Bài 25 sbt toán 9 tập 2: hình học

Câu 25 trang 11 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

\[a]\left\{ {\matrix{{2x - 11y = - 7} \cr 

{10x + 11y = 31} \cr} } \right.\]

\[b]\left\{ {\matrix{{4x + 7y = 16} \cr 

{4x - 3y = - 24} \cr} } \right.\]

\[c]\left\{ {\matrix{{0,35x + 4y = - 2,6} \cr 

{0,75x - 6y = 9} \cr} } \right.\]

\[d]\left\{ {\matrix{{\sqrt 2 x + 2\sqrt 3 y = 5} \cr 

{4x - 3y = - 24} \cr} } \right.\]

\[e]\left\{ {\matrix{{10x - 9y = 8} \cr 

{15x + 21y = 0,5} \cr} } \right.\]

\[f]\left\{ {\matrix{{3,3x + 4,2y = 1} \cr 

{9x + 14y = 4} \cr} } \right.\]

Giải

a]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{2x - 11y = - 7} \cr {10x + 11y = 31} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{12x = 24} \cr {2x - 11y = - 7} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2} \cr {2.2 - 11y = - 7} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2} \cr { - 11y = - 11} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2} \cr 

{y = 1} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] = [2; 1]

b]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{4x + 7y = 16} \cr {4x - 3y = - 24} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{10y = 40} \cr {4x - 3y = - 24} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 4} \cr {4x - 3.4 = - 24} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 4} \cr {4x = - 12} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 4} \cr 

{x = - 3} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] = [-3; 4]

c]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{0,35x + 4y = - 2,6} \cr {0,75x - 6y = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{1,05x + 12y = - 7,8} \cr {1,5x - 12y = 18} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2,55x = 10,2} \cr {0,75x - 6y = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 4} \cr {0,75.4 - 6y = 9} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 4} \cr { - 6y = 6} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 4} \cr 

{y = - 1} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] = [4; -1]

d]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{\sqrt 2 x + 2\sqrt 3 y = 5} \cr {3\sqrt 2 x - \sqrt 3 y = {9 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\sqrt 2 x + 2\sqrt 3 y = 5} \cr {6\sqrt 2 x - 2\sqrt 3 y = 9} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{7\sqrt 2 x = 14} \cr {\sqrt 2 x + 2\sqrt 3 y = 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = {{14} \over {7\sqrt 2 }}} \cr {\sqrt 2 x + 2\sqrt 3 y = 5} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = \sqrt 2 } \cr {\sqrt 2 .\sqrt 2 + 2\sqrt 3 y = 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = \sqrt 2 } \cr {2\sqrt 3 y = 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = \sqrt 2 } \cr 

{y = {{\sqrt 3 } \over 2}} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] = \[\left[ {\sqrt 2 ;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right]\]

e]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{10x - 9y = 8} \cr {15x + 21y = 0,5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{30x - 27y = 24} \cr {30x + 42y = 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{69y = - 23} \cr {10x - 9y = 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - {1 \over 3}} \cr {10x - 9.\left[ { - {1 \over 3}} \right] = 8} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - {1 \over 3}} \cr {10x = 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - {1 \over 3}} \cr 

{x = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] = \[\left[ {{1 \over 2}; - {1 \over 3}} \right]\]

f]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3,3x + 4,2y = 1} \cr {9x + 14y = 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{33x + 42y = 10} \cr {27x + 42y = 12} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{6x = - 2} \cr {9x + 14y = 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = - {1 \over 3}} \cr {9.\left[ { - {1 \over 3}} \right] + 14y = 4} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = - {1 \over 3}} \cr {14y = 7} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = - {1 \over 3}} \cr 

{y = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] = \[\left[ { - {1 \over 3};{1 \over 2}} \right]\]

Câu 26 trang 11 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau:

\[a]\left\{ {\matrix{{8x - 7y = 5} \cr 

{12x + 13y = - 8} \cr} } \right.\]

\[b]\left\{ {\matrix{{3\sqrt 5 x - 4y = 15 - 2\sqrt 7 } \cr 

{ - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr} } \right.\]

Giải

a]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{8x - 7y = 5} \cr {12x + 13y = - 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{24x - 21y = 15} \cr {24x + 26y = - 16} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{47y = - 31} \cr {8x - 7y = 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - {{31} \over {47}}} \cr {8x - 7.\left[ { - {{31} \over {47}}} \right] = 5} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - {{31} \over {47}}} \cr {8x = 5 - {{217} \over {47}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - {{31} \over {47}}} \cr 

{x = {9 \over {188}}} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] = \[\left[ {{9 \over {188}}; - {{31} \over {47}}} \right]\]

b]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3\sqrt 5 x - 4y = 15 - 2\sqrt 7 } \cr { - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{6\sqrt 5 x - 8y = 30 - 4\sqrt 7 } \cr { - 6\sqrt 5 x + 24\sqrt 7 y = 54} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {24\sqrt 7 - 8} \right]y = 84 - 4\sqrt 7 } \cr { - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = {{4\left[ {21 - \sqrt 7 } \right]} \over {8\left[ {3\sqrt 7 - 1} \right]}}} \cr { - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = {{\left[ {21 - \sqrt 7 } \right]\left[ {3\sqrt 7 + 1} \right]} \over {2.\left[ {9.7 - 1} \right]}}} \cr { - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = {{62\sqrt 7 } \over {2.62}}} \cr { - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = {{\sqrt 7 } \over 2}} \cr { - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 .{{\sqrt 7 } \over 2} = 18} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = {{\sqrt 7 } \over 2}} \cr { - 2\sqrt 5 x = - 10} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = {{\sqrt 7 } \over 2}} \cr {x = {{10} \over {2\sqrt 5 }}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = {{\sqrt 7 } \over 2}} \cr 

{x = \sqrt 5 } \cr} } \right. \cr} \

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] = \left[ {\sqrt 5 ;{{\sqrt 7 } \over 2}} \right]\]

Câu 27 trang 11 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình:

\[a]\left\{ {\matrix{{5\left[ {x + 2y} \right] = 3x - 1} \cr 

{2x + 4 = 3\left[ {x - 5y} \right] - 12} \cr} } \right.\]

\[b]\left\{ {\matrix{{4{x^2} - 5\left[ {y + 1} \right] = {{\left[ {2x - 3} \right]}^2}} \cr 

{3\left[ {7x + 2} \right] = 5\left[ {2y - 1} \right] - 3x} \cr} } \right.\]

\[c]\left\{ {\matrix{{{{2x + 1} \over 4} - {{y - 2} \over 3} = {1 \over {12}}} \cr 

{{{x + 5} \over 2} = {{y + 7} \over 3} - 4} \cr} } \right.\]

\[d]\left\{ {\matrix{{{{3s - 2t} \over 5} + {{5s - 3t} \over 3} = s + 1} \cr 

{{{2s - 3t} \over 3} + {{4s - 3t} \over 2} = t + 1} \cr} } \right.\]

Giải

a]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{5\left[ {x + 2y} \right] = 3x - 1} \cr {2x + 4 = 3\left[ {x - 5y} \right] - 12} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5x + 10y = 3x - 1} \cr {2x + 4 = 3x - 15y - 12} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x + 10y = - 1} \cr {x - 15y = 16} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x + 10y = - 1} \cr {2x - 30y = 32} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{40y = - 33} \cr {x - 15y = 16} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - {{33} \over {40}}} \cr {x - 15.\left[ { - {{33} \over {40}}} \right] = 16} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - {{33} \over {40}}} \cr {x = 16 - {{99} \over 8}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - {{33} \over {40}}} \cr 

{x = {{29} \over 8}} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] = \[\left[ {{{29} \over 8}; - {{33} \over {40}}} \right]\]

b]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{4{x^2} - 5\left[ {y + 1} \right] = {{\left[ {2x - 3} \right]}^2}} \cr {3\left[ {7x + 2} \right] = 5\left[ {2y - 1} \right] - 3x} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{4{x^2} - 5y - 5 = 4{x^2} - 12x + 9} \cr {21x + 6 = 10y - 5 - 3x} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{12x - 5y = 14} \cr {24x - 10y = - 11} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{24x - 10y = 28} \cr {24x - 10y = - 11} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{0x + 0y = 39} \cr 

{24x - 10y = - 11} \cr} } \right. \cr} \]

Phương trình: 0x + 0y = 39 vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{{2x + 1} \over 4} - {{y - 2} \over 3} = {1 \over {12}}} \cr {{{x + 5} \over 2} = {{y + 7} \over 3} - 4} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3\left[ {2x + 1} \right] - 4\left[ {y - 2} \right] = 1} \cr {3\left[ {x + 5} \right] = 2\left[ {y + 7} \right] - 24} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{6x + 3 - 4y + 8 = 1} \cr {3x + 15 = 2y + 14 - 24} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{6x - 4y = - 10} \cr {3x - 2y = - 25} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3x - 2y = - 5} \cr {3x - 2y = - 25} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{0x + 0y = 20} \cr 

{3x - 2y = 25} \cr} } \right. \cr} \]

Phương trình 0x + 0y = 20 vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

d]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{{3s - 3t} \over 5} + {{5s - 3t} \over 3} = s + 1} \cr {{{2s - 3t} \over 3} + {{4s - 3t} \over 2} = t + 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3\left[ {3s - 2t} \right] + 5\left[ {5s - 3t} \right] = 15s + 15} \cr {2\left[ {2s - 3t} \right] + 3\left[ {4s - 3t} \right] = 6t + 6} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{9s - 6t + 25s - 15t = 15s + 15} \cr {4s - 6t + 12s - 9t = 6t + 6} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{19s - 21t = 15} \cr {16s - 21t = 6} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3s = 9} \cr {16s - 21t = 6} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{s = 3} \cr {16.3 - 21t = 6} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{s = 3} \cr {21t = 48 - 6} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{s = 3} \cr 

{t = 2} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [s; t] = [3; 2].

Câu 28 trang 11 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Tìm hai số a và b sao cho 5a – 4b = -5 và đường thẳng ax + by = -1 đi qua điểm A [-7; 4].

Giải

Đường thẳng ax + by = -1 đi qua điểm A [-7; 4] nên tọa độ của A nghiệm đúng phương trình đường thẳng nên -7a + 4b = -1.

Theo bài ra ta có phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{ - 7a + 4b = - 1} \cr {5a - 4b = - 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ - 2a = - 6} \cr {5a - 4b = - 5} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = 3} \cr {5.3 - 4b = - 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = 3} \cr { - 4b = - 20} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = 3} \cr 

{b = 5} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hai ẩn a và b tìm được [a; b] = [3; 5].

Giaibaitap.me

Page 2

Câu 29 trang 11 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Tìm giá trị của a và b để đường thẳng ax – by = 4 đi qua hai điểm A [4; 3], B[-6; -7].

Giải

Đường thẳng ax – by = 4 đi qua A[4; 3] và B[-6; -7] nên tọa độ A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Điểm A: 4a – 3b = 4

Điểm B: - 6a + 7b = 4

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{4a - 3b = 4} \cr { - 6a + 7b = 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{12a - 9b = 12} \cr { - 12a + 14b = 8} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5b = 20} \cr {4a - 3b = 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = 4} \cr {4a - 3.4 = 4} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = 4} \cr {4a = 16} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = 4} \cr 

{a = 4} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hằng số a = 4; b = 4.

Câu 30 trang 11 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau theo hai cách [cách thứ nhất: đưa hệ phương trình về dạng

\[\left\{ {\matrix{{ax + by = c} \cr 

{a'x + b'y = c'} \cr} } \right.\];

cách thứ hai: đặt ẩn phụ, chẳng hạn 3x – 2 = s, 3y + 2 = t]:

\[a]\left\{ {\matrix{{2\left[ {3x - 2} \right] - 4 = 5\left[ {3y + 2} \right]} \cr 

{4\left[ {3x - 2} \right] + 7\left[ {3y + 2} \right] = - 2} \cr} } \right.\]

\[b]\left\{ {\matrix{{3\left[ {x + y} \right] + 5\left[ {x - y} \right] = 12} \cr 

{ - 5\left[ {x + y} \right] + 2\left[ {x - y} \right] = 11} \cr} } \right.\]

Giải

a] Cách 1:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{2\left[ {3x - 2} \right] - 4 = 5\left[ {3y + 2} \right]} \cr {4\left[ {3x - 2} \right] + 7\left[ {3y + 2} \right] = - 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{6x - 4 - 4 = 15y + 10} \cr {12x - 8 + 21y + 14 = - 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{6x - 15y = 18} \cr {12x + 21y = - 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{12x - 30y = 36} \cr {12x + 21y = - 8} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{6x - 15y = 18} \cr {51y = - 44} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x - 5y = 6} \cr {y = - {{44} \over {51}}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x = 6 - {{220} \over {51}}} \cr {y = - {{44} \over {51}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x = {{86} \over {51}}} \cr {y = - {{44} \over {51}}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = {{43} \over {51}}} \cr 

{y = - {{44} \over {51}}} \cr} } \right. \cr} \]

Cách 2: Đặt 3x – 2 = s, 3y + 2 = t ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{2s - 4 = 5t} \cr {4s + 7t = - 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{4s - 10t = 8} \cr {4s + 7t = - 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{17t = - 10} \cr {2s - 5t = 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = - {{10} \over {17}}} \cr {2s - 5t = 4} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = - {{10} \over {17}}} \cr {2s - 5.\left[ { - {{10} \over {17}}} \right] = 4} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = - {{10} \over {17}}} \cr {2s = 4 - {{50} \over {17}}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = - {{10} \over {17}}} \cr 

{s = {9 \over {17}}} \cr} } \right. \cr} \]

Suy ra:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3x - 2 = {9 \over {17}}} \cr {3y + 2 = - {{10} \over {17}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3x = 2 + {9 \over {17}}} \cr {3y = - {{10} \over {17}} - 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3x = {{43} \over {17}}} \cr {3y = - {{44} \over {17}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = {{43} \over {51}}} \cr 

{y = - {{44} \over {51}}} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] = \[\left[ {{{43} \over {51}}; - {{44} \over {51}}} \right]\]

b] Cách 1:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3\left[ {x + y} \right] + 5\left[ {x - y} \right] = 12} \cr { - 5\left[ {x + y} \right] + 2\left[ {x - y} \right] = 11} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3x + 3y + 5x - 5y = 12} \cr { - 5x - 5y + 2x - 2y = 11} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{8x - 2y = 12} \cr { - 3x - 7y = 11} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{4x - y = 6} \cr {3x + 7y = - 11} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{12x - 3y = 18} \cr {12x + 28y = - 44} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{31y = - 62} \cr {4x - y = 6} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - 2} \cr {4x + 2 = 6} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - 2} \cr 

{x = 1} \cr} } \right. \cr} \]

Cách 2: Đặt x + y = s; x – y = t ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3s + 5t = 12} \cr { - 5s + 2t = 11} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{15s + 25t = 60} \cr { - 15s + 6t = 33} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{31t = 93} \cr { - 5s + 2t = 11} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = 3} \cr { - 5s + 2.3 = 11} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = 3} \cr 

{s = - 1} \cr} } \right. \cr} \]

Suy ra:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x + y = - 1} \cr {x - y = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x = 2} \cr {x - y = 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 1} \cr {1 - y = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 1} \cr 

{y = - 2} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] =  [1; -2].

Câu 31 trang 12 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình

\[\left\{ {\matrix{{{{x + 1} \over 3} - {{y + 2} \over 4} = {{2\left[ {x - y} \right]} \over 5}} \cr 

{{{x - 3} \over 4} - {{y - 3} \over 3} = 2y - x} \cr} } \right.\]

cũng là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1.

Giải

Giải hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left[ I \right]\left\{ {\matrix{{{{x + 1} \over 3} - {{y + 2} \over 4} = {{2\left[ {x - y} \right]} \over 5}} \cr {{{x - 3} \over 4} - {{y - 3} \over 3} = 2y - x} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{20x + 20 - 15y - 30 = 24x - 24y} \cr {3x - 9 - 4y + 12 = 24y - 12x} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{4x - 9y = - 10} \cr {15x - 28y = - 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{60x - 135y = - 150} \cr {60x - 112y = - 12} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ - 23y = - 138} \cr {4x - 9y = - 10} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 6} \cr {4x - 9.6 = - 10} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 6} \cr {4x = 44} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 6} \cr 

{x = 11} \cr} } \right. \cr} \]

Cặp [x; y] = [11; 6] là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1

Thay x = 11; y = 6 ta có:

\[33m - 30 = 2m + 1 \Leftrightarrow 31m = 31 \Leftrightarrow m = 1\]

Vậy với m = 1 thì nghiệm của hệ [I] cũng là nghiệm của phương trình:

3mx – 5y = 2m + 1.

Giaibaitap.me

Page 3

Câu 32 trang 12 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Tìm giá trị của m để đường thẳng [d]: \[y = \left[ {2m - 5} \right]x - 5m\] đi qua giao điểm của hai đường thẳng \[\left[ {{d_1}} \right]:2x + 3y = 7\] và \[\left[ {{d_2}} \right]:3x + 2y = 13\]

Giải

Tọa độ giao điểm M của [d1] và [d2] là nghiệm của hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{2x + 3y = 7} \cr {3x + 2y = 13} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{4x + 6y = 14} \cr {9x + 6y = 39} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5x = 25} \cr {3x + 2y = 13} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 5} \cr {3.5 + 2y = 13} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 5} \cr 

{y = - 1} \cr} } \right. \cr} \]

Tọa độ M [5; -1]

Đường thẳng \[\left[ d \right]:y = \left[ {2m - 5} \right]x - 5m\] đi qua M[5; -1] nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trình đường thẳng:

\[\eqalign{& - 1 = \left[ {2m - 5} \right].5 - 5m \Leftrightarrow - 1 = 10m - 25 - 5m \cr 

& \Leftrightarrow 5m = 24 \Leftrightarrow m = 4,8 \cr} \]

Vậy với m = 4,8 thì đường thẳng [d] đi qua giao điểm của [d1] và [d2].

Câu 33 trang 12 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng quy:

\[\eqalign{& \left[ {{d_1}} \right]:5x + 11y = 8 \cr & \left[ {{d_2}} \right]:10x - 7y = 74 \cr 

& \left[ {{d_3}} \right]:4mx + \left[ {2m - 1} \right]y = m + 2 \cr} \]

Giải

Tọa độ giao điểm của [d1] và [d2] là nghiệm của hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{5x + 11y = 8} \cr {10x - 7y = 74} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{10x + 22y = 16} \cr {10x - 7y = 74} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{29y = - 58} \cr {5x + 11y = 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - 2} \cr {5x + 11.\left[ { - 2} \right] = 8} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - 2} \cr {5x = 30} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - 2} \cr 

{x = 6} \cr} } \right. \cr} \]

Tọa độ giao điểm của [d1] và [d2] là [x; y] = [6; -2]

Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng [d3] phải đi qua giao điểm của hai đường thẳng [d1] và [d2] nên cặp [6; -2] nghiệm đúng phương trình đường thẳng [d3].

Thay x = 6; y = -2 ta có:

\[\eqalign{& 24m + \left[ {2m - 1} \right]\left[ { - 2} \right] = m + 2 \cr & \Leftrightarrow 24m - 4m + 2 = m + 2 \cr & \Leftrightarrow 19m = 0 \cr 

& \Leftrightarrow + = 0 \cr} \]

Vậy với m = 0 thì ba đường thẳng [d1], [d2], [d3] đồng quy tại điểm có tọa độ [6; -2].

