- LG a
- LG b
Cho hàm số \[f[x] = {\sin ^2}x + cosx\]
LG a
Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn \[\left[ {0;{\pi \over 3}} \right]\] và nghịch biến trên đoạn \[\left[ {{\pi \over 3};\pi } \right]\]
Lời giải chi tiết:
Hàm số liên tục trên đoạn \[\left[ {0;\pi } \right]\]
Ta có:
\[f'[x] = 2\sin x\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x\]
\[ = \sin x[2\cos x - 1],x \in \left[ {0;\pi } \right]\]
Vì khi đó sinx > 0 nên
\[f'[x] = 0 \Leftrightarrow \cos x = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = {\pi \over 3}\]
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên đoạn \[\left[ {0;{\pi \over 3}} \right]\] và nghịch biến trên đoạn \[\left[ {{\pi \over 3};\pi } \right]\]
LG b
Chứng minh rằng với mọi \[m \in \left[ { - 1;1} \right]\], phương trình
\[{\sin ^2}x + cosx = m\]
có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn\[\left[ {0;\pi } \right]\]
Lời giải chi tiết:
+] Hàm số f liên tục trên đoạn \[\left[ {0;{\pi \over 3}} \right]\], \[f\left[ {{\pi \over 3}} \right] = {5 \over 4}\] và \[f[\pi] = -1\].
Theo định lí về giá trị trung bình của hàm số liên tục, với mọi \[m \in \left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ { - 1;{5 \over 4}} \right]\] tồn tại một số thực \[c \in \left[ {{\pi \over 3};\pi } \right]\] sao cho f[c] = 0.
Số c là nghiệm của phương trình trong b].
Vì hàm số f nghịch biến trên \[\left[ {{\pi \over 3};\pi } \right]\]nên trên đoạn này, phương trình có một nghiệm duy nhất.
+] Vì với mọi \[x \in \left[ {0;{\pi \over 3}} \right]\] ta có \[1 \le f[x] \le {5 \over 4}\] nên phương trình đã nêu không có nghiệm \[m \in \left[ { - 1;1} \right]\]
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất thuộc \[\left[ {0;\pi } \right]\]