- LG a
- LG b
Một cách trình bày việc đưa biểu thức\[a\sin x + b\cos x\][a, b là hằng số,\[{a^2} + {b^2} \ne 0\]] về dạng\[C\sin \left[ {x + \alpha } \right]\]nhờ biểu thức toạ độ của tích vô hướng của hai vectơ
Trong mặt phẳng tọa độ gắn với đường tròn lượng giác tâm O gốc A, hãy xét các điểm\[P\left[ {a;b} \right],Q\left[ {b;a} \right],M\left[ {\cos x;\sin x} \right]\]
LG a
Từ công thức\[\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM} = a\sin x + b\cos x\]và
\[\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM} = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\cos \left[ {OQ,QM} \right]\]
Hãy suy ra\[a\sin x + b\cos x = C\cos \left[ {x -\beta } \right]\]trong đó\[\beta \]là số đo của góc lượng giác\[\left[ {OA,OQ} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM} = a\sin x + b\cos x\]
\[\eqalign{
& = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\cos \left[ {OQ,OM} \right] \cr&= \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos [\left[ {OA,OM} \right] - \left[ {OA,OQ} \right]] \cr
& = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos \left[ {\alpha - \beta } \right],\cr&\left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\beta = \left[ {OA,OQ} \right] \cr} \]
LG b
Từ câu a] suy ra rằng \[a\sin x + b\cos x = C\sin \left[ {x + \alpha } \right]\]trong đó\[\alpha \]là số đo của góc lượng giác\[\left[ {OA,OP} \right],C = \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\]
Lời giải chi tiết:
Hai điểm \[P\left[ {a;b} \right]\] và \[Q\left[ {b;a} \right]\] đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ, nên dễ thấy
\[\left[ {OA,OQ} \right] = {\pi \over 2} - \left[ {OA,OP} \right],\] tức là
\[\beta = {\pi \over 2} - \alpha + k2\pi ,k \in Z.\]
Vậy
\[a\sin x + b\cos x = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos \left[ {x - \beta } \right]\]
\[= \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\cos \left[ {x - {\pi \over 2} + \alpha } \right] \]
\[= \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\sin \left[ {x + \alpha } \right]\]