Giải bài 4.1, 4.2, 4.3 phần bài tập bổ sung trang 12, 13 sách bài tập toán 9. Giải hệ phương trình: a] 3/x + 5/y = - 3/2 và 5/x - 2/y = 8/3; b] 2/[x + y - 1] - 4/[x - y + 1] = -14/5 và 3/[x + y - 1] + 2/[x - y + 1] = -13/ 5; ...
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Bài 4.1
Giải các hệ phương trình:
\[a]\left\{ {\matrix{ \displaystyle {{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr \displaystyle{{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\]
\[b]\left\{ {\matrix{\displaystyle {{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr \displaystyle {{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:
+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa
+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ
+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt [sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số]
+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết:
\[a]\left\{ {\matrix{\displaystyle {{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr \displaystyle {{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\]
Điều kiện: \[x \ne 0;y \ne 0\].
Đặt \[\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b \ \] \[[a \ne 0;b \ne 0]\]
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
\[\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {3a + 5b = - \displaystyle{3 \over 2}} \cr {5a - 2b = \displaystyle{8 \over 3}} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {6a + 10b = - 3} \cr {15a - 6b = 8} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {30a + 50b = - 15} \cr {30a - 12b = 16} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {62b = - 31} \cr {6a + 10b = - 3} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = - \displaystyle{1 \over 2}} \cr {6a + 10.\displaystyle\left[ { - {1 \over 2}} \right] = - 3} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = -\displaystyle {1 \over 2}} \cr {6a = 2} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = - \displaystyle{1 \over 2}} \cr {a = \displaystyle{1 \over 3}} \cr} } \right. \text {[thoả mãn]} \cr} \]
Suy ra:
\[\left\{ {\matrix{\displaystyle {{1 \over x} = {1 \over 3}} \cr \displaystyle{{1 \over y} = - {1 \over 2}} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 3} \cr {y = - 2} \cr} } \right. \text {[thoả mãn]}\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \[[x; y] = [3; -2]\].
\[b]\left\{ {\matrix{\displaystyle {{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr \displaystyle{{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\]
Điều kiện: \[x + y - 1 \ne 0;x - y + 1 \ne 0\]
Đặt \[\displaystyle{1 \over {x + y - 1}} = a;{1 \over {x - y + 1}} = b\]
\[[a \ne 0;b \ne 0]\]
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
\[\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {2a - 4b = - \displaystyle{{14} \over 5}} \cr {3a + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {2a - 4b = -\displaystyle {{14} \over 5}} \cr {6a + 4b = - \displaystyle{{26} \over 5}} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {8a = - 8} \cr {3a + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = - 1} \cr { 3.[-1] + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = - 1} \cr {b = \displaystyle{1 \over 5}} \cr} } \right.\text {[thoả mãn]} \cr} \]
Suy ra:
\[\eqalign{ & \left\{ {\matrix{\displaystyle {{1 \over {x + y - 1}} = - 1} \cr \displaystyle{{1 \over {x - y + 1}} = {1 \over 5}} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x + y - 1 = - 1} \cr {x - y + 1 = 5} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x + y = 0} \cr {x - y = 4} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {2x = 4} \cr {x - y = 4} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 2} \cr {2 - y = 4} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 2} \cr {y = - 2} \cr} } \right. \text {[thoả mãn]} \cr} \]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \[[x; y] = [2; -2].\]
Bài 4.2
Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
\[a]\] Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \[M[-3; 1]\] và \[N[1; 2]\]
\[b]\] Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \[M\left[ {\sqrt 2 ;1} \right]\] và \[N\left[ {3;3\sqrt 2 - 1} \right]\]
\[c]\] Đồ thị đi qua điểm \[M[-2; 9]\] và cắt đường thẳng \[[d]: 3x – 5y = 1\] tại điểm có hoành độ bằng \[2.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức \[y = ax + b,\] trong đó \[a, b\] là những số cho trước và \[a \ne 0.\]
- Đường thẳng \[ax+by=c\] đi qua điểm \[M[x_0;y_0]\] \[ \Leftrightarrow ax_0+by_0=c\].