Câu 34 trang 12 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Nghiệm chung của ba phương trình đã cho được gọi là nghiệm của hệ gồm ba phương trình ấy. Giải hệ phương trình là tìm nghiệm chung của tất cả các phương trình trong hệ. Hãy giải các hệ phương trình sau:

\[a]\left\{ {\matrix{{3x + 5y = 34} \cr {4x - 5y = - 13} \cr 

{5x - 2y = 5} \cr} } \right.\]

\[b]\left\{ {\matrix{{6x - 5y = - 49} \cr { - 3x + 2y = 22} \cr 

{7x + 5y = 10} \cr} } \right.\]

Giải

\[a]\left\{ {\matrix{{3x + 5y = 34} \cr {4x - 5y = - 13} \cr 

{5x - 2y = 5} \cr} } \right.\]

Ta giải hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3x + 5y = 34} \cr {4x - 5y = - 13} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{7x = 21} \cr {4x - 5y = - 13} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 3} \cr {4.3 - 5y = - 13} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 3} \cr { - 5y = - 25} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 3} \cr 

{y = 5} \cr} } \right. \cr} \]

Thay x = 3 và y = 5 vào vế trái phương trình [3]:

\[5.3 - 2.5 = 15 - 10 = 5\]

Vậy cặp nghiệm [x; y] = [3; 5] là nghiệm của phương trình [3].

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] =  [3;5]

\[b]\left\{ {\matrix{{6x - 5y = - 49} \cr { - 3x + 2y = 22} \cr 

{7x + 5y = 10} \cr} } \right.\]

Ta giải hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{6x - 5y = - 49} \cr {7x + 5y = 10} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{13x = - 39} \cr {7x + 5y = 10} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = - 3} \cr {7.\left[ { - 3} \right] + 5y = 10} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = - 3} \cr 

{y = {{31} \over 5}} \cr} } \right. \cr} \]

Thay x = -3; \[y = {{31} \over 5}\] vào vế trái phương trình [2]:

\[ - 3.\left[ { - 3} \right] + 2.{{31} \over 5} = 9 + {{62} \over 5} = {{107} \over 5} \ne 22\]

Vậy cặp \[\left[ {x =  - 3;y = {{31} \over 5}} \right]\] không phải là nghiệm của phương trình [2].

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Giaibaitap.me

Page 4

Câu 4.1 trang 12 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình:

\[a]\left\{ {\matrix{{{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr 

{{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\]

\[b]\left\{ {\matrix{{{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr 

{{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\]

Giải

\[a]\left\{ {\matrix{{{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr 

{{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\]

Đặt \[{1 \over x} = a;{1 \over y} = b.\] Điều kiện: \[x \ne 0;y \ne 0\]

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3a + 5b = - {3 \over 2}} \cr {5a - 2b = {8 \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{6a + 10b = - 3} \cr {15a - 6b = 8} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{30a + 50b = - 15} \cr {30a - 12b = 16} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{62b = - 31} \cr {6a + 10b = - 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = - {1 \over 2}} \cr {6a + 10.\left[ { - {1 \over 2}} \right] = - 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = - {1 \over 2}} \cr {6a = 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = - {1 \over 2}} \cr 

{a = {1 \over 3}} \cr} } \right. \cr} \]

Suy ra:

\[\left\{ {\matrix{{{1 \over x} = {1 \over 3}} \cr {{1 \over y} = - {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 3} \cr 

{y = - 2} \cr} } \right.\]

Hai giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] =  [3; -2]

\[b]\left\{ {\matrix{{{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr 

{{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\]

Đặt \[{1 \over {x + y - 1}} = a;{1 \over {x - y + 1}} = b.\] Điều kiện: \[x + y - 1 \ne 0;x - y + 1 \ne 0\]

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{2a - 4b = - {{14} \over 5}} \cr {3a + 2b = - {{13} \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2a - 4b = - {{14} \over 5}} \cr {6a + 4b = - {{26} \over 5}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{8a = - 8} \cr {3a + 2b = - {{13} \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = - 1} \cr { - 3 + 2b = - {{13} \over 5}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = - 1} \cr 

{b = {1 \over 5}} \cr} } \right. \cr} \]

Suy ra:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{1 \over {x + y - 1}} = - 1} \cr {{1 \over {x - y + 1}} = {1 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x + y - 1 = - 1} \cr {x - y + 1 = 5} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x + y = 0} \cr {x - y = 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x = 4} \cr {x - y = 4} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2} \cr {2 - y = 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2} \cr 

{y = - 2} \cr} } \right. \cr} \]

Hai giá trị x = 2; y = -2 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] =  [2; -2]

Câu 4.2 trang 12 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

a] Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M[-3; 1] và N[1; 2]

b] Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \[M\left[ {\sqrt 2 ;1} \right]\] và \[N\left[ {3;3\sqrt 2  - 1} \right]\]

c] Đồ thị đi qua điểm M[-2; 9] và cắt đường thẳng [d]: 3x – 5y = 1 tại điểm có hoành độ bằng 2.

Giải

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b [a ≠ 0]

a] Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M[-3; 1] và N[1; 2] nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.

Điểm M: 1 = -3a + b

Điểm N: 2 = a + b

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{ - 3a + b = 1} \cr {a + b = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{4a = 1} \cr {a + b = 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = {1 \over 4}} \cr {{1 \over 4} + b = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = {1 \over 4}} \cr 

{b = {7 \over 4}} \cr} } \right. \cr} \]

Hàm số cần tìm: $y = {1 \over 4}x + {7 \over 4}\]

b] Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua \[M\left[ {\sqrt 2 ;1} \right]\] và \[N\left[ {3;3\sqrt 2  - 1} \right]\] nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.

Điểm M: \[1 = a\sqrt 2  + b\]

Điểm N:  \[3\sqrt 2  - 1 = 3a + b\]

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{a\sqrt 2 + b = 1} \cr {3a + b = 3\sqrt 2 - 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {3 - \sqrt 2 } \right]a = 3\sqrt 2 - 2} \cr {a\sqrt 2 + b = 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {3 - \sqrt 2 } \right]a = \sqrt 2 \left[ {3 - \sqrt 2 } \right]} \cr {a\sqrt 2 + b = 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = \sqrt 2 } \cr {{{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^2} + b = 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = \sqrt 2 } \cr {2 + b = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = \sqrt 2 } \cr 

{b = - 1} \cr} } \right. \cr} \]

Hàm số cần tìm: \[y = \sqrt 2 x - 1\]

c] Điểm N nằm trên đường thẳng [d]: 3x – 5y = 1 có hoành độ bằng 2 nên tung độ của N bằng: \[3.2 - 5y = 1 \Leftrightarrow  - 5y =  - 5 \Leftrightarrow y = 1\]

Điểm N[ 2; 1]

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M[-2; 9] và N[2; 1] nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.

Điểm M: 9 = -2a + b

Điểm N: 1 =2a + b

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{ - 2a + b = 9} \cr {2a + b = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2b = 10} \cr {2a + b = 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = 5} \cr {2a + 5 = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = 5} \cr {2a = - 4} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = 5} \cr 

{a = - 2} \cr} } \right. \cr} \]

Hàm số cần tìm là y =  - 2x + 5

Câu 4.3 trang 13 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ {\matrix{{{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr {{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr 

{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr} } \right.\]

Giải

Điều kiện: \[x \ne  - y;y \ne  - z;z \ne  - x\]

Từ hệ phương trình đã cho suy ra: $x \ne 0;y \ne 0;z \ne 0\]

\[\left\{ {\matrix{{{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr {{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr {{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{{x + y} \over {xy}} = {3 \over 2}} \cr {{{y + z} \over {yz}} = {5 \over 6}} \cr {{{z + x} \over {zx}} = {4 \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{1 \over x} + {1 \over y} = {3 \over 2}} \cr {{1 \over y} + {1 \over z} = {5 \over 6}} \cr 

{{1 \over z} + {1 \over x} = {4 \over 3}} \cr} } \right.\]

Đặt \[{1 \over x} = a;{1 \over y} = b;{1 \over z} = c\]

Ta có hệ phương trình:

\[\left\{ {\matrix{{a + b = {3 \over 2}} \cr {b + c = {5 \over 6}} \cr 

{c + a = {4 \over 3}} \cr} } \right.\]

Cộng từng vế ba phương trình ta có:

\[\eqalign{& a + b + b + c + c + a = {3 \over 2} + {5 \over 6} + {4 \over 3} \cr & \Leftrightarrow 2\left[ {a + b + c} \right] = {9 \over 6} + {5 \over 6} + {8 \over 6} \cr & \Leftrightarrow a + b + c = {{11} \over 6} \cr & a = \left[ {a + b + c} \right] - \left[ {b + c} \right] = {{11} \over 6} - {5 \over 6} = 1 \cr & b = \left[ {a + b + c} \right] - \left[ {c + a} \right] = {{11} \over 6} - {4 \over 3} = {{11} \over 6} - {8 \over 6} = {1 \over 2} \cr 

& c = \left[ {a + b + c} \right] - \left[ {a + b} \right] = {{11} \over 6} - {3 \over 2} = {{11} \over 6} - {9 \over 6} = {1 \over 3} \cr} \]

Suy ra:

\[\left\{ {\matrix{{{1 \over x} = 1} \cr {{1 \over y} = {1 \over 2}} \cr {{1 \over z} = {1 \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 1} \cr {y = 2} \cr 

{z = 3} \cr} } \right.\]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y; z] = [1; 2; 3].

Giaibaitap.me

Page 5

Câu 35 trang 13 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Tổng của hai số bằng 59. Hai lần của số này bé hơn ba lần của số kia là 7. Tìm hai số đó.

Giải

Gọi hai số cần tìm là x và y.

Tổng hai số bằng 59. Ta có phương trình: x + y = 59

Hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7, ta có phương trình: 3y – 2x = 7

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x + y = 59} \cr {3y - 2x = 7} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x + 2y = 118} \cr { - 2x + 3y = 7} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5y = 125} \cr {x + y = 59} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 25} \cr {x + 25 = 59} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 25} \cr 

{x = 34} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hai số phải tìm là 34 và 25.

Câu 36 trang 13 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4.

Năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp ba lần tuổi con.

Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi?

Giải

Gọi tuổi mẹ năm nay là x, tuổi con năm nay là y.

Điều kiện: x,y ∈ N*; x > y > 7

Năm nay tuổi mẹ gấp ba lần tuổi con, ta có phương trình: x = 3y

Bảy năm trước tuổi mẹ gấp năm lần tuổi con cộng thêm 4, ta có phương trình:

x – 7 = 5[y – 7 ] + 4

Ta có hệ phương trình: 

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x = 3y} \cr {x - 7 = 5\left[ {y - 7} \right] + 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 3y} \cr {x - 5y = - 24} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 3y} \cr {3y - 5y = - 24} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 3y} \cr {y = 12} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 36} \cr 

{y = 12} \cr} } \right. \cr} \]

x = 36, y = 12 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy hiện nay mẹ 36 tuổi, con 12 tuổi.

Câu 37 trang 13 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho.

Giải

Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y.

Điều kiện: x ∈ N* và x ≤ 9; y ∈ N* và y ≤ 9

Số đã cho \[\overline {xy}  = 10x + y\]; số đổi chỗ \[\overline {yx}  = 10y + x\]

Đổi chỗ hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho 63.

Ta có phương trình: \[\left[ {10y + x} \right] - \left[ {10x + y} \right] = 63\]

Tổng của số mới và số đã cho bằng 99, ta có phương trình:

\[\left[ {10x + y} \right] + \left[ {10y + x} \right] = 99\]

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{\left[ {10y + x} \right] - \left[ {10x + y} \right] = 63} \cr {\left[ {10x + y} \right] + \left[ {10y + x} \right] = 99} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{9y - 9x = 63} \cr {11x + 11y = 99} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ - x + y = 7} \cr {x + y = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2y = 16} \cr {x + y = 9} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 8} \cr {x + 8 = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 8} \cr 

{x + 1} \cr} } \right. \cr} \]

Với x =1; y = 8 thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy số đã cho là 18.

Câu 38 trang 13 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Hai anh Quang và Hùng góp vốn kinh doanh. Anh Quang góp 15 triệu đồng, anh Hùng góp 13 triệu đồng. Sau một thời gian được lãi 7 triệu đồng. Lãi được chia tỉ lệ với vốn đã góp. Em hãy dùng cách giải hệ phương trình tính tiền lãi mà mỗi anh được hưởng.

Giải

Gọi số tiền lãi anh Quang nhận được là x [triệu đồng], anh Hùng nhận được là y [ triệu đồng].

Điều kiện: 0 < x < 7; 0 < y < 7

Số tiền lãi cả hai anh nhận được là 7 triệu đồng , ta có phương trình:

x + y = 7

Vì số tiền lãi tỉ lệ với vốn đã góp, ta có phương trình: \[{x \over {15}} = {y \over {13}}\]

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x + y = 7} \cr {{x \over {15}} = {y \over {13}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x + y = 7} \cr {x = {{15y} \over {13}}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{{15y} \over {13}} + y = 7} \cr {x = {{15y} \over {13}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{15y + 13y = 91} \cr {x = {{15y} \over {13}}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{28y = 91} \cr {x = {{15y} \over {13}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 3,25} \cr {x = {{15.3,25} \over {13}}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 3,25} \cr 

{x = 3,75} \cr} } \right. \cr} \]

Giá trị x = 3,75; y = 3,25 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Anh Quang nhận được 3 750 000 đồng tiền lãi

Anh Hùng nhận được 3 250 000 đồng tiền lãi.

Giaibaitap.me

Page 6

Câu 39 trang 13 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Hôm qua mẹ của Lan đi chợ mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10 000 đồng. Hôm nay mẹ Lan mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt hết 9 600 đồng mà giá trứng vẫn như cũ. Hỏi giá một quả trứng mỗi loại là bao nhiêu?

Giải

Gọi giá của một quả trứng gà là x [đồng]

Giá của một quả trứng vịt là y [đồng].

Điều kiện: x > 0; y > 0

Mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10 000 đồng, ta có phương trình:

5x + 5y = 10 000

Mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt hết 9 600 đồng, ta có phương trình:

3x + 7y = 9 600

Ta có hệ phương trình:

$\eqalign{& \left\{ {\matrix{{5x + 5y = 10000} \cr {3x + 7y = 9600} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x + y = 2000} \cr {3x + 7y = 9600} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3x + 3y = 6000} \cr {3x + 7y = 9600} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{4y = 3600} \cr {x + y = 2000} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 900} \cr {x + 900 = 2000} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 900} \cr 

{x = 1100} \cr} } \right. \cr} \]

x = 1100 và y = 900 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Giá một quả trứng gà là 1100 đồng

Giá một quả trứng vịt là 900 đồng.

Câu 40 trang 13 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m. Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.

Giải

Gọi chiều rộng của sân là x [m]

Chiều dài của sân là y [m].

Điều kiện: 0 < x < 170; 0 < y < 170

Chu vi của sân bằng 340m, ta có phương trình:

\[\left[ {x + y} \right].2 = 340 \Leftrightarrow x + y = 170\]

Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều rộng 20m, ta có phương trình:

3y – 4x = 20

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x + y = 170} \cr {3y - 4x = 20} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{4x - 4y = 680} \cr { - 4x + 3y = 20} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{7y = 700} \cr {x + y = 170} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 100} \cr {x + 100 = 170} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 100} \cr 

{x = 70} \cr} } \right. \cr} \]

Cả hai giá trị x = 70; y = 100 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy chiều rộng của sân 70m, chiều dài sân 100m.

Câu 41 trang 13 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Làm trần tầng một của nhà văn hóa xã phải dùng 30 cây sắt ∅18 [đọc là sắt “phi 18”; tức là đường kính thiết diện cây sắt bằng 18mm] và 350kg sắt ∅8 hết một khoản tiền. Vì trần tầng hai hẹp hơn nên chỉ cần 20 cây sắt ∅18 và 250kg sắt ∅8; do đó chỉ hết một khoản tiền ít hơn khoản tiền lần trước là 1 440 000 đồng. Tính giá tiền của một cây sắt ∅18 và giá tiền 1 kg sắt ∅8, biết rằng giá tiền một cây sắt ∅18 đắt gấp 22 lần giá tiền 1 kg sắt ∅8.

Giải

Gọi giá tiền của 1kg sắt ∅8 là x [đồng] và khoản tiền chi cho tầng I là y đồng.

Điều kiện: x > 0; y > 0 thì giá tiền một cây sắt ∅18 là 22x [đồng]

Tầng I dùng 30 cây sắt ∅18 và 350kg sắt ∅8 hết y đồng, ta có phương trình:

30.22x + 350x = y

Tầng II dùng 20 cây sắt ∅18 và 250kg sắt ∅8 hết ít hơn tầng I là 1440000 đồng, ta có phương trình:

20.22x + 250x =y – 1440000

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{30.22x + 350x = y} \cr {20.22x + 250x = y - 1440000} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{1010x = y} \cr {690x = y - 1440000} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{1010x = y} \cr {690x = 1010x - 1440000} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{1010x = y} \cr {320x = 1440000} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{1010x = y} \cr {x = 1440000:320} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{1010x = y} \cr {x = 4500} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 4545000} \cr 

{x = 4500} \cr} } \right. \cr} \]

x = 4500; y = 4545000 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Giá 1kg sắt ∅8 bằng 4500 đồng

Giá 1 cây sắt ∅18 bằng 99000 đồng.

Câu 42 trang 14 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Trong phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế ba học sinh thì sáu học sinh không có chỗ. Nếu xếp mỗi ghế bốn học sinh thì thừa một ghế. Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh?

Giải

Gọi số ghế trong phòng học là x [ghế]

Số học sinh của lớp là y [học sinh]

Điều kiện: x ∈ N*; y ∈ N*

Nếu mỗi ghế 3 em thì có 6 em không có chỗ, ta có phương trình:

3x + 6 = y

Nếu mỗi ghế 4 học sinh thì thừa 1 ghế, ta có phương trình:

[ x – 1 ]4 = y

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3x + 6 = y} \cr {\left[ {x - 1} \right].4 = y} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3x - y = - 6} \cr {4x - y = 4} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 10} \cr {4x - y = 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 10} \cr 

{y = 36} \cr} } \right. \cr} \]

x = 10 và y = 36 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy phòng học có 10 ghế và lớp có 36 học sinh.

Giaibaitap.me

Page 7

Câu 5.1 trang 15 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Tổng số tuổi của tôi và của em tôi năm nay bằng 26. Khi tổng số tuổi của chúng tôi gấp 5 lần tuổi của tôi hiện nay thì tuổi của tôi khi đó sẽ gấp 3 lần tuổi của em tôi hiện nay. Hãy tính tuổi hiện nay của mỗi người chúng tôi.

Giải

Gọi tuổi của tôi hiện nay là x [tuổi]

Điều kiện: x ∈ N*; 13 < x < 26 thì tuổi hiện nay của em tôi là 26 – x [tuổi]

Gọi số năm phải thêm là y [năm], điều kiện: y ∈ N*

Vì sau y năm tổng tuổi hai anh em gấp 5 lần tuổi tôi hiện nay, ta có phương trình:

\[\left[ {x + y} \right] + \left[ {26 - x + y} \right] = 5x\]

Tuổi của tôi sau y năm gấp 3 lần tuổi em tôi hiện nay, ta có phương trình:

\[x + y = 3\left[ {26 - x} \right]\]

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{\left[ {x + y} \right] + \left[ {26 - x + y} \right] = 5x} \cr {x + y = 3\left[ {26 - x} \right]} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5x - 2y = 26} \cr {4x + y = 78} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5x - 2y = 26} \cr {8x + 2y = 156} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{13x = 182} \cr {4x + y = 78} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 14} \cr {4.14 + y = 78} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 14} \cr 

{y = 22} \cr} } \right. \cr} \]

x = 14; y = 22 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy hiện nay tuổi tôi là 14 tuổi, tuổi em tôi là 26 – 14 = 12 [tuổi]

Câu 5.2 trang 15 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Có hai bến xe khách P và Q. Một người đi xe đạp từ P đến Q với vận tốc không đổi, nhận thấy cứ 15 phút lại có một xe khách đi cùng chiều vượt qua và cứ 10 phút lại gặp một xe khách đi ngược chiều. Giả thiết rằng các xe khách chạy với cùng một vận tốc, không dừng lại trên đường và ở cả hai bến, cứ x phút lại có một xe rời bến. Hỏi thời gian x là bao nhiêu phút và vận tốc xe khách bằng bao nhiêu lần vận tốc người đi xe đạp?

