xây dựng ma trận chuyển cơ sở

Cơ sở, số chiều,toạ độ không gian vecto

Cập nhật lần cuối 12/01/2022 by TTnguyen

Trong chương trình toán cao cấp môn đại số và hình học giải tích, để hiểu rõ hơn về Cơ sở, số chiều,toạ độ không gian vecto , bài viết này TTnguyen sẽ chia sẻ một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập về Cơ sở, số chiều,toạ độ không gian vecto thường gặp trong quá trình học. Chúc các bạn học tập tốt!

Tóm tắt lý thuyết

1.Định nghĩa cơ sở, số chiều, không gian vecto

S={e1 + e2,,en } là cơ sở của không gian V nếu:

• • S độc lập tuyến tính
  • phần tử x đều được biểu diễn qua S: x= k1e1+k2e2++knen

Khi đó số chiều không gian V=dim V=n= số phần tử

1.1Cơ sở chính tắc

• R3={a,b,c}
  • [a,b,c]=a[1,0,0]+b[0,1,0]+c[0,0,1]
  • S={[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]}
  • dim Rn=n
  • có 3 vecto

• P2={a+bx+cx2}
  • S={1,x,x2}
  • dim Pn=n+1
  • có 3 vecto

1.2 Kiểm tra S có phải là cơ sở của không gian vecto V không

S là cơ nếu nếu thoả mãn 2 điều kiện:

• S độc lập tuyến tính
• dim V= số phần tử S

a. S={[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]}R4

S có 3 phần tử mà dim R4=4 => S không phải là cơ sở

b. S={[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]}R3

số phần tử =dim R3=3

Xét định thức:

=> phụ thuộc tuyến tính

=> S không là sơ sở

c.S={1+x,2-x+3x2,3x-x2}P2

Số phần tử=dim P2=3

Xét định thức:

=> độc lập tuyến tính

=> S là cơ sở

2.Toạ độ không gian vecto

3.Ma trận chuyển cơ sở ST

Ma trận chuyển ST là ma trận toạ độ của T theo S

Ví dụ: Trong không gian R3cho 2 hệ cơ sở

S={ u1[1,1,1], u2[1,0,2], u3[1,2,1]}

T={ v1[2,3,2], v2[-1,1,4], v3[2,1,3]}

Tìm ma trận chuyển từ cơ sở S sang T

Giải

Xét ma trận sau:

Giải hệ phương trình

ta được 3 nghiệm a=1,b=0,c=1

Tương tự xét ma trận

Vậy ma trận cần tìm là

Bài tập cơ sở không gian vecto

1.Giải thích tại sao tập sau có phải là cơ sở vecto của không gian tương ứng không

a. u1[1,2], u2[3,4], u3[5,6] đối với R2

-Không vì cơ sở R2 có 2 vecto

b. u1[1,2,3], u2[3,4,5], u3[4,5,6] đối với R3

-Có vì cơ sở R3 có 3 vecto

c. u1[2,1], u2[3,0] đối với R2

Số phần tử dim R2=2

Xét ma trận bổ sung

det=-30 => độc lập tuyến tính => là sơ sở

Xem thêm:

Đại số và hình giải tích Bài 1: Số phức bài tập và lời giải

Đại số và hình giải tích Bài 2: Ma trận bài tập và lời giải

Đại số và hình giải tích Bài 3: Định thức ma trận bài tập và lời giải

Đại số và hình giải tích Bài 4: Ma trận nghịch đảo bài tập và lời giải

Đại số và hình giải tích Bài 5: Hạng của ma trận bài tập và lời giải

Đại số và hình giải tích Bài 6: Hệ phương trình tuyến tính- bài tập và lời giải

Đại số và hình giải tích Bài 7: Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính bài tập và lời giải

Đại số và hình giải tích Bài 8: Cơ sở không gian vecto bài tập và lời giải

Đại số và hình giải tích Bài 9: Không gian vector con bài tập và lời giải

Đại số và hình giải tích Bài 10: Ánh xạ tuyến tính bài tập và lời giải

Đại số và hình giải tích Bài 11: Giá trị riêng, vector riêng bài tập và lời giải

Đại số và hình giải tích Bài 12: Dạng toàn phương bài tập và lời giải