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Lời giải chi tiết:
Hàm số bậc nhất có dạng \[y = ax + b\] \[ [a \ne 0].\]
\[a]\] Đồ thị của hàm số \[y = ax + b\] đi qua điểm \[M[-3; 1]\] nên ta có \[1 = -3a + b\]
Đồ thị của hàm số \[y = ax + b\] đi qua điểm \[N[1; 2]\] nên ta có \[2 = a + b\]
Khi đó \[a\] và \[b\] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ { - 3a + b = 1} \cr {a + b = 2} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {4a = 1} \cr {a + b = 2} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = \displaystyle{1 \over 4}} \cr {\displaystyle{1 \over 4} + b = 2} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a =\displaystyle {1 \over 4}} \cr {b =\displaystyle {7 \over 4}} \cr} } \right. \cr} \]
Ta thấy \[a=\displaystyle {1 \over 4}\] thoả mãn điều kiện \[ a \ne 0\]
Vậy hàm số cần tìm là \[y = \displaystyle{1 \over 4}x + {7 \over 4}.\]
\[b]\] Đồ thị của hàm số \[y = ax + b\] đi qua điểm \[M\left[ {\sqrt 2 ;1} \right]\] nên ta có \[1 = a\sqrt 2 + b\]
Đồ thị của hàm số \[y = ax + b\] đi qua điểm \[N\left[ {3;3\sqrt 2 - 1} \right]\] nên ta có \[3\sqrt 2 - 1 = 3a + b\]
Khi đó \[a\] và \[b\] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {a\sqrt 2 + b = 1} \cr {3a + b = 3\sqrt 2 - 1} \cr } } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {\left[ {3 - \sqrt 2 } \right]a = 3\sqrt 2 - 2} \cr {a\sqrt 2 + b = 1} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {\left[ {3 - \sqrt 2 } \right]a = \sqrt 2 \left[ {3 - \sqrt 2 } \right]} \cr {a\sqrt 2 + b = 1} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = \sqrt 2 } \cr {{{\left[ {\sqrt 2 } \right]}^2} + b = 1} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = \sqrt 2 } \cr {2 + b = 1} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {a = \sqrt 2 } \cr {b = - 1} \cr} } \right. \cr} \]
Ta thấy \[a=\sqrt 2\] thoả mãn điều kiện \[ a \ne 0\]
Vậy hàm số cần tìm là \[y = \sqrt 2 x - 1\]
\[c]\] Do đồ thị của hàm số \[y = ax + b\] cắt đường thẳng \[[d]: 3x – 5y = 1\] tại điểm \[N\] có hoành độ bằng \[2\] nên \[N[2;y]\].
Điểm \[N\] nằm trên đường thẳng \[[d]: 3x – 5y = 1\] nên ta có \[3.2 - 5y = 1 \Leftrightarrow - 5y = - 5 \Leftrightarrow y = 1\]
Suy ra \[N[ 2; 1.]\]
Đồ thị của hàm số \[y = ax + b\] đi qua điểm \[M[-2; 9]\] nên ta có \[9 = -2a + b\]
Đồ thị của hàm số \[y = ax + b\] đi qua điểm \[N[2; 1]\] nên ta có \[1 =2a + b\]
Khi đó \[a\] và \[b\] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ { - 2a + b = 9} \cr {2a + b = 1} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {2b = 10} \cr {2a + b = 1} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = 5} \cr {2a + 5 = 1} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = 5} \cr {2a = - 4} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = 5} \cr {a = - 2} \cr} } \right. \cr} \]
Ta thấy \[a=- 2\] thoả mãn điều kiện \[ a \ne 0\]
Vậy hàm số cần tìm là \[y = - 2x + 5.\]
Bài 4.3
Giải hệ phương trình:
\[\left\{ {\matrix{\displaystyle {{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr \displaystyle{{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr \displaystyle{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr} } \right.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:
+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa
+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ
+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt
+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[x \ne - y;y \ne - z;z \ne - x\]
Từ hệ phương trình đã cho suy ra: \[x \ne 0;y \ne 0;z \ne 0\]
Do đó
\[\left\{ {\matrix{\displaystyle {{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr \displaystyle{{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr \displaystyle{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr } } \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle {{{x + y} \over {xy}} = {3 \over 2}} \cr \displaystyle{{{y + z} \over {yz}} = {5 \over 6}} \cr \displaystyle{{{z + x} \over {zx}} = {4 \over 3}} \cr} } \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle {{1 \over x} + {1 \over y} = {3 \over 2}} \cr \displaystyle{{1 \over y} + {1 \over z} = {5 \over 6}} \cr \displaystyle{{1 \over z} + {1 \over x} = {4 \over 3}} \cr} } \right.\]
Đặt \[\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b;{1 \over z} = c\] \[[a,b,c \ne 0]\]
Khi đó hệ phương trình trên trở thành:
\[\left\{ {\matrix{ {a + b = \displaystyle{3 \over 2}} \cr {b + c = \displaystyle{5 \over 6}} \cr {c + a =\displaystyle {4 \over 3}} \cr} } \right.\]
Cộng từng vế của ba phương trình trong hệ ta được:
\[\eqalign{ & a + b + b + c + c + a = {3 \over 2} + {5 \over 6} + {4 \over 3} \cr & \Leftrightarrow 2\left[ {a + b + c} \right] = {9 \over 6} + {5 \over 6} + {8 \over 6} \cr & \Leftrightarrow a + b + c = {{11} \over 6} \cr & \Rightarrow a = \left[ {a + b + c} \right] - \left[ {b + c} \right] \cr& = {{11} \over 6} - {5 \over 6} = 1 \cr & b = \left[ {a + b + c} \right] - \left[ {c + a} \right] \cr& = {{11} \over 6} - {4 \over 3} = {{11} \over 6} - {8 \over 6} = {1 \over 2} \cr & c = \left[ {a + b + c} \right] - \left[ {a + b} \right] \cr& = {{11} \over 6} - {3 \over 2} = {{11} \over 6} - {9 \over 6} = {1 \over 3} \cr} \]
Ta thấy \[a=1;b=\displaystyle {1 \over 2};c={1 \over 3}\] thoả mãn điều kiện \[a,b,c \ne 0\].
Do đó
\[\left\{ {\matrix{\displaystyle {{1 \over x} = 1} \cr \displaystyle{{1 \over y} = {1 \over 2}} \cr \displaystyle{{1 \over z} = {1 \over 3}} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 1} \cr {y = 2} \cr {z = 3} \cr} } \right. \text{[thoả mãn]}\]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \[[x; y; z] = [1; 2; 3].\]
Loigiaihay.com
- Bài 34* trang 12 SBT toán 9 tập 2 Giải bài 34 trang 12 sách bài tập toán 9. Hãy giải các hệ phương trình sau: a]3x + 5y = 34; 4x - 5y = - 13 và 5x - 2y = 5; ...
- Bài 33 trang 12 SBT toán 9 tập 2 Giải bài 33 trang 12 sách bài tập toán 9. Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng quy: [d_1]: 5x + 11y = 8; [d_2]: 10x - 7y = 74; [d_3]: 4mx + [2m - 1]y = m + 2.
- Bài 32 trang 12 SBT toán 9 tập 2 Giải bài 32 trang 12 sách bài tập toán 9. Tìm giá trị của m để đường thẳng [d]: y = [2m - 5]x - 5m đi qua giao điểm của hai đường thẳng [d_1]:2x + 3y =7 và [d_2]:3x + 2y = 13.
- Bài 31 trang 12 SBT toán 9 tập 2 Giải bài 31 trang 12 sách bài tập toán 9. Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình [x + 1]/3 - [y + 2]/4 = 2[x - y]/5 và [x - 3]/4 - [y - 3]/3 = 2y - x cũng là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1. Bài 30 trang 11 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 30 trang 11 sách bài tập toán 9. Giải các hệ phương trình sau theo hai cách [cách thứ nhất: đưa hệ phương trình về dạng ax+by=c và a'x+b'y=c;cách thứ hai: đặt ẩn phụ,