Giải

Gọi vận tốc người đi xe đạp là y [km/phút]

Vận tốc xe khách là z [km/phút]

Điều kiện: z > y > 0

Xét trường hợp các xe khách đi cùng chiều với xe đạp.

Giả sử xe khách thứ nhất vượt xe đạp ở điểm B thì xe khách thứ hai ở điểm A như hình vẽ.

 

Hai xe khởi hành cách nhau x phút nên quãng đường xe khách đi đoạn AB dài xz [km].

Gọi điểm xe khách thứ hai vượt xe đạp là C thì quãng đường BC người đi xe đạp hết 15 phút nên đoạn BC dài là: 15y [km]. Quãng đường AC là quãng đường xe khách đi hết 15 phút nên đoạn AC dài 15z [km].

Ta có phương trình: xz + 15y = 15z

 Xét trường hợp các xe khách đi ngược chiều với xe đạp.

Giả sử người đi xe đạp gặp xe khách thứ nhất tại điểm D thì xe khách thứ hai ở vị trí E như hình vẽ.

Hai xe khách khởi hành cách nhau x phút nên đoạn đường DE xe khách đi dài xz [km]. Sau đó 10 phút xe đạp gặp xe khách thứ hai tại điểm F thì quãng đường hai xe đi bằng đoạn đường DE]

Ta có phương trình:  10y + 10z = xz

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{xz + 15y = 15z} \cr {10y + 10z = xz} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{xz + 15y = 15z} \cr {xz - 10y = 10z} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x + 15{y \over z} = 15} \cr 

{x - 10{y \over z} = 10} \cr} } \right. \cr} \]

Đặt \[{y \over z} = t\] ta có:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x + 15t = 15} \cr {x - 10t = 10} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{25t = 5} \cr {x - 10t = 10} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {1 \over 5}} \cr {x - 10.{1 \over 5} = 10} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {1 \over 5}} \cr 

{x = 12} \cr} } \right. \cr} \]

Suy ra: \[x = 12;{y \over z} = {1 \over 5} \Rightarrow 5y = z\]

Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy cứ 12 phút lại có một chuyến xe khách rời bến và vấn tốc của xe khách gấp 5 lần vận tốc của xe đạp.

Giaibaitap.me

Page 8

Câu 43 trang 14 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ. Thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc]. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn.

Giải

Gọi năng suất lúa trên một ha giống mới là x [ tấn], của lúa giống cũ là y [ tấn].

Điều kiện: x > 0; y > 0

Cả hai loại thu được 460 tấn lúa, ta có phương trình:

60x + 40y = 460

3 ha giống lúa mới thu hoạch ít hơn 4 ha giống lúa cũ 1 tấn, ta có phương trình:

4y – 3x = 1

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{60x + 40y = 460} \cr {4y - 3x = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{6x + 4y = 46} \cr { - 6x + 8y = 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{12y = 48} \cr {4y - 3x = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 4} \cr {4.4 - 3x = 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 4} \cr 

{x = 5} \cr} } \right. \cr} \]

Giá trị x = 5; y = 4 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Năng suất 1 ha giống mới là 5 tấn

Năng suất 1 ha giống cũ là 4 tấn.

Câu 44 trang 14 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong [vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển]. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây được ${3 \over 4}\] bức tường. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xây xong bức tường?

Giải

Gọi thời gian người thứ nhất xây một mình xong công việc là x [ giờ]

Người thứ hai xây một mình xong là y [giờ]

Điều kiện: \[x > 7{1 \over 5};y > 7{1 \over 5}\]

Trong 1 giờ người thứ nhất xây được \[{1 \over x}\] bức tường

Trong 1 giờ người thứ hai xây được \[{1 \over y}\] bức tường

Trong 1 giờ cả hai người xây được \[1:{{36} \over 5} = {5 \over {36}}\] bức tường

Ta có phương trình: \[{1 \over x} + {1 \over y} = {5 \over {36}}\]

Người thứ nhất làm 5 giờ, người thứ hai làm 6 giờ được \[{3 \over 4}\] bức tường, ta có phương trình:

\[{5 \over x} + {6 \over y} = {3 \over 4}\]

Ta có hệ phương trình:

\[\left\{ {\matrix{{{1 \over x} + {1 \over y} = {5 \over {36}}} \cr 

{{5 \over x} + {6 \over y} = {3 \over 4}} \cr} } \right.\]

Đặt \[{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\] ta có:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{a + b = {5 \over {36}}} \cr {5a + 6b = {3 \over 4}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5a + 5b = {{25} \over {36}}} \cr {5a + 6b = {3 \over 4}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = {1 \over {18}}} \cr {a + b = {5 \over {36}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = {1 \over {18}}} \cr 

{a = {1 \over {12}}} \cr} } \right. \cr} \]

Suy ra:

\[\left\{ {\matrix{{{1 \over x} = {1 \over {12}}} \cr {{1 \over y} = {1 \over {18}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 12} \cr 

{y = 18} \cr} } \right.\]

x = 12; y = 18 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Người thứ nhất làm một mình xong trong 12 giờ

Người thứ hai làm một mình xong trong 18 giờ.

Câu 45 trang 14 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong bốn ngày thì xong việc] Nếu người thứ nhất làm một mình trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc]. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc?

Giải

Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng xong công việc là x ngày

Người thứ hai làm riêng xong công việc là y ngày

Điều kiện: x > 4; y > 4

Trong 1 ngày người thứ nhất làm được \[{1 \over x}\] công việc

Trong 1 ngày người thứ hai làm được \[{1 \over y}\] công việc

Trong 1 ngày cả hai người làm được \[1:4 = {1 \over 4}\] công việc

Ta có phương trình: \[{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over 4}\]

Người thứ nhất làm riêng 9 ngày, người thứ hai đến làm chung 1 ngày nữa thì xong, ta có phương trình:

 \[{{10} \over x} + {1 \over y} = 1\]

Ta có hệ phương trình:

\[\left\{ {\matrix{{{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over 4}} \cr 

{{{10} \over x} + {1 \over y} = 1} \cr} } \right.\]

Đặt \[{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\] ta có:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{a + b = {1 \over 4}} \cr {10a + b = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{9a = {3 \over 4}} \cr {a + b = {1 \over 4}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = {1 \over {12}}} \cr {{1 \over {12}} + b = {1 \over 4}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = {1 \over {12}}} \cr 

{b = {1 \over 6}} \cr} } \right. \cr} \]

Suy ra:

\[\left\{ {\matrix{{{1 \over x} = {1 \over {12}}} \cr {{1 \over y} = {1 \over 6}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 12} \cr 

{y = 6} \cr} } \right.\]

x = 12; y = 6 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Người thứ nhất làm riêng xong công việc trong 12 ngày

Người thứ hai làm riêng xong công việc trong 6 ngày.

Câu 46 trang 14 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau 3 giờ có thêm năm cần cẩu bé [công suất bé hơn] cùng làm việc] cả bảy cần cẩu làm việc 3 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc, biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong 4 giờ xong việc]

Giải

Gọi thời gian cần cẩu lớn làm một mình xong công việc là x [giờ]

Thời gian cần cẩu nhỏ làm một mình xong công việc là y [giờ]

Điều kiện: y > x > 12

Trong 1 giờ cần cẩu lớn làm được \[{1 \over x}\] công việc

Trong 1 giờ cần cẩu nhỏ làm được \[{1 \over y}\] công việc

2 cần cẩu lớn làm trong 6 giờ và 5 cần cẩu nhỏ làm 3 giờ thì xong công việc, ta có:

\[{{12} \over x} + {{15} \over y} = 1\]

Trong 1 giờ cả 7 cần cẩu làm được \[1:4 = {1 \over 4}\] công việc, ta có phương trình:

\[{2 \over x} + {5 \over y} = {1 \over 4}\]

Ta có hệ phương trình:

\[\left\{ {\matrix{{{{12} \over x} + {{15} \over y} = 1} \cr 

{{2 \over x} + {5 \over y} = {1 \over 4}} \cr} } \right.\]

Đặt \[{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\] ta có:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{12a + 15b = 1} \cr {2a + 5b = {1 \over 4}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{12a + 15b = 1} \cr {12a + 30b = {3 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{15b = {1 \over 2}} \cr {2a + 5b = {1 \over 4}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = {1 \over {30}}} \cr {2a + 5.{1 \over {30}} = {1 \over 4}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = {1 \over {30}}} \cr 

{a = {1 \over {24}}} \cr} } \right. \cr} \]

Suy ra:  

\[\left\{ {\matrix{{{1 \over x} = {1 \over {24}}} \cr {{1 \over y} = {1 \over {30}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 24} \cr 

{y = 30} \cr} } \right.\]

x = 24; y = 30 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Một cần cẩu loại lớn làm xong công việc trong 24 giờ

Một cần cẩu loại nhỏ làm xong công việc trong 30 giờ.

Giaibaitap.me

Page 9

Câu 47 trang 14 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Bác Toàn đi xe đạp từ thị xã về làng, cô Ba Ngần cũng đi xe đạp, nhưng từ làng lên thị xã. Họ gặp nhau khi bác Toàn đã đi được 1 giờ rưỡi, còn cô Ba Ngần đã đi được 2 giờ. Một lần khác hai người cũng đi từ hai địa điểm như thế nhưng họ khởi hành đồng thời; sau 1 giờ 15 phút họ còn cách nhau 10,5km. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng làng cách thị xã 38km.

Giải

Gọi vận tốc của bác Toàn đi là x [km/h]

Vận tốc cô Ba Ngần đi là y [km/h]

Điều kiện: x > 0; y > 0

Vì hai người đi ngược chiều nhau. Bác Toàn đi 1 giờ 30 phút, cô Ba Ngần đi 2 giờ thì gặp nhau.

Ta có phương trình: 1,5x + 2y = 38

Quãng đường bác Toàn đi trong 1 giờ 15 phút \[ = {5 \over 4}\] giờ là \[{5 \over 4}x\] [km]

Quãng đường cô Ba Ngần đi trong 1 giờ 15 phút \[ = {5 \over 4}\] giờ là \[{5 \over 4}y\] [km]

Hai người còn cách nhau 10,5 km ta có phương trình:

\[{5 \over 4}x + {5 \over 4}y = 38 - 10,5\]

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{1,5x + 2y = 38} \cr {{5 \over 4}x + {5 \over 4}y = 38 - 10,5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3x + 4y = 76} \cr {5x + 5y = 110} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{15x + 20y = 380} \cr {15x + 15y = 330} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5y = 50} \cr {5x + 5y = 110} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 10} \cr {5x + 5.10 = 110} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 10} \cr 

{x = 12} \cr} } \right. \cr} \]

x = 12; y = 10 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Vận tốc của bác Toàn đi là 12 km/h

Vận tốc của cô Ba Ngần đi là 10 km/h.

Câu 48 trang 14 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Ga Sài Gòn cách ga Dầu Giây 65km. Xe khách ở Thành phố Hồ Chí Minh, xe hàng ở Dầu Giây đi ngược chiều nhau và xe khách khởi hành sau xe hàng 36 phút, sau khi xe khách khởi hành 24 phút nó gặp xe hàng. Nếu hai xe khởi hành đồng thời và cùng đi Hà Nội thì sau 13 giờ hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng xe khách đi nhanh hơn xe hàng.

Giải

Gọi vận tốc của xe khách là x [km/h]

Vận tốc xe hàng là y [km/h]

Điều kiện: x > y > 0. Đổi 24 phút \[ = {2 \over 5}\] giờ

Sau khi xe khách đi được \[{2 \over 5}\] giờ thì xe hàng đi được 36 + 24 = 60 phút = 1 giờ

Hai xe đi ngược nhau gặp nhau, ta có phương trình: \[{2 \over 5}x + y = 65\]

Hai xe khởi hành cùng một lúc cùng đi Hà Nội sau 13 giờ gặp nhau, ta có phương trình:

\[13x - 13y = 65\]

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{2 \over 5}x + y = 65} \cr {13x - 13y = 65} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x + 5y = 325} \cr {x - y = 5} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x + 5y = 325} \cr {2x - 2y = 10} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{7y = 315} \cr {x - y = 5} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 45} \cr {x - 45 = 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 45} \cr 

{x = 50} \cr} } \right. \cr} \]

x = 50; y = 45 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Vận tốc của xe khách là 50 km/h

Vận tốc của xe hàng là 45 km/h.

Câu 49 trang 14 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba người thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hai ngày. Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày, biết rằng khả năng lao động của mọi thợ đều như nhau?

Giải

Gọi số thợ cần thiết để làm xong là x [người]

Thời gian dự định để làm xong là y [ngày]

Điều kiện: x ∈ N*, y > 0

Số ngày công để hoàn thành công việc là xy [ngày]

Nếu giảm 3 người thì thời gian tăng thêm 6 ngày, ta có phương trình:

\[\left[ {x - 3} \right]\left[ {y + 6} \right] = xy\]

Nếu tăng 2 người thì thời gian làm giảm 2 ngày, ta có phương trình:

\[\left[ {x + 2} \right]\left[ {y - 2} \right] = xy\]

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{\left[ {x - 3} \right]\left[ {y + 6} \right] = xy} \cr {\left[ {x + 2} \right]\left[ {y - 2} \right] = xy} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{xy + 6x - 3y - 18 = xy} \cr {xy - 2x + 2y - 4 = xy} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x - y = 6} \cr { - x + y = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 8} \cr { - x + y = 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 8} \cr 

{y = 10} \cr} } \right. \cr} \]

x = 8; y = 10 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy cần có 8 người thợ làm trong 10 ngày.

Câu 50 trang 15 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho hình vuông ABCD cạnh y [cm]. Điểm E thuộc cạnh AB. Điểm G thuộc tia AD sao cho $AG = AD + {3 \over 2}EB.\]. Dựng hình chữ nhật GAEF. Đặt EB = 2x [cm]. Tính x và y để diện tích của hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông và ngũ giác ABCFG có chu vi bằng $100 + 4\sqrt {13} \] [cm]

Giải

Theo giả thiết ta có: EB = 2x [cm]

Điều kiện: y > 2x > 0

AE = AB – EB = y – 2x [cm]

AG = AD + DG \[ = y + {3 \over 2}EB = y + {3 \over 2}.2x = y + 3x\] [cm]

Diện tích hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông, ta có phương trình:

\[\left[ {y - 2x} \right]\left[ {y + 3x} \right] = {y^2}\]

Mặt khác theo định lí Pitago ta có:

\[FC = \sqrt {E{B^2} + D{G^2}}  = \sqrt {4{x^2} + 9{x^2}}  = x\sqrt {13} \] [cm]

Chu vi của ngũ giác ABCFG bằng: 

\[\eqalign{& AB + BC + CF + FG + GA \cr & = AB + BC + CF + FG + GD + AD \cr & = y + y + x\sqrt {13} + y - 2x + 3x + y \cr 

& = x\left[ {1 + \sqrt {13} } \right] + 4y \cr} \]

Chu vi ngũ giác bằng \[100 + 4\sqrt {13} \] [cm], ta có phương trình:

\[x\left[ {1 + \sqrt {13} } \right] + 4y = 100 + 4\sqrt {13} \]

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{\left[ {y - 2x} \right]\left[ {y + 3x} \right] = {y^2}} \cr {x\left[ {1 + \sqrt {13} } \right] + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{y^2} + 3xy - 2xy - 6{x^2} = {y^2}} \cr {\left[ {1 + \sqrt {13} } \right]x + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{xy - 6{x^2} = 0} \cr {\left[ {1 + \sqrt {13} } \right]x + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x\left[ {y - 6x} \right] = 0} \cr {\left[ {1 + \sqrt {13} } \right]x + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y - 6x = 0} \cr {\left[ {1 + \sqrt {13} } \right]x + 4y = 100 + 4\sqrt {13} } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 6x} \cr {\left[ {1 + \sqrt {13} } \right]x + 4.6x = 100 + 4\sqrt {13} } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 6x} \cr {\left[ {25 + \sqrt {13} } \right]x = 100 + 4\sqrt {13} } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 6x} \cr {x = {{4\left[ {25 + \sqrt {13} } \right]} \over {25 + \sqrt {13} }}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 6x} \cr {x = 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 24} \cr 

{x = 4} \cr} } \right. \cr} \]

Giá trị x = 4 và y = 24 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy x = 4 [cm]; y = 24 [cm].

Giaibaitap.me

Page 10

Câu 51 trang 15 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau:

\[a]\left\{ {\matrix{{4x + y = - 5} \cr 

{3x - 2y = - 12} \cr} } \right.\]

\[b]\left\{ {\matrix{{x + 3y = 4y - x + 5} \cr 

{2x - y = 3x - 2\left[ {y + 1} \right]} \cr} } \right.\]

\[c]\left\{ {\matrix{{3\left[ {x + y} \right] + 9 = 2\left[ {x - y} \right]} \cr 

{2\left[ {x + y} \right] = 3\left[ {x - y} \right] - 11} \cr} } \right.\]

\[d]\left\{ {\matrix{{2\left[ {x + 3} \right] = 3\left[ {y + 1} \right] + 1} \cr 

{3\left[ {x - y + 1} \right] = 2\left[ {x - 2} \right] + 3} \cr} } \right.\]

Giải

a]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{4x + y = - 5} \cr {3x - 2y = - 12} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{8x + 2y = - 10} \cr {3x - 2y = - 12} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{11x = - 22} \cr {4x + y = - 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = - 2} \cr {4.\left[ { - 2} \right] + y = - 5} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = - 2} \cr 

{y = 3} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] =  [-2; 3]

b]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x + 3y = 4y - x + 5} \cr {2x - y = 3x - 2\left[ {y + 1} \right]} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x - y = 5} \cr {x - y = 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 3} \cr {3 - y = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 3} \cr 

{y = 1} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] =  [3; 1]

c]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3\left[ {x + y} \right] + 9 = 2\left[ {x - y} \right]} \cr {2\left[ {x + y} \right] = 3\left[ {x - y} \right] - 11} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3x + 3y + 9 = 2x - 2y} \cr {2x + 2y = 3x - 3y - 11} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x + 5y = - 9} \cr {x - 5y = 11} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x = 2} \cr {x - 5y = 11} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 1} \cr {1 - 5y = 11} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 1} \cr 

{y = - 2} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] =  [1; -2]

d]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{2\left[ {x + 3} \right] = 3\left[ {y + 1} \right] + 1} \cr {3\left[ {x - y + 1} \right] = 2\left[ {x - 2} \right] + 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x + 6 = 3y + 3 + 1} \cr {3x - 3y + 3 = 2x - 4 + 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x - 3y = - 2} \cr {x - 3y = - 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2} \cr {2 - 3y = - 4} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2} \cr 

{y = 2} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] =  [2; 2].

Câu 52 trang 15 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau:

\[a]\left\{ {\matrix{{\sqrt 3 x - 2\sqrt 2 y = 7} \cr 

{\sqrt 2 x + 3\sqrt 3 y = - 2\sqrt 6 } \cr} } \right.\]

\[b]\left\{ {\matrix{{\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]x - \left[ {2 - \sqrt 3 } \right]y = 2} \cr 

{\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]x + \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y = 2} \cr} } \right.\]

Giải

a]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{\sqrt 3 x - 2\sqrt 2 y = 7} \cr {\sqrt 2 x + 3\sqrt 3 y = - 2\sqrt 6 } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\sqrt 6 x - 4y = 7\sqrt 2 } \cr {\sqrt 6 x + 9y = - 6\sqrt 2 } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{13y = - 13\sqrt 2 } \cr {\sqrt 3 x - 2\sqrt 2 y = 7} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - \sqrt 2 } \cr {\sqrt 3 x - 2\sqrt 2 .\left[ { - \sqrt 2 } \right] = 7} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - \sqrt 2 } \cr {\sqrt 3 x = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = - \sqrt 2 } \cr 

{x = \sqrt 3 } \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] = \[\left[ {\sqrt 3 ; - \sqrt 2 } \right]\]

b]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]x - \left[ {2 - \sqrt 3 } \right]y = 2} \cr {\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]x + \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y = 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]x - \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]y = 2\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]} \cr {\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]x + \left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y = 2\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x - \left[ {\sqrt 2 - 1} \right]\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]y = 2\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]} \cr {x + \left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y = 2\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x = 2\sqrt 2 - 2 + 4 - 2\sqrt 3 } \cr {x + \left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y = 2\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = \sqrt 2 + 1 - \sqrt 3 } \cr {\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]y = 4 - 2\sqrt 3 - \sqrt 2 - 1 + \sqrt 3 } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = \sqrt 2 + 1 - \sqrt 3 } \cr {y = {{3 - \sqrt 2 - \sqrt 3 } \over {\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]}}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = \sqrt 2 + 1 - \sqrt 3 } \cr {y = {{\left[ {3 - \sqrt 2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]} \over {\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]}}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = \sqrt 2 + 1 - \sqrt 3 } \cr {y = {{\left[ {3 - \sqrt 2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {2\sqrt 2 + \sqrt 6 + 2 + \sqrt 3 } \right]} \over {\left[ {4 - 3} \right]\left[ {2 - 1} \right]}}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = \sqrt 2 + 1 - \sqrt 3 } \cr 

{y = \sqrt 2 - 1 - \sqrt 3 } \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] = \[\left[ {\sqrt 2  + 1 - \sqrt 3 ;\sqrt 2  - 1 - \sqrt 3 } \right]\]

Câu 53 trang 15 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Tìm các giá trị của a và b để hệ phương trình:

\[\left\{ {\matrix{{ax + by = 3} \cr 

{2ax - 3by = 36} \cr} } \right.\]

có nghiệm là [3; -2].

Giải

Cặp [x; y] = [3; -2] là nghiệm của hệ phương trình ta có:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3a - 2b = 3} \cr {6a + 6b = 36} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3a - 2b = 3} \cr {2a + 2b = 12} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5a = 15} \cr {3a - 2b = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = 3} \cr {3.3 - 2b = 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = 3} \cr 

{b = 3} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hằng số a = 3; b = 3.

Câu 54 trang 15 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Tìm một số có hai chữ số biết rằng 2 lần chữ số hàng chục lớn hơn 5 lần chữ số hàng đơn vị là 1 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là 2 và dư cũng là 2.

Giải

Gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y.

Điều kiện: x, y ∈ N*; 0 < x ≤ 9; 0 < y ≤ 9

Hai lần chữ số hàng chục hơn năm lần chữ số hàng đơn vị là 1.

Ta có phương trình: 2x – 5y = 1

Chữ số hàng chục chia cho chữ số hằng đơn vị được thương là 2 dư 2 ta có phương trình:

x = 2y + 2

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{2x - 5y = 1} \cr {x = 2y + 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x - 5y = 1} \cr {2x - 4y = 4} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 3} \cr {x = 2y + 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 3} \cr 

{x = 8} \cr} } \right. \cr} \]

x = 8; y = 3 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy số cần tìm là 83.

Giaibaitap.me

Page 11

Câu 55 trang 16 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Một xe lửa phải vận chuyển một lượng hàng. Nếu xếp vào mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa lại 3 tấn, nếu xếp vào mỗi toa 16 tấn thì còn có thể chở thêm 5 tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng?

Giải

Gọi số hàng cần chuyển là x [tấn]

Số toa tàu để chở là y.

Điều kiện: x > 3 và y ∈ N*.

Xếp vào mỗi toa 15 tấn còn dư 3 tấn, ta có phương trình:

15y = x – 3

Xếp vào mỗi toa 16 tấn thì còn chở thêm được 5 tấn, ta có phương trình:

16y = x + 5

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{15y = x - 3} \cr {16y = x + 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 8} \cr {16.8 = x + 5} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 8} \cr 

{x = 123} \cr} } \right. \cr} \]

Giá trị x = 123, y = 8 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Xe lửa có 8 toa và lượng hàng cần chở là 123 tấn.

Câu 56 trang 16 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong 12 ngày xong việc. Nhưng hai đội chỉ cùng làm trong 8 ngày. Sau đó đội thứ nhất làm tiếp một mình trong 7 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc.

Giải

Gọi thời gian làm riêng xong công việc của đội thứ nhất là x [ngày]

Thời gian làm riêng xong công việc của đội thứ hai là y [ngày]

Điều kiện: x > 12; y > 12

Trong 1 ngày đội thứ nhất làm được \[{1 \over x}\] công việc

Trong 1 ngày đội thứ hai làm được \[{1 \over y}\] công việc

Trong 1 ngày cả hai đội làm được \[{1 \over 12}\] công việc

Ta có phương trình: \[{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over {12}}\]

Hai đội làm chung 8 ngày, đội thứ nhất làm tiếp 7 ngày nữa thì xong công việc, ta có phương trình:

\[{8 \over {12}} + {7 \over x} = 1 \Leftrightarrow {2 \over 3} + {7 \over x} = 1\]

Ta có hệ phương trình:

\[\left\{ {\matrix{{{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over {12}}} \cr 

{{2 \over 3} + {7 \over x} = 1} \cr} } \right.\]

Đặt \[{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\] ta có:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{a + b = {1 \over {12}}} \cr {{2 \over 3} + 7a = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a + b = {1 \over {12}}} \cr {a = {1 \over {21}}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{1 \over {21}} + b = {1 \over {12}}} \cr {a = {1 \over {21}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = {1 \over {28}}} \cr 

{a = {1 \over {21}}} \cr} } \right. \cr} \]

Suy ra: 

\[\left\{ {\matrix{{{1 \over x} = {1 \over {21}}} \cr {{1 \over y} = {1 \over {28}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 21} \cr 

{y = 28} \cr} } \right.\]

x = 21; y = 28 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Đội thứ nhất làm riêng xong công việc trong 21 ngày

Đội thứ hai làm riêng xong công việc trong 28 ngày.

Câu 57 trang 16 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750km và đi ngược chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe thứ hai đi được 8 giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe.

Giải

Gọi vận tốc xe thứ nhất là x [km/h]

Xe thứ hai là y [km/h]

Điều kiện: x > 0; y > 0

Hai xe khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau thì sau 10 giờ gặp nhau, ta có phương trình:

10x + 10y = 750

Xe thứ nhất đi trước 3 giờ 45 phút, xe thứ hai đi được 8 giờ thì gặp nhau như vậy thời gian đi xe thứ nhất là 11 giờ 45 phút \[ = {{47} \over 4}\] giờ.

Ta có phương trình: \[{{47} \over 4}.x + 8y = 750\]  

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{10x + 10y = 750} \cr {{{47} \over 4}x + 8y = 750} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x + y = 75} \cr {47x + 32y = 3000} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 75 - x} \cr {47x + 32\left[ {75 - x} \right] = 3000} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 75 - x} \cr {47x - 32x = 3000 - 2400} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 75 - x} \cr {15x = 600} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 75 - x} \cr {x = 40} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 35} \cr 

{x = 40} \cr} } \right. \cr} \]

x = 40; y = 35 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Vận tốc xe thứ nhất là 40 km/h

Vận tốc xe thứ hai là 35 km/h.

Giaibaitap.me

Page 12

Câu III.1 trang 16 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình:

\[a]\left\{ {\matrix{{\left[ {x + 3} \right]\left[ {y + 5} \right] = \left[ {x + 1} \right]\left[ {y + 8} \right]} \cr 

{\left[ {2x - 3} \right]\left[ {5y + 7} \right] = 2\left[ {5x - 6} \right]\left[ {y + 1} \right]} \cr} } \right.\]

\[b]\left\{ {\matrix{{{{2x - 3} \over {2y - 5}} = {{3x + 1} \over {3y - 4}}} \cr 

{2\left[ {x - 3} \right] - 3\left[ {y + 2} \right] = - 16} \cr} } \right.\]

Giải

a]

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{\left[ {x + 3} \right]\left[ {y + 5} \right] = \left[ {x + 1} \right]\left[ {y + 8} \right]} \cr {\left[ {2x - 3} \right]\left[ {5y + 7} \right] = 2\left[ {5x - 6} \right]\left[ {y + 1} \right]} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{xy + 5x + 3y + 15 = xy + 8x + y + 8} \cr {10xy + 14x - 15y - 21 = 10xy + 10x - 12y - 12} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3x - 2y = 7} \cr {4x - 3y = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{9x - 6y = 21} \cr {8x - 6y = 18} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 3} \cr {4x - 3y = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 3} \cr {4.3 - 3y = 9} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 3} \cr 

{y = 1} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] =  [3; 1]

b]

\[\left\{ {\matrix{{{{2x - 3} \over {2y - 5}} = {{3x + 1} \over {3y - 4}}} \cr 

{2\left[ {x - 3} \right] - 3\left[ {y + 2} \right] = - 16} \cr} } \right.\]

Điều kiện: \[y \ne 2,5;y \ne {4 \over 3}\]

\[\eqalign{& \Rightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {2x - 3} \right]\left[ {3y - 4} \right] = \left[ {3x + 1} \right]\left[ {2y - 5} \right]} \cr {2x - 6 - 3y - 6 = - 16} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{6xy - 8x - 9y + 12 = 6xy - 15x + 2y - 5} \cr {2x - 3y = - 4} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{7x - 11y = - 17} \cr {2x - 3y = - 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{14x - 22y = - 34} \cr {14x - 21y = - 28} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 6} \cr {2x - 3y = - 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 6} \cr {2x - 3.6 = - 4} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 6} \cr 

{x = 7} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm [x; y] =  [7; 6]

Câu III.2 trang 16 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Năm nay người ta áp dụng kĩ thuật mới trên hai cánh đồng trồng lúa ở ấp Minh Châu. Vì thế lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai lượng lúa thu được tăng 20%. Tổng cộng cả hai cánh đồng thu được 630 tấn. Hỏi trên mỗi cánh đồng năm nay thu được bao nhiêu lúa, biết rằng trên cả hai cánh đồng này năm ngoái chỉ thu được 500 tấn?

Giải

Gọi khối lượng lúa thu được năm ngoái của cánh đồng thứ nhất là x [tấn]

Cánh đồng thứ hai thu được là y [tấn]

Điều kiện: x > 0; y > 0

Năm ngoái cả hai cánh đồng thu được là 500 tấn, ta có phương trình:

x + y = 500

Số lượng lúa cánh đồng thứ nhất năm nay tăng 30% bằng \[{3 \over {10}}x\] [tấn]

Lượng lúa cánh đồng thứ hai tăng 20% bằng \[{2 \over {10}}y\] [tấn]

Năm nay cả 2 cánh đồng tăng được 630 – 500 = 130 tấn, ta có phương trình:

\[{3 \over {10}}x + {2 \over {10}}y = 130\]

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x + y = 500} \cr {{3 \over {10}}x + {2 \over {10}}y = 130} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x + y = 500} \cr {3x + 2y = 1300} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x + 2y = 1000} \cr {3x + 2y = 1300} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 300} \cr {x + y = 500} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 300} \cr 

{y = 200} \cr} } \right. \cr} \]

Giá trị x = 300; y = 200 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy năm nay thuở ruộng thứ nhất thu được: \[300 + 300.{{30} \over {100}} = 390\] tấn

Thuở ruộng thứ hai năm nay thu được: 630 – 390 = 240 tấn

Câu III.3 trang 16 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Người ta trộn hai loại quặng sắt với nhau, một loại chứa 72% sắt, loại thứ hai chứa 58% sắt được một loại quặng chứa 62% sắt. Nếu tăng khối lượng của mỗi loại quặng thêm 15 tấn thì được một loại quặng chứa 63,25% sắt. Tìm khối lượng quặng của mỗi loại đã trộn.

Giải

Gọi khối lượng quặng loại thứ nhất là x [ tấn], loại thứ hai là y [tấn]

Điều kiện: x > 0; y > 0

Lượng sắt nguyên chất có trong mỗi loại quặng bằng lượng sắt có trong hỗn hợp ta có phương trình:

\[{{72} \over {100}}x + {{58} \over {100}}y = {{62} \over {100}}\left[ {x + y} \right]\]

Thêm mỗi loại quặng 15 tấn ta được hỗn hợp chứa 63,25% sắt, ta có phương trình:

\[{{72} \over {100}}\left[ {x + 15} \right] + {{58} \over {100}}\left[ {y + 15} \right] = {{63,25} \over {100}}\left[ {x + y + 30} \right]\]

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{{72} \over {100}}x + {{58} \over {100}}y = {{62} \over {100}}\left[ {x + y} \right]} \cr {{{72} \over {100}}\left[ {x + 15} \right] + {{58} \over {100}}\left[ {y + 15} \right] = {{63,25} \over {100}}\left[ {x + y + 30} \right]} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{72x + 58y = 62\left[ {x + y} \right]} \cr {72\left[ {x + 15} \right] + 58\left[ {y + 15} \right] = 63,25\left[ {x + y + 30} \right]} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{10x - 4y = 0} \cr {72x + 1080 + 58y + 870 = 63,25x + 63,25y + 1897,5} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5x - 2y = 0} \cr {8,75x - 5,25y = - 52,5} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5x - 2y = 0} \cr {5x - 3y = - 30} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 30} \cr {5x - 2y = 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = 30} \cr 

{x = 12} \cr} } \right. \cr} \]

Cả hai giá trị x = 12; y = 30 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy loại quặng thứ nhất có 12 tấn, loại quặng thứ hai có 30 tấn.

Câu III.4 trang 16 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Một người đi ngựa và một người đi bộ đều đi từ bản A đến bản B. Người đi ngựa đến B trước người đi bộ 50 phút rồi lập tức quay trở về A và gặp người đi bộ tại một địa điểm cách B là 2km. Trên cả quãng đường từ A đến B và ngược lại, người đi ngựa đi hết 1 giờ 40 phút. Hãy tính khoảng cách AB và vận tốc của mỗi người.

Giải

Gọi khoảng cách giữa hai bản A và B là x [km]

Vận tốc của người đi bộ là y [km/h]

Điều kiện: x > 0; y > 0

Người đi ngựa cả đi và về hết 1 giờ 40 phút \[ = {5 \over 3}\] giờ nên người đi ngựa đi từ A đến B hết \[{5 \over 3}:2 = {5 \over 6}\] giờ.

Vận tốc của người đi ngựa bằng \[x:{5 \over 6} = {6 \over 5}x\] [km/h]

Thời gian người đi bộ đi hết quãng đường AB là \[{x \over y}\] giờ

Người đi ngựa đến trước 50 phút \[ = {5 \over 6}\] giờ, ta có phương trình:

\[{x \over y} - {5 \over 6} = {5 \over 6} \Leftrightarrow 3x = 5y\]         [1]

Từ [1] ⇒ \[6x = 10y \Leftrightarrow {6 \over 5}x = 2y.\] Điều này có nghĩa là vận tốc người đi ngựa gấp đôi người đi bộ nên vận tốc người đi ngựa là 2y [km/h].

Từ lúc đi đến lúc gặp nhau người đi bộ đi được x – 2 [km], người đi ngựa đi được x + 2 [km].

Vì từ lúc đi đến lúc gặp thời gian hai người bằng nhau, ta có phương trình:

\[\eqalign{& {{x - 2} \over y} = {{x + 2} \over {2y}} \cr 

& \Leftrightarrow 2x - 4 = x + 2 \cr} \]

Ta có hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3x = 5y} \cr {2x - 4 = x + 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3x = 5y} \cr {x = 6} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3.6 = 5y} \cr {x = 6} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x = 6} \cr 

{y = 3,6} \cr} } \right. \cr} \]

x = 6 và y = 3,6 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy khoảng cách giữa hai bản là 6km

Vận tốc người đi bộ là 3,6 km/h

Vận tốc người đi ngựa là 7,2 km/h

Giaibaitap.me

Page 13

Câu 1 trang 46 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Biết rằng hình lập phương có sáu mặt đều là hình vuông. Giả sử x là độ dài của cạnh hình lập phương.

a] Biểu diễn diện tích toàn phần S [tức là tổng diện tích của sáu mặt] của hình lập phương qua x.

b] Tính các giá trị của S ứng với các giá trị của x cho trong bảng dưới đây rồi điền vào các ô trống.

x	\[{1 \over 3}\]	\[{1 \over 2}\]	1	\[{3 \over 2}\]	2	3
S

c] Nhận xét sự tăng, giảm của S khi x tăng.

d] Khi S giảm đi 16 lần thì cạnh x tăng hay giảm bao nhiêu lần?

e] Tính cạnh của hình lập phương: khi S = \[{{27} \over 2}c{m^2}\]; khi S = \[5c{m^2}\]

Giải

a] Hình lập phương 6 mặt đều là hình vuông, diện tích mỗi mặt bằng \[{x^2}\]

Diện tích toàn phần: \[S = 6{x^2}.\]

b] 

x	\[{1 \over 3}\]	\[{1 \over 2}\]	1	\[{3 \over 2}\]	2	3
S	\[{2 \over 3}\]	\[{3 \over 2}\]	6	\[{{27} \over 2}\]	24	54

c] Khi giá trị của x tăng thì giá trị của S tăng.

d] Khi S giảm đi 16 lần, gọi giá trị của nó lúc đó là S’ và cạnh hình lập phương là x’.

Ta có: \[S' = 6x{'^2}\]                          [1]

\[S = {S \over {16}} = {{6{x^2}} \over {16}} = 6.{{{x^2}} \over {16}} = 6.{\left[ {{x \over 4}} \right]^2}\]                 [2]

Từ [1] và [2] suy ra: \[x{'^2} = {\left[ {{x \over 4}} \right]^2} \Rightarrow x' = {x \over 4}\]

Vậy cạnh của hình vuông giảm đi 4 lần.

e] Khi S = \[{{27} \over 2}[c{m^2}]\]

Ta có: \[6{x^2} = {{27} \over 2} \Rightarrow {x^2} = {{27} \over 2}:6 = {9 \over 4}\]

Vì x > 0 suy ra: \[x = {3 \over 2}\] [cm]

Khi S = 5cm2

\[\eqalign{& \Rightarrow 6{x^2} = 5 \cr 

& \Leftrightarrow {x^2} = {5 \over 6} \cr} \]

\[ \Leftrightarrow x = \sqrt {{5 \over 6}} \] [vì x > 0]

\[ \Rightarrow x = {1 \over 6}\sqrt {30} \] [cm].

Câu 2 trang 46 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho hàm số \[y = 3{x^2}\]

a] Lập bảng tính các giá trị của y ứng với các giá trị của x lần lượt bằng: \[ - 2; - 1; - {1 \over 3};0;{1 \over 3};1;2\]

b] Trên mặt phẳng tọa độ xác định các điểm mà hoành độ là giá trị của x còn tung độ là giá trị tương ứng của y đã tìm ở câu a, [chẳng hạn, điểm \[A\left[ { - {1 \over 3};{1 \over 3}} \right]\]

Giải

a]

x	-2	-1	\[ - {1 \over 3}\]	0	\[{1 \over 3}\]	1	2
\[y = 3{x^2}\]	12	3	\[{1 \over 3}\]	0	\[{1 \over 3}\]	3	12

b] Hình vẽ sau.

 

Câu 3 trang 46 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho hàm số \[y =  - 3{x^2}.\]

a] Lập bảng tính các giá trị của y ứng với các giá trị của x lần lượt bằng: \[ - 2; - 1; - {1 \over 3};0;{1 \over 3};1;2\]

b] Trên mặt phẳng tọa độ xác định các điểm mà hoành độ là giá trị của x còn tung độ là giá trị tương ứng của y đã tìm ở câu a, [chẳng hạn, điểm \[A\left[ { - {1 \over 3};{1 \over 3}} \right]\]]

Giải

a]

x	-2	-1	\[ - {1 \over 3}\]	0	\[{1 \over 3}\]	1	2
\[y =  - 3{x^2}\]	-12	-3	\[ - {1 \over 3}\]	0	\[{1 \over 3}\]	-3	-12

b] Hình vẽ sau.

Giaibaitap.me

Page 14

Câu 4 trang 47 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho hàm số \[y = f\left[ x \right] =  - 1,5{x^2}\]

a] Hãy tính \[f\left[ 1 \right],f\left[ 2 \right],f\left[ 3 \right]\] rồi sắp xếp ba giá trị này theo thứ tự từ lớn đến bé.

b] Tính \[f\left[ { - 3} \right],f\left[ { - 2} \right],f\left[ { - 1} \right]\] rồi sắp xếp ba số này theo thứ tự từ bé đến lớn.

c] Phát biểu nhận xét của em về sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số này khi x > 0; khi x < 0.

Giải

a]

\[\eqalign{& f\left[ 1 \right] = - 1,{5.1^2} = - 1,5 \cr & f\left[ 2 \right] = - 1,{5.2^2} = - 6 \cr 

& f\left[ 3 \right] = - 1,{5.3^2} = - 13,5 \cr} \]

Ta có: \[f\left[ 1 \right] > f\left[ 2 \right] > f\left[ 3 \right]\]

b] \[f\left[ { - 3} \right] =  - 1,5.{\left[ { - 3} \right]^2} =  - 13,5\]

\[\eqalign{& f\left[ { - 2} \right] = - 1,5.{\left[ { - 2} \right]^2} = - 6 \cr 

& f\left[ { - 1} \right] = - 1,5.{\left[ { - 1} \right]^2} = - 1,5 \cr} \]

Ta có: \[f\left[ { - 3} \right] < f\left[ { - 2} \right] < f\left[ { - 1} \right]\]

c] Hàm số \[y = f\left[ x \right] =  - 1,5{x^2}\] có hệ số \[a =  - 1,5 < 0\]

Hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

Câu 5 trang 47 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Đố. Một hòn bi lăn trên một mặt nghiêng. Đoạn đường đi được liên hệ với thời gian bởi công thức \[y = a{t^2}\], t tính bằng giây, y tính bằng mét. Kết quả kiểm nghiệm được cho bởi bảng sau:

t	0	1	2	3	4	5	6
y	0	0,24	1		4

a] Biết rằng chỉ có một lần đo không cẩn thận, hãy xác định hệ số a và đố em biết lần đo nào không cẩn thận.

b] Có một thời điểm dừng hòn bi lại nhưng quên không tính thời gian, tuy nhiên đo được đoạn đường đi được của hòn bi [kể từ điểm xuất phát đến điểm dừng] là 6,25m. Đố em biết lần ấy hòn bi đã lăn bao lâu?

c] Hãy điền tiếp vào các ô trống còn lại ở bảng trên.

Giải

a] Ta có: \[y = a{t^2} \Rightarrow a = {y \over {{t^2}}}[t \ne 0]\]

Ta có: \[{1 \over {{2^2}}} = {4 \over {{4^2}}} = {1 \over 4} \ne {{0,24} \over 1}\] nên \[a = {1 \over 4}.\]. Vậy lần đo đầu tiên sai.

b] Ta có đoạn đường viên bi lăn y = 6,25m. Ta có:

\[6,25 = {1 \over 4}{t^2} \Rightarrow t = \sqrt {4.6,25}  = \sqrt {25}  = 5\] [giây]

c]

t	0	1	2	3	4	5	6
y	0	0,25	1	\[{9 \over 4}\]	4	\[{{25} \over 4}\]	9

Câu 6 trang 47 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Biết rằng nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn được tính bằng công thức

Q = 0,24RI2t,

trong đó Q là nhiệt lượng tính bằng calo, R là điện trở tính bằng ôm \[\left[ \Omega  \right]\], I là cường độ dòng điện tính bằng ampe [A], t là thời gian tính bằng giây [s].

Dòng điện chạy qua một dây dẫn có điện trở \[R = 10\Omega \] trong thời gian 1 giây.

a] Hãy điền các số thích hợp vào bảng sau:

b] Hỏi cường độ của dòng điện là bao nhiêu thì nhiệt lượng tỏa ra bằng 60 calo?

Giải

a] \[Q = 0,24.R{I^2}t\]

Dòng điện chạy qua dây dẫn có điện trở \[10\Omega \] trong thời gian 1 giây.

Ta có: \[Q = 2,4{I^2}.\] Ta có kết quả bảng sau:

I [A]	1	2	3	4
Q [calo]	2,4	9,6	21,6	38,4

b] Q = 60 calo suy ra: \[60 = 0,24.10.{I^2}.1\]

\[ \Rightarrow {I^2} = {{60} \over {2,4}} = 25 \Rightarrow I = \sqrt {25}  = 5[A]\]

Giaibaitap.me

Page 15

Câu 1.1 trang 48 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Một bể nước hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông cạnh bằng x mét. Chiều cao của bể bằng 2m. Kí hiệu V [x] là thể tích của bể.

a] Tính thể tích V[x] theo x.

b] Giả sử chiều cao của bể không đổi, hãy tính V[1], V[2], V[3]. Nhận xét khi x tăng lên 2 lần, 3 lần thì thể tích tương ứng của bể tăng lên mấy lần?

Giải

Hình hộp chữ nhật đáy hình vuông cạnh x [m] cao 2m.

a] Thể tích của hộp: \[V\left[ x \right] = 2{x^2}\]

b] Chiều cao không thay đổi.

\[\eqalign{ & V\left[ 1 \right] = {2.1^2} = 2 \cr & V\left[ 2 \right] = 2.{\left[ 2 \right]^2} = 8 \cr

& V\left[ 3 \right] = 2.{\left[ 3 \right]^2} = 18 \cr} \]

Khi cạnh đáy tăng hai lần thì thể tích tăng 4 lần, cạnh đáy tăng lên 3 lần thì thể tích tăng lên 9 lần.

Câu 1.2 trang 48 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho hàm số \[y = f\left[ x \right] = a{x^2},a \ne 0.\] Vì sao với hai giá trị đối nhau của x thì hai giá trị tương ứng của hàm số lại bằng nhau?

Giải

Hàm số \[y = f\left[ x \right] = a{x^2}[a \ne 0]\]

Vì hai giá trị đối nhau của x là x và –x thì \[{x^2} = {\left[ { - x} \right]^2}\]

\[\Rightarrow f\left[ x \right] = f\left[ { - x} \right]\]

Vậy hai giá trị đối nhau của x thì giá trị tương ứng của hàm số bằng nhau.

Câu 1.3 trang 48 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho một nửa đường tròn bán kính AB] Điểm M chạy trên nửa đường tròn. Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Đặt MH = x.

a] Chứng minh rằng hai tam giác AHM và MHB đồng dạng.

b] Chứng minh rằng \[AH.BH = M{H^2}\].

c] Khi M chuyển động thì x thay đổi, do đó tích AH.BH cũng thay đổi theo. Kí hiệu tích AH.BH bởi P[x]. Hỏi P[x] có phải là một hàm số của biến số x hay không? Viết công thức biểu thị hàm số này.

Giải

a] ∆ AMB nội tiếp trong đường tròn có AB là đường kính nên \[\widehat {AMB} = 90^\circ \]

Suy ra: \[\widehat {MAB} + \widehat {MBA} = 90^\circ \]         [1]

∆ AMH vuông tại H.

\[\widehat {MAH} + \widehat {HMA} = 90^\circ \]

hay \[\widehat {MAB} + \widehat {HMA} = 90^\circ \]                    [2]

Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {MBA} = \widehat {HMA}\]

hay \[\widehat {MBH} = \widehat {HMA}\]

Xét ∆ AHM và ∆ MHB:

\[\widehat {AHM} = \widehat {MHB} = 90^\circ \]

\[\widehat {MBH} = \widehat {HMA}\]

Suy ra: ∆ AHM đồng dạng ∆ MHB [g.g]

b] ∆ AHM đồng dạng ∆ MHB

\[{{MH} \over {HA}} = {{HB} \over {HM}} \Rightarrow HA.HB = H{M^2}\]

c] Với mỗi giá trị của x ta có một giá trị xác định của P[x].

Vậy P[x] là một hàm số.

\[P[x] = {x^2}\]

Giaibaitap.me

Page 16

Câu 7 trang 48 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho hàm số \[y = 0,1{x^2}\]

a] Vẽ đồ thị của hàm số.

b] Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không: A[3; 0,9], B[-5; 2,5], C[-10, 1]?

Giải

a] Vẽ đồ thị hàm số \[y = 0,1{x^2}\]

x	-5	-2	0	2	5
\[y = 0,1{x^2}\]	2,5	0,4	0	0,4	2,5

b] Thay hoành độ điểm A vào phương trình hàm số:

\[y = 0,{1.3^2} = 0,9 = {y_A}\]

Vậy điểm A [3; 0,9] thuộc đồ thị hàm số.

Thay hoành độ điểm B vào phương trình hàm số:

\[y = 0,1{\left[ { - 5} \right]^2} = 0,1.25 = 2,5 = {y_B}\]

Vậy điểm B [-5; 2,5] thuộc đồ thị hàm số.

Thay hoành độ điểm C vào phương trình hàm số:

\[y = 0,1{\left[ { - 10} \right]^2} = 0,1.100 = 10 \ne {y_C}\].

Vậy điểm C [-10; 10] không thuộc đồ thị hàm số.

Câu 8 trang 48 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho hàm số \[y = a{x^2}\]. Xác định hệ số a trong các trường hợp sau:

a] Đồ thị của nó đi qua điểm A[3; 12];

b] Đồ thị của nó đi qua điểm B[-2; 3].

Giải

a] Đồ thị hàm số \[y = a{x^2}\] đi qua điểm A [3; 12] nên tọa độ của A nghiệm đúng phương trình hàm số.

Ta có: \[12 = a{.3^2} \Leftrightarrow a = {{12} \over 9} = {4 \over 3}\]

Hàm số đã cho: \[y = {4 \over 3}{x^2}\]

b] Đồ thị hàm số \[y = a{x^2}\] đi qua điểm B [-2; 3] nên tọa độ của điểm B nghiệm đúng phương trình hàm số: \[3 = a{\left[ { - 2} \right]^2} \Leftrightarrow a = {3 \over 4}\]

Hàm số đã cho: \[y = {3 \over 4}{x^2}\]

Câu 9 trang 48 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho hàm số  \[y = 0,2{x^2}\]

a] Biết rằng điểm A[-2; b] thuộc đồ thị, hãy tính b. Điểm A’[2; b] có thuộc đồ thị của hàm số không? Vì sao?

b] Biết rằng điểm C[c; 6] thuộc đồ thị, hãy tính c. Điểm D[c; -6] có thuộc đồ thị không? Vì sao?

Giải

a] Điểm A [2; b] thuộc đồ thị hàm số \[y = 0,2{x^2}\] nên tọa độ của điểm A nghiệm đúng phương trình hàm số

Ta có: \[b = 0,{2.2^2} = 0,8\]

Điểm A’ [2; b] đối xứng với điểm A [-2; b] qua trục tung mà điểm A [2; b] thuộc đồ thị hàm số \[y = 0,2{x^2}\] nên điểm A’[2; b] thuộc đồ thị hàm số \[y = 0,2{x^2}\].

b] Điểm C [c; 6] thuộc đồ thị hàm số \[y = 0,2{x^2}\] nên tọa độ của điểm C nghiệm đúng phương trình hàm số:

Ta có: \[6 = 0,2.{c^2} \Leftrightarrow {c^2} = {6 \over {0,2}} = 30 \Rightarrow c =  \pm \sqrt {30} \]

Điểm D [c; -6] đối xứng với điểm C [c; 6] qua trục hoành mà đồ thị hàm số \[y = 0,2{x^2}\] gồm 2 nhánh đối xứng qua trục tung nên C [c; 6] thuộc đồ thị hàm số thì điểm D [c; -6] không thuộc đồ thị hàm số.

Câu 10 trang 49 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho hai hàm số \[y = 0,2{x^2}\] và \[y = x\]

a] Vẽ hai đồ thị của những hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b] Tìm tọa độ của các giao điểm của hai đồ thị.

Giải

a] Vẽ đồ thị hàm số \[y = 0,2{x^2}\]

x	-5	-2	0	2	5
\[y = 0,2{x^2}\]	5	0,8	0	0,8	5

Vẽ đồ thị hàm số \[y = x\]. Đồ thị đi qua O [0; 0]

Cho \[x = 5 \Rightarrow y = 5\] M[5; 5]

Giaibaitap.me

Page 17

Câu 11 trang 49 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho hàm số \[y = a{x^2}\]

a] Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng \[y =  - 2x + 3\] tại điểm A có hoành độ bằng 1.

b] Vẽ đồ thị của hàm số \[y =  - 2x + 3\] và của hàm số \[y = a{x^2}\] với giá trị của a vừa tìm được trong câu a trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

c] Nhờ đồ thị xác định tọa độ của giao điểm thứ hai của hai đồ thị vừa vẽ trong câu b.

Giải

a] Điểm A thuộc đồ thị hàm số \[y =  - 2x + 3\] nên tọa độ của A nghiệm đúng phương trình đường thẳng: \[y =  - 2.1 + 3 = 1\] điểm A [1; 1]

Điểm A [1; 1] thuộc đồ thị hàm số \[y = a{x^2}\] nên tọa độ của điểm A nghiệm đúng phương trình hàm số: \[1 = a{.1^2} \Leftrightarrow a = 1\]

Hàm số đã cho: \[y = {x^2}\]

b] Vẽ đồ thị hàm số: \[y = {x^2}\]

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
\[y = {x^2}\]	9	4	1	0	1	4	9

Vẽ đồ thị \[y =  - 2x + 3\]

Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 3\] B [0; 3]

                                       A [1; 1]

c] Giao điểm thứ hai A’ của đường thẳng và parabol có hoành độ x = -3; tung độ y = 9 A’ [-3; 9]

Câu 12 trang 49 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho hàm số \[y = {3 \over 4}{x^2}\]

a] Vẽ đồ thị của hàm số.

b] Tìm trên đồ thị điểm A có hoành độ bằng -2. Bằng đồ thị, tìm tung độ của A.

c] Tìm trên đồ thị các điểm có tung độ bằng 4. Tính gần đúng [làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất] hoành độ của những điểm này bằng hai cách:

- Ước lượng trên đồ thị;

- Tính theo công thức \[y = {3 \over 4}{x^2}\]

Giải

a] Vẽ đồ thị hàm số \[y = {3 \over 4}{x^2}\]

x	-2	-1	0	1	3
\[y = {3 \over 4}{x^2}\]	3	\[{3 \over 4}\]	0	\[{3 \over 4}\]	2

b] Từ điểm x = -2 kẻ đường thẳng song song với trục tung cắt đồ thị tại A.

Từ A kẻ đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm có tung độ y = 3; A [-2; 3]

c] Từ điểm có tung độ y = 4 kẻ đường thẳng song song với trục hoành cắt đồ thị tại B và B’ là điểm có tung độ y = 4.

Từ B và B’ kẻ đường thẳng song song với trục tung cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \[x \approx  - 2;x \approx 2\]

Thay y = 4 ta có: \[4 = {3 \over 4}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = {{16} \over 3} \Leftrightarrow x =  \pm {{4\sqrt 3 } \over 3} \approx  \pm 2,3\]

Câu 13 trang 49 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho hàm số \[y = f\left[ x \right] =  - 1,5{x^2}\]

a] Vẽ đồ thị của hàm số.

b] Không làm tính, dùng đồ thị để so sánh f[-1,5] và f[-0,5], f[0,75] và f[1,5].

c] Dùng đồ thị, tìm những giá trị thích hợp điền vào các chỗ […]:

Khi  thì... ≤ y ≤ …

Khi -2 ≤ x ≤ 0 thì …≤ y ≤ …

Khi -2 ≤ x ≤ 1 thì … ≤ y ≤ …

Giải

a] Vẽ đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right] =  - 1,5{x^2}\]

x	-2	-1	0	1	2
\[y = f\left[ x \right] =  - 1,5{x^2}\]	-6	-1,5	0	-1,5	-6

b] Hàm số \[y =  - 1,5{x^2}\]

\[a =  - 1,5 < 0\]

Hàm số đồng biến trong x < 0, nghịch biến trong \[x > 0 \Rightarrow f\left[ { - 1,5} \right] < f\left[ { - 0,5} \right]\]

\[f\left[ {0,75} \right] > f\left[ {1,5} \right]\]

c] Khi \[1 \le x \le 2\] thì -6  ≤ y ≤ -1,5

Khi -2 ≤ x ≤ 0 thì -6 ≤ y ≤ 0

Khi -2 ≤ x ≤ 1 thì -6 ≤ y ≤ 0

Giaibaitap.me

Page 18

Câu 2.1 trang 51 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Parabol \[y = a{x^2}\] trong hình vẽ có hệ số a là bao nhiêu?

A] 1

B] -1

C] 2

D] \[{1 \over 2}\]

Giải

Parabol \[y = {x^2}\] trong hình vẽ có hệ số a bằng

Chọn D] \[{1 \over 2}\]

Vì điểm có hoành độ x = 2 thì tung độ y = 2 nên \[a = {y \over {{x^2}}} = {2 \over {{2^2}}} = {1 \over 2}\]

Câu 2.2 trang 51 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho hàm số \[y = 0,5{x^2}\]

a] Tìm các giá trị của x để y < 2.

b] Tìm các giá trị của x để y > 2.

c] Tìm các giá trị của y khi -2 < x < 2

d] Tìm các giá trị của y khi x ≤ 0.

e] Tìm các giá trị của y khi x ≤ 2.

Giải

a] Để giá trị y < 2 thì -2 < x < 2

b] Để giá trị y > 2 thì x > 2 hoặc x < -2

c] Khi -2 < x < 2 thì 0 ≤ y ≤ 2

d] Khi x ≤ 0 thì y ≥ 0

e] Khi x ≤ 2 thì y ≥ 0

Câu 2.3 trang 51 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

a] Xác định hàm số \[y = a{x^2}\] và vẽ đồ thị của nó, biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A [-1; 2].

b] Xác định đường thẳng \[y = a'x + b'\] biết rằng đường thẳng này cắt đồ thị của hàm số vừa tìm được trong câu a tại điểm A và điểm B có tung độ là 8.

Giải

a] Đồ thị hàm số đi qua A [-1; 2] nên tọa độ của A nghiệm đúng phương trình hàm số: \[2 = a{\left[ { - 1} \right]^2} \Leftrightarrow a = 2\]

Hàm số đã cho: \[y = 2{x^2}\]

Vẽ đồ thị hàm số: \[y = 2{x^2}\]

x	-2	-1	0	1	2
\[y = 2{x^2}\]	8	2	0	2	8

 

b] Khi y = 8 suy ra: \[2{x^2} = 8 \Rightarrow x =  \pm 2\]

Do đó ta có: \[{B_1}\left[ { - 2;8} \right]\] và \[{B_2}\left[ {2;8} \right]\]

Đường thẳng \[y = a'x + b\] đi qua A và B1 nên tọa độ của A và B1 nghiệm đúng phương trình.

Điểm A: \[ - 2 =  - a' + b'\]

Điểm B: \[8 =  - 2a' + b'\]

Hai số a’ và b’ là nghiệm của hệ phương trình:

\[\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ { - a' + b' = 2} \cr { - 2a' + b' = 8} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ - a' = 6} \cr { - a' + b' = 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a' = - 6} \cr {6 + b' = 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a' = - 6} \cr 

{b' = - 4} \cr} } \right. \cr} \]

Phương trình đường thẳng AB1 là \[y =  - 6x - 4\]

Đường thẳng \[y = a'x + b'\] đi qua A và B2 nên tọa độ của A và B2 nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Điểm A: 2 = -a’ + b’

Điểm B2: 8 = 2a’ + b’

Hai số a’ và b’ là nghiệm của hệ phương trình

\[\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ { - a' + b' = 2} \cr {2a' + b' = 8} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{3a' = 6} \cr { - a' + b' = 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a' = 2} \cr { - 2 + b' = 2} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a' = 2} \cr 

{b' = 4} \cr} } \right. \cr} \]

Phương trình đường thẳng AB2 là \[y = 2x + 4.\]

Giaibaitap.me

Page 19

Câu 15 trang 51 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các phương trình

a] \[7{x^2} - 5x = 0\]

b] \[ - \sqrt 2 {x^2} + 6x = 0\]

c] \[3,4{x^2} + 8,2x = 0\]

d] \[ - {2 \over 5}{x^2} - {7 \over 3}x = 0\]

Giải

a] \[7{x^2} - 5x = 0 \Leftrightarrow x\left[ {7x - 5} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow x = 0\] hoặc \[7x - 5 = 0\]

\[\Leftrightarrow x = 0\] hoặc \[x = {5 \over 7}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 0;{x_2} = {5 \over 7}\]

b] \[ - \sqrt 2 {x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x\left[ {6 - \sqrt 2 x} \right] = 0\]

⇔ x = 0 hoặc \[6 - \sqrt 2 x = 0\]

⇔ x = 0 hoặc \[x = 3\sqrt 2 \]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 0;{x_2} = 3\sqrt 2 \]

c] \[3,4{x^2} + 8,2x = 0 \Leftrightarrow x\left[ {17x + 41} \right] = 0\]

⇔ x = 0 hoặc 17x + 41 = 0

⇔ x = 0 hoặc \[x =  - {{41} \over {17}}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 0;{x_2} =  - {{41} \over {17}}\]

d] \[ - {2 \over 5}{x^2} - {7 \over 3}x = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} + 35x = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left[ {6x + 35} \right] = 0\]

⇔ x = 0 hoặc 6x + 35 = 0

⇔ x = 0 hoặc \[x =  - {{35} \over 6}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 0;{x_2} =  - {{35} \over 6}\]

Câu 16 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các phương trình:

a] \[5{x^2} - 20 = 0\]

b] \[ - 3{x^2} + 15 = 0\]

c] \[1,2{x^2} - 0,192 = 0\]

d] \[1172,5{x^2} + 42,18 = 0\]

Giải

a] \[5{x^2} - 20x = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left| x \right| = 2\]

⇔ x = 2 hoặc x = -2

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 2;{x_2} =  - 2\]

b] \[ - 3{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5 \Leftrightarrow \left| x \right| = \sqrt 5 \]

⇔ \[x = \sqrt 5 \] hoặc \[x =  - \sqrt 5 \]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = \sqrt 5 ;{x_2} =  - \sqrt 5 \]

c] \[1,2{x^2} - 0,192 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 0,16 \Leftrightarrow \left| x \right| = 0,4\]

\[ \Leftrightarrow x = 0,4\] hoặc x = -0,4

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 0,4;{x_2} =  - 0,4\]

d] \[1172,5{x^2} + 42,18 = 0\]

Ta có: \[{x^2} \ge 0;1172,5{x^2} \ge 0;1172,5{x^2} + 42,18 > 0\] nên không có giá trị nào của x để \[1172,5{x^2} + 42,18 = 0\]

Phương trình đã cho vô nghiệm. 

Câu 17 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các phương trình:

a] \[{\left[ {x - 3} \right]^2} = 4\]

b] \[{\left[ {{1 \over 2} - x} \right]^2} - 3 = 0\]

c] \[{\left[ {2x - \sqrt 2 } \right]^2} - 8 = 0\]

d] \[{\left[ {2,1x - 1,2} \right]^2} - 0,25 = 0\]

Giải

a] 

\[\eqalign{& {\left[ {x - 3} \right]^2} = 4 \Leftrightarrow {\left[ {x - 3} \right]^2} - {2^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\left[ {x - 3} \right] + 2} \right]\left[ {\left[ {x - 3} \right] - 2} \right] = 0 \cr 

& \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 5} \right] = 0 \cr} \]

⇔ x – 1 = 0 hoặc x – 5 = 0

⇔ x = 1 hoặc x = 5

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 1;{x_2} = 5\]

b] 

\[\eqalign{& {\left[ {{1 \over 2} - x} \right]^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\left[ {{1 \over 2} - x} \right] + \sqrt 3 } \right]\left[ {\left[ {{1 \over 2} - x} \right] - \sqrt 3 } \right] = 0 \cr 

& \Leftrightarrow \left[ {{1 \over 2} + \sqrt 3 - x} \right]\left[ {{1 \over 2} - \sqrt 3 - x} \right] = 0 \cr} \]

⇔ \[{1 \over 2} + \sqrt 3  - x = 0\] hoặc \[{1 \over 2} - \sqrt 3  - x = 0\]

\[ \Leftrightarrow x = {1 \over 2} + \sqrt 3 \] hoặc \[x = {1 \over 2} - \sqrt 3 \]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = {1 \over 2} = \sqrt 3 ;{x_2} = {1 \over 2} - \sqrt 3 \]

c] \[{\left[ {2x - \sqrt 2 } \right]^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {2x - \sqrt 2 } \right]^2} - {\left[ {2\sqrt 2 } \right]^2} = 0\]

\[\eqalign{& \Leftrightarrow \left[ {\left[ {2x - \sqrt 2 } \right] + 2\sqrt 2 } \right]\left[ {\left[ {2x - \sqrt 2 } \right] - 2\sqrt 2 } \right] = 0 \cr 

& \Leftrightarrow \left[ {2x + \sqrt 2 } \right]\left[ {2x - 3\sqrt 2 } \right] = 0 \cr} \]

⇔ \[2x + \sqrt 2  = 0\] hoặc \[2x - 3\sqrt 2  = 0\]

\[ \Leftrightarrow x =  - {{\sqrt 2 } \over 2}\] hoặc \[x = {{3\sqrt 2 } \over 2}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} =  - {{\sqrt 2 } \over 2};{x_2} = {{3\sqrt 2 } \over 2}\]

d] \[{\left[ {2,1x - 1,2} \right]^2} - 0,25 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {2,1x - 1,2} \right]^2} - {\left[ {0,5} \right]^2} = 0\]

\[\eqalign{& \Leftrightarrow \left[ {2,1x - 1,2 + 0,5} \right]\left[ {2,1x - 1,2 - 0,5} \right] = 0 \cr 

& \Leftrightarrow \left[ {2,1x - 0,7} \right]\left[ {2,1x - 1,7} \right] = 0 \cr} \]

\[ \Leftrightarrow 2,1x - 0,7 = 0\] hoặc \[2,1x - 1,7 = 0\]

\[ \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\] hoặc \[x = {{17} \over {21}}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = {1 \over 3};{x_2} = {{17} \over {21}}\]

Giaibaitap.me

Page 20

Câu 18 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:

a] \[{x^2} - 6x + 5 = 0\]

b] \[{x^2} - 3x - 7 = 0\]

c] \[3{x^2} - 12x + 1 = 0\]

d] \[3{x^2} - 6x + 5 = 0\]

Giải

a] \[{x^2} - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2.3x + 9 = 4 \Leftrightarrow {\left[ {x - 3} \right]^2} = 4\]

\[ \Leftrightarrow \left| {x - 3} \right| = 2\] \[ \Leftrightarrow x - 3 = 2\] hoặc \[x - 3 =  - 2\]⇔ x = 5 hoặc x = 1

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 5;{x_2} = 1\]

b]\[{x^2} - 3x - 7 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = 7 + {9 \over 4} \Leftrightarrow {\left[ {x - {3 \over 2}} \right]^2} = {{37} \over 4}\]

\[ \Leftrightarrow \left| {x - {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt {37} } \over 2} \Leftrightarrow x - {3 \over 2} = {{\sqrt {37} } \over 2}\] hoặc \[x - {3 \over 2} =  - {{\sqrt {37} } \over 2}\]

\[ \Leftrightarrow x = {{3 + \sqrt {37} } \over 2}\] hoặc \[x = {{3 - \sqrt {37} } \over 2}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = {{3 + \sqrt {37} } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt {37} } \over 2}\]

c]

\[\eqalign{& 3{x^2} - 12x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + {1 \over 3} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2.2x + 4 = 4 - {1 \over 3} \cr 

& \Leftrightarrow {\left[ {x - 2} \right]^2} = {{11} \over 3} \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| = {{\sqrt {33} } \over 3} \cr} \]

\[ \Leftrightarrow x - 2 = {{\sqrt {33} } \over 3}\] hoặc \[x - 2 =  - {{\sqrt {33} } \over 3}\]

\[ \Leftrightarrow x = 2 + {{\sqrt {33} } \over 3}\] hoặc \[x = 2 - {{\sqrt {33} } \over 3}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 2 + {{\sqrt {33} } \over 3};{x_2} = 2 - {{\sqrt {33} } \over 3}\]

d]

\[\eqalign{& 3{x^2} - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + {5 \over 3} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 1 - {5 \over 3} \cr 

& \Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} = - {2 \over 3} \cr} \]

Vế trái \[{\left[ {x - 1} \right]^2} \ge 0\]; vế phải \[ - {2 \over 3} < 0\]

Vậy không có giá trị nào của x để \[{\left[ {x - 1} \right]^2} =  - {2 \over 3}\]

Phương trình vô nghiệm. 

Câu 19 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Nhận thấy rằng phương trình tích \[\left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 3} \right] = 0,\] hay phương trình bậc hai \[{x^2} - x - 6 = 0,\] có hai nghiệm là \[{x_1} =  - 2,{x_2} = 3\]. Tương tự, hãy lập những phương trình bậc hai mà nghiệm của mỗi phương trình là một trong những cặp số sau:

a] \[{x_1} = 2,{x_2} = 5\]

b] \[{x_1} =  - {1 \over 2},{x_2} = 3\]

c] \[{x_1} = 0,1;{x_2} = 0,2\]

d] \[{x_1} = 1 - \sqrt 2 ,{x_2} = 1 + \sqrt 2 \]

Giải

a] Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình:

\[\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 5} \right] = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0\]

b] Hai số \[ - {1 \over 2}\] và 3 là nghiệm của phương trình:

\[\eqalign{& \left[ {x - \left[ { - {1 \over 2}} \right]} \right]\left[ {x - 3} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {x + {1 \over 2}} \right]\left[ {x - 3} \right] = 0 \cr 

& \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 3 = 0 \cr} \]

c] Hai số 0,1 và 0,2 là nghiệm của phương trình:

\[\eqalign{& \left[ {x - 0,1} \right]\left[ {x - 0,2} \right] = 0 \cr 

& \Leftrightarrow {x^2} - 0,3x + 0,02 = 0 \cr} \]

d] Hai số \[1 - \sqrt 2 \] và \[1 + \sqrt 2 \] là nghiệm của phương trình:

\[\eqalign{& \left[ {x - \left[ {1 - \sqrt 2 } \right]} \right]\left[ {x - \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x - \left[ {1 - \sqrt 2 } \right]x + \left[ {1 - \sqrt 2 } \right]\left[ {1 + \sqrt 2 } \right] = 0 \cr 

& \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \cr} \]

Câu 3.1 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Đưa các phương trình sau về dạng \[a{x^2} + bx + c = 0\] và xác định các hệ số a, b, c:

a] \[4{x^2} + 2x = 5x - 7\]

b] \[5x - 3 + \sqrt 5 {x^2} = 3x - 4 + {x^2}\]

c] \[m{x^2} - 3x + 5 = {x^2} - mx\]

d] \[x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2\]

Giải

a] \[4{x^2} + 2x = 5x - 7 \Leftrightarrow 4{x^2} - 3x + 7 = 0\] có a = 4, b = -3, c = 7

b]

\[\eqalign{& 5x - 3 + \sqrt 5 {x^2} = 3x - 4 + {x^2} \cr & \Leftrightarrow \left[ {\sqrt 5 - 1} \right]{x^2} + 2x + 1 = 0 \cr 

& a = \sqrt 5 - 1;b = 2;c = 1 \cr} \]

c] \[m{x^2} - 3x + 5 = {x^2} - mx \Leftrightarrow \left[ {m - 1} \right]{x^2} - \left[ {3 - m} \right]x + 5 = 0\]

\[m - 1 \ne \] nó là phương trình bậc hai có a = m – 1; b = - [3 – m ]; c = 5

d]

\[\eqalign{& x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2 \cr 

& \Leftrightarrow \left[ {{m^2} - 1} \right]{x^2} + \left[ {1 - m} \right]x - 2 = 0 \cr} \]

\[{m^2} - 1 \ne 0\] nó là phương trình bậc hai có \[a = {m^2} - 1,b = 1 - m,c =  - 2\]

Giaibaitap.me

Page 21

Câu 3.2 trang 52 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:

a] \[{x^2} - 3x + 1 = 0\]

b] \[{x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0\]

c] \[5{x^2} - 7x + 1 = 0\]

d] \[3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0\]

Giải

a] \[{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = {9 \over 4} - 1\]

\[ \Leftrightarrow {\left[ {x - {3 \over 2}} \right]^2} = {5 \over 4} \Leftrightarrow \left| {x - {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt 5 } \over 2}\]

\[ \Leftrightarrow x - {3 \over 2} = {{\sqrt 5 } \over 2}\] hoặc \[x - {3 \over 2} =  - {{\sqrt 5 } \over 2}\]

\[ \Leftrightarrow x = {{3 + \sqrt 5 } \over 2}\] hoặc \[x = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\]

b] \[{x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 2 } \over 2}x + {\left[ {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right]^2} = 1 + {\left[ {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right]^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\left[ {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right]^2} = {3 \over 2} \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right| = {{\sqrt 6 } \over 2}\]

\[ \Leftrightarrow x + {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2}\] hoặc \[x + {{\sqrt 2 } \over 2} =  - {{\sqrt 6 } \over 2}\]

\[ \Leftrightarrow x = {{ - \sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2}\] hoặc \[x =  - {{\sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = {{ - \sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2};{x_2} =  - {{\sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2}\]

c]

\[\eqalign{& 5{x^2} - 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - {7 \over 5}x + {1 \over 5} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2.{7 \over {10}}x + {{49} \over {100}} = {{49} \over {100}} - {1 \over 5} \cr 

& \Leftrightarrow {\left[ {x - {7 \over {10}}} \right]^2} = {{29} \over {100}} \Leftrightarrow \left| {x - {7 \over {10}}} \right| = {{\sqrt {29} } \over {10}} \cr} \]

\[ \Leftrightarrow x - {7 \over {10}} = {{\sqrt {29} } \over {10}}\] hoặc \[x - {7 \over {10}} =  - {{\sqrt {29} } \over {10}}\]

\[ \Leftrightarrow x = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}}\] hoặc  \[x = {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}};{x_2} = {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}\]

d]

\[\eqalign{& 3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x - {2 \over 3} = 0 \cr & \Leftrightarrow x + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x + {\left[ {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} = {2 \over 3} + {\left[ {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} \cr & \Leftrightarrow {\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} = 1 \cr 

& \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right| = 1 \cr} \]

\[ \Leftrightarrow x + {{\sqrt 3 } \over 3} = 1\] hoặc \[x + {{\sqrt 3 } \over 3} =  - 1\]

\[ \Leftrightarrow x = 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\] hoặc \[x =  - 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 1 - {{\sqrt 3 } \over 3};{x_2} =  - 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\]

Câu 3.3 trang 53 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Tìm b, c để phương trình \[{x^2} + bx + c = 0\] có hai nghiệm là những số dưới đây:

a] \[{x_1} =  - 1\] và \[{x_2} = 2\]

b] x1 = -5 và x2 = 0

c] \[{x_1} = 1 + \sqrt 2 \] và \[{x_2} = 1 - \sqrt 2 \]

d] x1 = 3 và \[{x_2} =  - {1 \over 2}\]

Giải

a] Hai số -1 và 2 là ngiệm của phương trình:

\[\eqalign{& \left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 2} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x + x - 2 = 0 \cr 

& \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr} \]

Hệ số: b = -1; c = -2.

b] Hai số - 5 và 0 là nghiệm của phương trình:

\[\eqalign{& \left[ {x + 5} \right]\left[ {x + 0} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left[ {x + 5} \right] = 0 \cr 

& \Leftrightarrow {x^2} + 5x = 0 \cr} \]

Hệ số: b = 5; c = 0

c] Hai số \[1 + \sqrt 2 \] và \[1 - \sqrt 2 \] là nghiệm của phương trình:

\[\eqalign{& \left[ {x - \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]} \right]\left[ {x - \left[ {1 - \sqrt 2 } \right]} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - \left[ {1 - \sqrt 2 } \right]x - \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x + \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]\left[ {1 - \sqrt 2 } \right] = 0 \cr 

& \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \cr} \]

Hệ số: b = -2; c = -1

d] Hai số 3 và \[ - {1 \over 2}\] là nghiệm của phương trình:

\[\eqalign{& \left[ {x - 3} \right]\left[ {x + {1 \over 2}} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + {1 \over 2}x - 3x - {3 \over 2} = 0 \cr 

& \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 3 = 0 \cr} \]

Hệ số: b = -5; c = -3

Câu 3.4 trang 53 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Tìm a, b, c để phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] có hai nghiệm là x1 = -2 và x2 = 3.

Có thể tìm được bao nhiêu bộ ba số a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán?

Giải

x = -2 là nghiệm của phương trình: \[a{x^2} + bx + c = 0\], ta có:

\[4a - 2b + c = 0\]

x = 3 là nghiệm của phương trình: \[a{x^2} + bx + c = 0\] ta có:

\[9a + 3b + c = 0\]

Ba số a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:

\[\eqalign{& \left\{ {\matrix{{4a - 2b + c = 0} \cr {9a + 3b + c = 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5a + 5b = 0} \cr {4a - 2b + c = 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = - a} \cr {4a - 2\left[ { - a} \right] + c = 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{b = - a} \cr 

{c = - 6a} \cr} } \right. \cr} \]

Vậy với mọi a ≠ 0 ta có:

\[\left\{ {\matrix{a \cr {b = - a} \cr 

{c = - 6a} \cr} } \right.\]

thì phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] có nghiệm x1 = -2; x2 = 3

Ví dụ: a = 2, b = -2, c = -12 ta có phương trình:

\[\eqalign{& 2{x^2} - 2x - 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \cr 

& \Leftrightarrow \left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 3} \right] = 0 \cr} \]

Có nghiệm: \[{x_1} =  - 2;{x_2} = 3\]

Có vô số bộ ba a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giaibaitap.me

Page 22

Câu 20 trang 53 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Xác định các hệ số a, b, c; tính biệt thức ∆ rồi tìm nghiệm của các phương trình:

a] \[2{x^2} - 5x + 1 = 0\]

b] \[4{x^2} + 4x + 1 = 0\]

c] \[5{x^2} - x + 2 = 0\]

d] \[ - 3{x^2} + 2x + 8 = 0\]

Giải

a] \[2{x^2} - 5x + 1 = 0\] có hệ số a = 2, b = -5, c = 1

\[\eqalign{& \Delta = {b^2} - 4ac = {\left[ { - 5} \right]^2} - 4.2.1 = 25 - 8 = 17 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {17} \cr & {x_1} = {{ - b + \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - \left[ { - 5} \right] + \sqrt {17} } \over {2.2}} = {{5 + \sqrt {17} } \over 4} \cr 

& {x_2} = {{ - b - \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - \left[ { - 5} \right] - \sqrt {17} } \over {2.2}} = {{5 - \sqrt {17} } \over 4} \cr} \]

b] \[4{x^2} + 4x + 1 = 0\] có hệ số a = 4, b = 4, c = 1

\[\Delta  = {b^2} - 4ac = {4^2} - 4.4.1 = 16 - 16 = 0\]

Phương trình có nghiệm số kép: \[{x_1} = {x_2} =  - {b \over {2a}} =  - {4 \over {2.4}} =  - {1 \over 2}\]

c] \[5{x^2} - x + 2 = 0\] có hệ số a = 5, b = -1, c = 2

\[\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left[ { - 1} \right]^2} - 4.5.2 = 1 - 40 =  - 39 < 0\]

Phương trình vô nghiệm.

d] \[ - 3{x^2} + 2x + 8 = 0\] có hệ số a = -3, b= 2, c = 8

\[\eqalign{& \Delta = {b^2} - 4ac = {2^2} - 4.\left[ { - 3} \right].8 = 100 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {100} = 10 \cr & {x_1} = {{ - b - \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - 2 - 10} \over {2.\left[ { - 3} \right]}} = {{ - 12} \over { - 6}} = 2 \cr 

& {x_2} = {{ - b + \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - 2 + 10} \over {2.\left[ { - 3} \right]}} = - {8 \over 6} = - {4 \over 3} \cr} \]

Câu 21 trang 53 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Xác định các hệ số a, b, c rồi giải phương trình:

a] \[2{x^2} - 2\sqrt 2 x + 1 = 0\]

b] \[2{x^2} - \left[ {1 - 2\sqrt 2 } \right]x - \sqrt 2  = 0\]

c] \[{1 \over 3}{x^2} - 2x - {2 \over 3} = 0\]

d] \[3{x^2} + 7,9x + 3,36 = 0\]

Giải

a] \[2{x^2} - 2\sqrt 2 x + 1 = 0\] có hệ số a = 2, b = \[ - 2\sqrt 2 \], c = 1

\[\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left[ { - 2\sqrt 2 } \right]^2} - 4.2.1 = 8 - 8 = 0\]

Phương trình có nghiệm kép: \[{x_1} = {x_2} =  - {b \over {2a}} =  - {{ - 2\sqrt 2 } \over {2.2}} = {{\sqrt 2 } \over 2}\]

b] \[2{x^2} - \left[ {1 - 2\sqrt 2 } \right]x - \sqrt 2  = 0\]

Có hệ số a = 2, \[b =  - \left[ {1 - 2\sqrt 2 } \right]\], c = \[ - \sqrt 2 \]

\[\eqalign{& \Delta = {b^2} - 4ac = {\left[ { - \left[ {1 - 2\sqrt 2 } \right]} \right]^2} - 4.2.\left[ { - \sqrt 2 } \right] \cr & = 1 - 4\sqrt 2 + 8 + 8\sqrt 2 \cr & \Delta = 1 + 4\sqrt 2 + 8 = 1 + 2.2\sqrt 2 + {\left[ {2\sqrt 2 } \right]^2} = {\left[ {1 + 2\sqrt 2 } \right]^2} > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {{{\left[ {1 + 2\sqrt 2 } \right]}^2}} = 1 + 2\sqrt 2 \cr & {x_1} = {{1 - 2\sqrt 2 + 1 + 2\sqrt 2 } \over {2.2}} = {2 \over 4} = {1 \over 2} \cr 

& {x_2} = {{1 - 2\sqrt 2 - 1 - 2\sqrt 2 } \over {2.2}} = {{ - 4\sqrt 2 } \over 4} = - \sqrt 2 \cr} \]

c] \[{1 \over 3}{x^2} - 2x - {2 \over 3} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 2 = 0\]

Có hệ số a = 1, b = -6, c = -2

\[\eqalign{& \Delta = {b^2} - 4ac = {\left[ { - 6} \right]^2} - 4.1.\left[ { - 2} \right] = 36 + 8 = 44 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {44} = 2\sqrt {11} \cr & {x_1} = {{6 + 2\sqrt {11} } \over {2.1}} = 3 + \sqrt {11} \cr 

& {x_2} = {{6 - 2\sqrt {11} } \over {2.1}} = 3 - \sqrt {11} \cr} \]

d] \[3{x^2} + 7,9x + 3,36 = 0\]

Có hệ số a = 3; b = 7,9; c = 3,36

\[\eqalign{& \Delta = {b^2} - 4ac = {\left[ {7,9} \right]^2} - 4.3.3,36 = 62,41 - 40,32 = 22,09 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {22,09} = 4,7 \cr & {x_1} = {{ - 7,9 + 4,7} \over {2.3}} = {{ - 3,2} \over 6} = {{ - 32} \over {60}} = - {8 \over {15}} \cr 

& {x_2} = {{ - 7,9 - 4,7} \over {2.3}} = {{ - 12,6} \over 6} = - 2,1 \cr} \]

Câu 22 trang 53 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải phương trình bằng đồ thị.

Cho phương trình \[2{x^2} + x - 3 = 0\]

a] Vẽ các đồ thị của hai hàm số: \[y = 2{x^2},y =  - x + 3\] trong cùng một mặt phẳng tọa độ.

b] Tìm hoành độ của mỗi giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích vì sao các hoành độ này đều là nghiệm của phương trình đã cho.

c] Giải phương trình đã cho công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu b.

Giải

a] Vẽ đồ thị hàm số \[y = 2{x^2}\]

x	-2	-1	0	1	2
\[y = 2{x^2}\]	8	2	0	2	8

Vẽ đồ thị y = -x + 3

Cho x = 0 ⇒ y = 3[0; 3]

Cho y = 0 ⇒ x = 3[3; 0]

b] M[-1,5; 4,5]; N[1; 2]

x = -1,5 là nghiệm của phương trình vì

\[2.{\left[ { - 1,5} \right]^2} - 1,5 - 3 = 4,5 - 4,5 = 0\]

x = 1 là nghiệm của phương trình vì

\[{2.1^2} + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0\]

c] \[2{x^2} + x - 3 = 0\]

\[\eqalign{& \Delta = {1^2} - 4.2.\left[ { - 3} \right] = 1 + 24 = 25 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr & {x_1} = {{ - 1 + 5} \over {2.2}} = {4 \over 4} = 1 \cr 

& {x_2} = {{ - 1 - 5} \over {2.2}} = {{ - 6} \over 4} = - 1,5 \cr} \]

Câu 23 trang 53 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Cho phương trình \[{1 \over 2}{x^2} - 2x + 1 = 0\]

a] Vẽ đồ thị của hàm số \[y = {1 \over 2}{x^2}\] và \[y = 2x - 1\] trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Dùng đồ thị tìm giá trị gần đúng nghiệm của phương trình [làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai].

b] Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu a.

Giải

a] Vẽ đồ thị \[y = {1 \over 2}{x^2}\]

x	-2	-1	0	1	2
\[y = {1 \over 2}{x^2}\]	2		0		2

Vẽ đồ thị y = 2x – 1

Cho x = 0 ⇒ y = -1[0; -1]

\[{x_1} \approx 0,60;{x_2} \approx 3,40\]

b] \[{1 \over 2}{x^2} - 2x + 1 = 0\]

\[\eqalign{& \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 = 0 \cr & \Delta = {\left[ { - 4} \right]^2} - 4.1.2 = 16 - 8 = 8 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \cr & {x_1} = {{4 + 2\sqrt 2 } \over {2.1}} = 2 + \sqrt 2 \approx 3,41 \cr 

& {x_2} = {{4 - 2\sqrt 2 } \over {2.1}} = 2 - \sqrt 2 \approx 0,59 \cr} \]

Giaibaitap.me

Page 23

Câu 24 trang 54 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép:

a] \[m{x^2} - 2\left[ {m - 1} \right]x + 2 = 0\]

b] \[3{x^2} + \left[ {m + 1} \right]x + 4 = 0\]

Giải

a] \[m{x^2} - 2\left[ {m - 1} \right]x + 2 = 0\]

Phương trình có nghiệm số kép

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{m \ne 0} \cr 

{\Delta = 0} \cr} } \right.\]

\[\eqalign{& \Delta = {\left[ { - 2\left[ {m - 1} \right]} \right]^2} - 4.m.2 \cr & = 4\left[ {{m^2} - 2m + 1} \right] - 8m \cr & = 4\left[ {{m^2} - 4m + 1} \right] \cr & \Delta = 0 \Rightarrow 4\left[ {{m^2} - 4m + 1} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 1 = 0 \cr & \Delta m = {\left[ { - 4} \right]^2} - 4.1.1 = 16 - 4 = 12 > 0 \cr & \sqrt {\Delta m} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \cr & {m_1} = {{4 + 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 + \sqrt 3 \cr 

& {m_2} = {{4 - 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 - \sqrt 3 \cr} \]

Vậy với \[m = 2 + \sqrt 3 \] hoặc \[m = 2 - \sqrt 3 \] thì phương trình đã cho có nghiệm số kép.

b] \[3{x^2} + \left[ {m + 1} \right]x + 4 = 0\]

Phương trình có nghiệm số kép \[ \Leftrightarrow \Delta  = 0\]

\[\eqalign{& \Delta = {\left[ {m + 1} \right]^2} - 4.3.4 = {m^2} + 2m + 1 - 48 = {m^2} + 2m - 47 \cr & \Delta = 0 \Rightarrow {m^2} + 2m - 47 = 0 \cr & \Delta m = {2^2} - 4.1\left[ { - 47} \right] = 4 + 188 = 192 > 0 \cr & \sqrt {\Delta m} = \sqrt {192} = 8\sqrt 3 \cr & {m_1} = {{ - 2 + 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = 4\sqrt 3 - 1 \cr 

& {m_2} = {{ - 2 - 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = - 1 - 4\sqrt 3 \cr} \]

Vậy với \[m = 4\sqrt 3  - 1\] hoặc \[m =  - 1 - 4\sqrt 3 \] thì phương trình có nghiệm số kép.

Câu 25 trang 54 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm; tính nghiệm của phương trình theo m:

a] \[m{x^2} + \left[ {2x - 1} \right]x + m + 2 = 0\]

b] \[2{x^2} - \left[ {4m + 3} \right]x + 2{m^2} - 1 = 0\]

Giải

a] \[m{x^2} + \left[ {2m - 1} \right]x + m + 2 = 0\]

Nếu m = 0 ta có phương trình: \[ - x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\]

Nếu m ≠ 0 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \[\Delta  \ge 0\]

\[\eqalign{& \Delta = {\left[ {2m - 1} \right]^2} - 4m\left[ {m + 2} \right] \cr & = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} - 8m \cr & = - 12m + 1 \cr & \Delta \ge 0 \Rightarrow - 12m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \le {1 \over {12}} \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {1 - 12m} \cr & {x_1} = {{ - \left[ {2m - 1} \right] + \sqrt {1 - 12m} } \over {2.m}} = {{1 - 2m + \sqrt {1 - 12m} } \over {2m}} \cr 

& {x_2} = {{ - \left[ {2m - 1} \right] - \sqrt {1 - 12m} } \over {2.m}} = {{1 - 2m - \sqrt {1 - 12m} } \over {2 + }} \cr} \]

b] \[2{x^2} - \left[ {4m + 3} \right]x + 2{m^2} - 1 = 0\]  

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \[\Delta  \ge 0\]

\[\eqalign{& \Delta = {\left[ { - \left[ {4m + 3} \right]} \right]^2} - 4.2\left[ {2{m^2} - 1} \right] \cr & = 16{m^2} + 24m + 9 - 16{m^2} + 8 \cr & = 24m + 17 \cr & \Delta \ge 0 \Rightarrow 24m + 17 \ge 0 \Leftrightarrow m > - {{17} \over {24}} \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {24m + 17} \cr & {x_1} = {{4m + 3 + \sqrt {24m + 17} } \over 4} \cr 

& {x_2} = {{4m + 3 - \sqrt {24m + 17} } \over 4} \cr} \]

Câu 26 trang 54 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Vì sao khi phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\] có các hệ số a và c trái dấu thì nó có nghiệm?

Áp dụng. Không tính ∆, hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm:

a] \[3{x^2} - x - 8 = 0\]

b] \[2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5  = 0\]

c] \[3\sqrt 2 {x^2} + \left[ {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right]x + \sqrt 2  - \sqrt 3  = 0\]

d] \[2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\]

Giải

Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\]

a và c trái dấu \[ \Rightarrow ac < 0\] suy ra \[ - ac > 0 \Rightarrow  - 4ac > 0\]

\[\Delta  = {b^2} - 4ac\] ta có \[{b^2} \ge 0\]; \[ - 4ac > 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac > 0\]

\[ \Rightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac > 0\]. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng:

a] \[3{x^2} - x - 8 = 0\]

Có a = 3; c = -8 ⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b] \[2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5  = 0\]

Có a = 2004; c = \[ - 1185\sqrt 5 \] ⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c] \[3\sqrt 2 {x^2} + \left[ {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right]x + \sqrt 2  - \sqrt 3  = 0\]

Có \[a = 3\sqrt 2  > 0;c = \sqrt 2  - \sqrt 3  < 0\] [vì \[\sqrt 2  < \sqrt 3 \]]

⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d] \[2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\]

Nếu m = 0 phương trình có dạng  có 2 nghiệm

Nếu \[m \ne 0 \Rightarrow {m^2} > 0 \Rightarrow  - {m^2} < 0\]

\[a = 2010 > 0;c =  - {m^2} < 0 \Rightarrow ac < 0.\] Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy với mọi m ∈ R thì phương trình \[2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\] luôn có hai nghiệm phân biệt. 

Giaibaitap.me

Page 24

Câu 4.1 trang 54 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau bằng cách [chuyển các số hạng tự do sang vế phải bằng công thức nghiệm] và so sánh kết quả tìm được:

a] \[4{x^2} - 9 = 0\]

b] \[5{x^2} + 20 = 0\]

c] \[2{x^2} - 2 + \sqrt 3  = 0\]

d] \[3{x^2} - 12 + \sqrt {145}  = 0\]

Giải

a]

\[\eqalign{& 4{x^2} - 9 = 0 \cr & \Leftrightarrow 4{x^2} = 9 \cr 

& \Leftrightarrow {x^2} = {9 \over 4} \Leftrightarrow x = \pm {3 \over 2} \cr} \]

Phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = {3 \over 2};{x_2} =  - {3 \over 2}\]

\[\eqalign{& \Delta = {0^2} - 4.4.\left[ { - 9} \right] = 144 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {144} = 12 \cr & {x_1} = {{0 + 12} \over {2.4}} = {{12} \over 8} = {3 \over 2} \cr 

& {x_2} = {{0 - 12} \over {2.4}} = {{ - 12} \over 8} = - {3 \over 2} \cr} \]

b] \[5{x^2} + 20 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} =  - 20\]

Vế trái \[5{x^2} \ge 0\]; vế phải -20 < 0

Không có giá trị nào của x để \[5{x^2} =  - 20\]

Phương trình vô nghiệm.

\[\Delta  = {0^2} - 4.5.20 =  - 400 < 0.\] Phương trình vô nghiệm.

c]

\[\eqalign{& 2{x^2} - 2 + \sqrt 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} = 2 - \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} = {{2 - \sqrt 3 } \over 2} \cr & \Leftrightarrow \left| x \right| = \sqrt {{{2 - \sqrt 3 } \over 2}} = \sqrt {{{4 - 2\sqrt 3 } \over 4}} \cr 

& = {{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } } \over 2} = {{\sqrt {{{\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]}^2}} } \over 2} = {{\sqrt 3 - 1} \over 2} \cr} \]

Phương trình có hai nghiệm:

\[{x_1} = {{\sqrt 3  - 1} \over 2};{x_2} =  - {{\sqrt 3  - 1} \over 2} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2}\]

\[\eqalign{& \Delta = {0^2} - 4.2\left[ { - 2 + \sqrt 3 } \right] = 16 - 8\sqrt 3 \cr & = 4\left[ {4 - 2\sqrt 3 } \right] = 4{\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]^2} > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {4{{\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]}^2}} = 2\left[ {\sqrt 3 - 1} \right] \cr & {x_1} = {{0 + 2\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]} \over {2.2}} = {{\sqrt 3 - 2} \over 2} \cr 

& {x_2} = {{0 - 2\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]} \over {2.2}} = {{ - \left[ {\sqrt 3 - 1} \right]} \over 2} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2} \cr} \]

d]

\[\eqalign{& 3{x^2} - 12 + \sqrt {145} = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} = 12 - \sqrt {145} \cr 

& \Leftrightarrow {x^2} = {{12 - \sqrt {145} } \over 3} \cr} \]

Vì \[12 = \sqrt {144} ;\sqrt {144}  < \sqrt {145}  \Rightarrow {{12 - \sqrt {145} } \over 3} < 0\]

Phương trình vô nghiệm.

\[\Delta  = {0^2} - 4.3\left[ { - 12 + \sqrt {145} } \right] =  - 12\left[ {\sqrt {145}  - 12} \right]\]

Vì \[\sqrt {145}  - 12 > 0 \Rightarrow  - 12\left[ {\sqrt {145}  - 12} \right] < 0\]

\[ \Rightarrow \Delta  < 0.\] Phương trình vô nghiệm.

Câu 4.2 trang 54 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau bằng hai cách [phương trình tích; bằng công thức nghiệm] và so sánh kết quả tìm được:

a] \[5{x^2} - 3x = 0\]

b] \[3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0\]

c] \[2{x^2} + 7x = 0\]

d] \[2{x^2} - \sqrt 2 x = 0\]

Giải

a]

\[\eqalign{& 5{x^2} - 3x = 0 \cr 

& \Leftrightarrow x\left[ {5x - 3} \right] = 0 \cr} \]

⇔ x = 0 hoặc 5x – 3 =0

⇔ x = 0 hoặc \[x = {3 \over 5}.\] Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 0;{x_2} = {3 \over 5}\]

\[\eqalign{& \Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4.5.0 = 9 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3 \cr & {x_1} = {{3 + 3} \over {2.5}} = {6 \over {10}} = {3 \over 5} \cr 

& {x_2} = {{3 - 3} \over {2.5}} = {0 \over {10}} = 0 \cr} \]

b]

\[\eqalign{& 3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0 \cr 

& \Leftrightarrow 3x\left[ {\sqrt 5 x + 2} \right] = 0 \cr} \]

⇔ x = 0 hoặc \[\sqrt 5 x + 2 = 0\]

⇔ x = 0 hoặc \[x =  - {{2\sqrt 5 } \over 5}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 0;{x_2} =  - {{2\sqrt 5 } \over 5}\]

\[\eqalign{& \Delta = {6^2} - 4.3\sqrt 5 .0 = 36 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {36} = 6 \cr & {x_1} = {{ - 6 + 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {0 \over {6\sqrt 5 }} = 0 \cr 

& {x_2} = {{ - 6 - 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {{ - 12} \over {6\sqrt 5 }} = - {{2\sqrt 5 } \over 5} \cr} \]

c]

\[\eqalign{& 2{x^2} + 7x = 0 \cr 

& \Leftrightarrow x\left[ {2x + 7} \right] = 0 \cr} \]

⇔ x = 0 hoặc 2x + 7 = 0

⇔ x = 0 hoặc \[x =  - {7 \over 2}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 0;{x_2} =  - {7 \over 2}\]

\[\eqalign{& \Delta = {7^2} - 4.2.0 = 49 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr & {x_1} = {{ - 7 + 7} \over {2.2}} = {0 \over 4} = 0 \cr 

& {x_2} = {{ - 7 - 7} \over {2.2}} = {{ - 14} \over 4} = - {7 \over 2} \cr} \]

d]

\[\eqalign{& 2{x^2} - \sqrt 2 x = 0 \cr 

& \Leftrightarrow x\left[ {2x - \sqrt 2 } \right] = 0 \cr} \]

⇔ x = 0 hoặc \[2x - \sqrt 2  = 0\]

⇔ x = 0 hoặc \[x = {{\sqrt 2 } \over 2}\]

\[\eqalign{& \Delta = {\left[ { - \sqrt 2 } \right]^2} - 4.2.0 = 2 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt 2 \cr & {x_1} = {{\sqrt 2 + \sqrt 2 } \over {2.2}} = {{2\sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr 

& {x_2} = {{\sqrt 2 - \sqrt 2 } \over {2.2}} = {0 \over 4} = 0 \cr} \]

Câu 4.3 trang 54 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Giải các phương trình:

a] \[{x^2} = 14 - 5x\]

b] \[3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2\]

c] \[{\left[ {x + 2} \right]^2} = 3131 - 2x\]

d] \[{{{{\left[ {x + 3} \right]}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left[ {3x - 1} \right]}^2}} \over 5} + {{x\left[ {2x - 3} \right]} \over 2}\]

Giải

a] \[{x^2} = 14 - 5x \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 14 = 0\]

\[\eqalign{& \Delta = {5^2} - 4.1.\left[ { - 14} \right] = 25 + 56 = 81 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {81} = 9 \cr & {x_1} = {{ - 5 + 9} \over {2.1}} = {4 \over 2} = 2 \cr 

& {x_2} = {{ - 5 - 9} \over {2.1}} = {{ - 14} \over 2} = - 7 \cr} \]

b]

\[\eqalign{& 3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0 \cr 

& \Delta = {\left[ { - 1} \right]^2} - 4.1.1 = 1 - 4 = - 3 < 0 \cr} \]

Phương trình vô nghiệm

c]

\[\eqalign{& {\left[ {x + 2} \right]^2} = 3131 - 2x \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + 2x - 3131 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 3127 = 0 \cr & \Delta = {6^2} - 4.1.\left[ { - 3127} \right] = 36 + 12508 = 12544 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {12544} = 112 \cr & {x_1} = {{ - 6 + 112} \over {2.1}} = {{106} \over 2} = 53 \cr 

& {x_2} = {{ - 6 - 112} \over {2.1}} = - 59 \cr} \]

d]

\[\eqalign{& {{{{\left[ {x + 3} \right]}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left[ {3x - 1} \right]}^2}} \over 5} + {{x\left[ {2x - 3} \right]} \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2{\left[ {x + 3} \right]^2} + 10 = 2{\left[ {3x - 1} \right]^2} + 5x\left[ {2x - 3} \right] \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + 12x + 18 + 10 = 18{x^2} - 12x + 2 + 10{x^2} - 15x \cr & \Leftrightarrow 26{x^2} - 39x - 26 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 0 \cr & \Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4.2.\left[ { - 2} \right] = 9 + 16 = 25 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr & {x_1} = {{3 + 5} \over {2.2}} = {8 \over 4} = 2 \cr 

& {x_2} = {{3 - 5} \over {2.2}} = - {1 \over 2} \cr} \]

Câu 4.4 trang 55 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Chứng minh rằng nếu phương trình \[a{x^2} + bx + c = x[a \ne 0]\] vô nghiệm thì phương trình \[a{\left[ {a{x^2} + bx + c} \right]^2} + b\left[ {a{x^2} + bx + c} \right] + c = x\] cũng vô nghiệm.

Phương trình \[a{x^2} - bx + c = x[a \ne 0]\] vô nghiệm.

\[ \Rightarrow a{x^2} + \left[ {b - 1} \right]x + c = 0\] vô nghiệm

\[\eqalign{& \Rightarrow \Delta = {\left[ {b - 1} \right]^2} - 4ac < 0 \cr & \Leftrightarrow {\left[ {b - 1} \right]^2} < 4ac \cr 

& \Leftrightarrow 4ac - {\left[ {b - 1} \right]^2} > 0 \cr} \]

Suy ra: \[f\left[ x \right] - x = a{x^2} + \left[ {b - 1} \right]x + c\]

\[\eqalign{& = a\left[ {{x^2} + {{b - 1} \over a}x + {c \over a}} \right] \cr & = a\left[ {{x^2} + 2.{{b - 1} \over a}x + {{{{\left[ {b - 1} \right]}^2}} \over {4{a^2}}} - {{{{\left[ {b - 1} \right]}^2}} \over {4{a^2}}} + {c \over a}} \right] \cr 

& = a\left[ {{{\left[ {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right]}^2} + {{4ac - {{\left[ {b - 1} \right]}^2}} \over {4{a^2}}}} \right] \cr} \]

Vì \[{\left[ {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right]^2} + {{4ac - {{\left[ {b - 1} \right]}^2}} \over {4{a^2}}} > 0 \Rightarrow f\left[ x \right] - x\] luôn cùng dấu với a.

Nếu a > 0 \[ \Rightarrow f\left[ x \right] - x > 0 \Rightarrow f\left[ x \right] > x\] với mọi x.

Suy ra: \[a{\left[ {f\left[ x \right]} \right]^2} + bf\left[ x \right] + c > f\left[ x \right] > x\] với mọi x.

Vậy không có giá trị nào của x để \[a{\left[ {f\left[ x \right]} \right]^2} + bf\left[ x \right] + c = x\]

Nếu a < 0 \[ \Rightarrow f\left[ x \right] - x < 0 \Leftrightarrow f\left[ x \right] < x\] với mọi x

Suy ra: \[a{\left[ {f\left[ x \right]} \right]^2} + bf\left[ x \right] + c < f\left[ x \right] < x\] với mọi x.

Vậy không có giá trị nào của x để  \[a{\left[ {f\left[ x \right]} \right]^2} + bf\left[ x \right] + c = x\]

Vậy phương trình \[a{\left[ {a{x^2} + bx + c} \right]^2} + b\left[ {a{x^2} + bx + c} \right] + c = x\] vô nghiệm.

Giaibaitap.me

Page 25

Câu 27 trang 55 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Xác định a, b’, c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:

a] \[5{x^2} - 6x - 1 = 0\]

b] \[ - 3{x^2} + 14x - 8 = 0\]

c] \[- 7{x^2} + 4x = 3\]

d] \[9{x^2} + 6x + 1 = 0\]

Giải

a] \[5{x^2} - 6x - 1 = 0\]

Có hệ số a = 5; b’ = -3; c = -1

\[\eqalign{& \Delta ' = b{'^2} - ac = {\left[ { - 3} \right]^2} - 5.\left[ { - 1} \right] = 9 + 5 = 14 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {14} \cr & {x_1} = {{ - b' + \sqrt {\Delta '} } \over a} = {{3 + \sqrt {14} } \over 5} \cr 

& {x_2} = {{ - b' - \sqrt {\Delta '} } \over a} = {{3 - \sqrt {14} } \over 5} \cr} \]

b] \[ - 3{x^2} + 14x - 8 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 14x + 8 = 0\]

Có hệ số a = 3; b’ = -7; c = 8

\[\eqalign{& \Delta ' = {\left[ { - 7} \right]^2} - 3.8 = 49 - 23 = 25 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr & {x_1} = {{7 + 5} \over 3} = 4 \cr 

& {x_2} = {{7 - 5} \over 3} = {2 \over 3} \cr} \]

c] \[ - 7{x^2} + 4x = 3 \Leftrightarrow 7{x^2} - 4x + 3 = 0\]

Có hệ số a = 7; b’ = -2; c = 3

\[\Delta ' = {\left[ { - 2} \right]^2} - 7.3 = 4 - 21 =  - 17 < 0\]

Phương trình vô nghiệm

d] \[9{x^2} + 6x + 1 = 0\]

Có hệ số a = 9; b’ = 3; c = 1

\[\Delta ' = {3^2} - 9.1 = 9 - 9 = 0\]

Phương trình có nghiệm số kép: \[{x_1} = {x_2} = {{ - b} \over a} = {{ - 3} \over 9} =  - {1 \over 3}\]

Câu 28 trang 55 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau:

a] \[{x^2} + 2 + 2\sqrt 2 \] và \[2\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x\]

b] \[\sqrt 3 {x^2} + 2x - 1\] và \[2\sqrt 3 x + 3\]

c] \[ - 2\sqrt 2 x - 1\] và \[\sqrt 2 {x^2} + 2x + 3\]

d] \[{x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3 \] và \[2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \]

e] \[\sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x - 3\sqrt 3 \] và \[ - {x^2} - 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5  + 1\]?

Giải

a]

\[\eqalign{& {x^2} + 2 + 2\sqrt 2 = 2\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x + 2 + 2\sqrt 2 = 0 \cr & \Delta ' = {\left[ { - \left[ {1 + \sqrt 2 } \right]} \right]^2} - 1.\left[ {2 + 2\sqrt 2 } \right] \cr & = 1 + 2\sqrt 2 + 2 - 2 - 2\sqrt 2 = 1 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1 \cr & {x_1} = {{1 + \sqrt 2 + 1} \over 1} = 2 + \sqrt 2 \cr 

& {x_2} = {{1 + \sqrt 2 - 1} \over 1} = \sqrt 2 \cr} \]

Vậy với \[x = 2 + \sqrt 2 \] hoặc \[x = \sqrt 2 \] thì hai biểu thức bằng nhau.

b]

\[\eqalign{& \sqrt 3 {x^2} + 2x - 1 = 2\sqrt 3 x + 3 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + \left[ {2 - 2\sqrt 3 } \right]x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x - 4 = 0 \cr & \Delta ' = {\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]^2} - \sqrt 3 \left[ { - 4} \right] \cr & = 1 - 2\sqrt 3 + 3 + 4\sqrt 3 \cr & = 1 + 2\sqrt 3 + 3 = {\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]^2} > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]}^2}} = 1 + \sqrt 3 \cr & {x_1} = {{\sqrt 3 - 1 + 1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \cr 

& {x_2} = {{\sqrt 3 - 1 - 1 - \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{ - 2} \over {\sqrt 3 }} = {{ - 2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \]

Vậy với x = 2 hoặc \[x = {{ - 2\sqrt 3 } \over 3}\] thì hai biểu thức đó bằng nhau.

c]

\[\eqalign{& - 2\sqrt 2 x - 1 = \sqrt 2 {x^2} + 2x + 3 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + \left[ {2 + 2\sqrt 2 } \right]x + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + 2\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]x + 4 = 0 \cr & \Delta ' = {\left[ {1 + \sqrt 2 } \right]^2} - \sqrt 2 .4 \cr & = 1 + 2\sqrt 2 + 2 - 4\sqrt 2 \cr & = 1 - 2\sqrt 2 + 2 = {\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]^2} > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]}^2}} = \sqrt 2 - 1 \cr & {x_1} = {{ - 1 - \sqrt 2 + \sqrt 2 - 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ - 2} \over {\sqrt 2 }} = - \sqrt 2 \cr 

& {x_2} = {{ - 1 - \sqrt 2 - \sqrt 2 + 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ - 2\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 }} = - 2 \cr} \]

Vậy với \[x =  - \sqrt 2 \] hoặc \[x =  - 2\] thì hai biểu thức bằng nhau.

d]

\[\eqalign{& {x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3 = 2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + \left[ {2 + 2\sqrt 3 } \right]x + 2\sqrt 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]x + 2\sqrt 3 = 0 \cr & \Delta ' = {\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]^2} - 1.2\sqrt 3 \cr & = 1 + 2\sqrt 3 + 3 - 2\sqrt 3 = 4 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 4 = 2 \cr & {x_1} = {{ - 1 - \sqrt 3 + 2} \over 1} = 1 - \sqrt 3 \cr 

& {x_2} = {{ - 1 - \sqrt 3 - 2} \over 1} = - 3 - \sqrt 3 \cr} \]

Vậy với \[x = 1 - \sqrt 3 \] hoặc \[x =  - 3 - \sqrt 3 \] thì hai biểu thức bằng nhau.

e]

\[\eqalign{& \sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x - 3\sqrt 3 = - {x^2} - 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5 + 1 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\sqrt 3 + 1} \right]{x^2} + \left[ {2\sqrt 5 + 2\sqrt 3 } \right]x - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\sqrt 3 + 1} \right]{x^2} + 2\left[ {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right]x - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1 = 0 \cr & \Delta ' = {\left[ {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right]^2} - \left[ {\sqrt 3 + 1} \right]\left[ { - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1} \right] \cr & = 5 + 2\sqrt {15} + 3 + 9 + 2\sqrt {15} + \sqrt 3 + 3\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 1 \cr & = 18 + 4\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 4\sqrt {15} \cr & = 1 + 12 + 5 + 2.2\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \cr & = 1 + {\left[ {2\sqrt 3 } \right]^2} + {\left[ {\sqrt 5 } \right]^2} + 2.1.2\sqrt 3 + 2.1.\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \cr & = {\left[ {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right]^2} > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left[ {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right]}^2}} = 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 \cr & {x_1} = {{ - \left[ {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right] + 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} = {{1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1}} = 1 \cr & {x_2} = {{ - \left[ {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right] - 1 - 2\sqrt 3 - \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} = {{ - 1 - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \cr 

& = 4 - \sqrt 3 - \sqrt 5 - \sqrt {15} \cr} \]

Câu 29 trang 55 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Một vận động viên bơi lội nhảy cầu [xem hình 5]. Khi nhảy, độ cao h từ người đó tới mặt nước [tính bằng mét] phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu [tính bằng mét] bởi công thức:

\[h =  - {\left[ {x - 1} \right]^2} + 4\]

Hỏi khoảng cách x bằng bao nhiêu

a] Khi vận động viên ở độ cao 3m?

b] Khi vận động viên chạm mặt nước?

Giải

a] Khi h = 3m ta có:

\[\eqalign{& 3 = - {\left[ {x - 1} \right]^2} + 4 \Leftrightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} - 1 = 0 \cr 

& \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow x\left[ {x - 2} \right] = 0 \cr} \]

Suy ra: \[{x_1} = 0;{x_2} = 2.\] Vậy x = 0m hoặc x = 2m

b] Khi vận động viên chạm mặt nước ta có h = 0

\[\eqalign{& \Rightarrow - {\left[ {x - 1} \right]^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \cr & \Delta ' = {\left[ { - 1} \right]^2} - 1.\left[ { - 3} \right] = 1 + 3 = 4 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 4 = 2 \cr & {x_1} = {{1 + 2} \over 1} = 3 \cr 

& {x_2} = {{1 - 2} \over 1} = - 1 \cr} \]

Vì khoảng cách không âm. Vậy x = 3m

Giaibaitap.me

Page 26

Câu 30 trang 56 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Tính gần đúng nghiệm của phương trình [làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai]:

a] \[16{x^2} - 8x + 1 = 0\]

b] \[6{x^2} - 10x - 1 = 0\]

c] \[5{x^2} + 24x + 9 = 0\]

d] \[16{x^2} - 10x + 1 = 0\]

Giải

a]

\[\eqalign{& 16{x^2} - 8x + 1 = 0 \cr 

& \Delta ' = {\left[ { - 4} \right]^2} - 16.1 = 16 - 16 = 0 \cr} \]

Phương trình có nghiệm số kép: \[{x_1} = {x_2} = {4 \over {16}} = {1 \over 4} = 0,25\]

b] \[6{x^2} - 10x - 1 = 0\]

\[\eqalign{& \Delta ' = {\left[ { - 5} \right]^2} - 6.\left[ { - 1} \right] = 25 + 6 = 31 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {31} \cr & {x_1} = {{5 + \sqrt {31} } \over 6} \approx 1,76 \cr 

& {x_2} = {{5 - \sqrt {31} } \over 6} \approx - 0,09 \cr} \]

c]

\[\eqalign{& 5{x^2} + 24x + 9 = 0 \cr & \Delta ' = {\left[ {12} \right]^2} - 5.9 = 144 - 45 = 99 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {99} = 3\sqrt {11} \cr & {x_1} = {{ - 12 + 3\sqrt {11} } \over 5} \approx - 0,41 \cr 

& {x_2} = {{ - 12 - 3\sqrt {11} } \over 5} \approx - 4,39 \cr} \]

d]

\[\eqalign{& 16{x^2} - 10x + 1 = 0 \cr & \Delta ' = {\left[ { - 5} \right]^2} - 16.1 = 25 - 16 = 9 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr & {x_1} = {{5 + 3} \over {16}} = {8 \over {16}} = 0,5 \cr 

& {x_2} = {{5 - 3} \over {16}} = {2 \over {16}} = {1 \over 8} = 0,125 \cr} \]

Câu 31 trang 56 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Với giá trị nào của x thì giá trị của hai hàm số bằng nhau:

a] \[y = {1 \over 3}{x^2}\] và \[y = 2x - 3\]

b] \[y =  - {1 \over 2}{x^2}\] và \[y = x - 8\]?

Giải

a] \[{1 \over 3}{x^2} = 2x - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 9 = 0\]

\[\Delta ' = {\left[ { - 3} \right]^2} - 1.9 = 9 - 9 = 0\]

Phương trình có nghiệm số kép: \[{x_1} = {x_2} = 3\]

Vậy với x = 3 thì hàm số \[y = {1 \over 3}{x^2}\] và hàm số y = 2x – 3 có giá trị bằng nhau.

b] \[ - {1 \over 2}{x^2} = x - 8 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 16 = 0\]

\[\eqalign{& \Delta ' = {1^2} - 1.\left[ { - 16} \right] = 1 + 16 = 17 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {17} \cr & {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {17} } \over 1} = - 1 + \sqrt {17} \cr 

& {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {17} } \over 1} = - 1 - \sqrt {17} \cr} \]

Vậy với \[x = \sqrt {17}  - 1\] hoặc \[x =  - \left[ {1 + \sqrt {17} } \right]\] thì giá trị của hai hàm số \[y =  - {1 \over 2}{x^2}\] và y = x – 8 bằng nhau.

Câu 32 trang 56 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Với giá trị nào của m thì:

a] Phương trình \[2{x^2} - {m^2}x + 18m = 0\] có một nghiệm x = -3.

b] Phương trình \[m{x^2} - x - 5{m^2} = 0\] có một nghiệm x = -2?

Giải

a] x = -3 là nghiệm của phương trình \[2{x^2} - {m^2}x + 18m = 0\] [1]

Ta có:

\[\eqalign{& 2.{\left[ { - 3} \right]^2} - {m^2}\left[ { - 3} \right] + 18m = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{m^2} + 18m + 18 = 0 \cr & \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 6 = 0 \cr & \Delta ' = {3^2} - 1.6 = 9 - 6 = 3 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 3 \cr & {m_1} = {{ - 3 + \sqrt 3 } \over 1} = - 3 + \sqrt 3 \cr 

& {m_2} = {{ - 3 - \sqrt 3 } \over 1} = - 3 - \sqrt 3 \cr} \]

Vậy với \[m =  - 3 - \sqrt 3 \] hoặc \[m =  - 3 - \sqrt 3 \] thì phương trình [1] có nghiệm x = -3

b] x = -2 là nghiệm của phương trình \[m{x^2} - x - 5{m^2} = 0\]      [2]

Ta có: 

\[\eqalign{& m{\left[ { - 2} \right]^2} - \left[ { - 2} \right] - 5{m^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow 5{m^2} - 4m - 2 = 0 \cr & \Delta ' = {\left[ { - 2} \right]^2} - 5.\left[ { - 2} \right] = 4 + 10 = 14 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {14} \cr & {m_1} = {{2 + \sqrt {14} } \over 5} \cr 

& {m_2} = {{2 - \sqrt {14} } \over 5} \cr} \]

Vậy \[m = {{2 + \sqrt {14} } \over 5}\] hoặc \[m = {{2 - \sqrt {14} } \over 5}\] thì phương trình [2] có nghiệm x = -2

Câu 33 trang 56 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2

Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

a] \[{x^2} - 2\left[ {m + 3} \right]x + {m^2} + 3 = 0\]

b] \[\left[ {m + 1} \right]{x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0\]

Giải

a] Phương trình \[{x^2} - 2\left[ {m + 3} \right]x + {m^2} + 3 = 0\] có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \[\Delta ' > 0\]

\[\eqalign{& \Delta ' = {\left[ { - \left[ {m + 3} \right]} \right]^2} - 1\left[ {{m^2} + 3} \right] \cr & = {m^2} + 6m + 9 - {m^2} - 3 = 6m + 6 \cr 

& \Delta ' > 0 \Rightarrow 6m + 6 > 0 \Leftrightarrow 6m > - 6 \Leftrightarrow m > - 1 \cr} \]

Vậy với m > -1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b] Phương trình: \[\left[ {m + 1} \right]{x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0\] có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m + 1 ≠ 0 và \[\Delta ' > 0\]

\[\eqalign{& m + 1 \ne 0 \Rightarrow m \ne - 1 \cr & \Delta ' = {\left[ {2m} \right]^2} - \left[ {m + 1} \right]\left[ {4m - 1} \right] \cr & = 4{m^2} - 4{m^2} + m - 4m + 1 = 1 - 3m \cr 

& \Delta ' > 0 \Rightarrow 1 - 3m > 0 \Leftrightarrow 3m < 1 \Leftrightarrow m < {1 \over 3} \cr} \]

Vậy với \[m < {1 \over 3}\] và m ≠ -1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Giaibaitap.me