Ví dụ. Cho A = {1, 2, 3} và B = {x, y}. Khi đó A × B = {[1, x], [1, y], [2, x], [2, y], [3, x], [3, y]}
Câu hỏi. Nếu |A| = n và |B| = m thì |A × B| =? Đáp án. n × m. Khái niệm tích Descartes cũng được mở rộng cho hữu hạn tập hợp, nghĩa là A 1 × A 2 × · · · × A k = {[x 1 , x 2 , . . . , x k ] | x i ∈ A i , ∀i = 1, k}
2.2. Ánh xạ 1 Định nghĩa ánh xạ 2 Ánh xạ hợp 3 Ảnh và ảnh ngược 4 Các loại ánh xạ 5 Ánh xạ ngược
2.2.1. Định nghĩa Định nghĩa. Một ánh xạ f từ tập X vào tập Y là một phép liên kết từ X vào Y sao cho mỗi phần tử x của X được liên kết duy nhất với một phần tử y của Y, ký hiệu: y = f [x] f : X → Y x → y = f [x].
Khi đó X được gọi là tập nguồn, Y được gọi là tập đích.
Ví dụ.
- Ánh xạ đồng nhất trên X Id X : X → X x → x.
- Xét ánh xạ pr A : A × B → A [a, b] → a. Khi đó pr A được gọi là phép chiếu thứ nhất
Nhận xét. Nếu X, Y là tập hợp các số [chẳng hạn, ∅ =X, Y ⊂ R] thì f : X → Y còn được gọi là hàm số. Như vậy, hàm số chính là một trường hợp riêng của ánh xạ. Định nghĩa. Hai ánh xạ f, g được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tập nguồn, có cùng tập đích và ∀x ∈ X, f [x] = g[x].
Nhận xét. Vậy f ≠ g ⇔ ∃x ∈ X, f [x] ≠ g[x].
Ví dụ. Xét ánh xạ f [x] = [x − 1][x + 1] và g[x] = x 2 − 1 từ R vào R. Ta có f = g. Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f [x] = 3x + 4 và g[x] = 4x + 3. Hỏi f = g không? Giải. Vì f [0] ≠ g[0] nên f ≠ g.
2.2.2. Ánh xạ hợp Định nghĩa. Cho f : X → Y và g : Y → Z, lúc đó g ◦ f : X → Z là ánh xạ hợp của g và f , được xác định bởi g ◦ f [x] = g[f [x]].
Tính chất. Cho ánh xạ f : X → Y. Khi đó
- f ◦ Id X = f ii] Id Y ◦ f = f Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f [x] = x + 2 và g[x] = 3x − 1. Xác định g ◦ f và f ◦ g.
Giải.
- Với mọi x ∈ R ta có g ◦ f [x] = g[f [x]] = g[x + 2] = 3[x + 2] − 1 = 3x + 5. Vậy ánh xạ g ◦ f : R → R được xác định bởi g ◦ f [x] = 3x + 5. ii] Với mọi x ∈ R ta có f ◦ g[x] = f [g[x]] = f [3x − 1] = [3x − 1] + 2 = 3x + 1. Vậy ánh xạ f ◦ g : R → R được xác định bởi f ◦ g[x] = 3x + 1.
Ví dụ.[tự làm] Cho f, g : R → R xác định bởi f [x] = x2 − 1 và g[x] = 2 − 3x. Xác định g ◦ f và f ◦ g.
Ví dụ.[tự làm] Cho hai hàm số f, g : R → R với f [x] = 2x + 3 và f ◦ g[x] = 4x + 1. Tìm g[x]?
2.2.3. Ảnh và ảnh ngược
Định nghĩa. Cho f : X → Y ,
- Cho A ⊂ X, ảnh của A bởi f là tập f [A] = {f [x] | x ∈ A} ⊂ Y ;
- Cho B ⊂ Y , ảnh ngược của B bởi f là tập f −1 [B] = {x ∈ X | f [x] ∈ B} ⊂ X.
Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f [x] = x2 + 1. Hãy tìm
- f [[1, 3]]; f [[−2, −1]]; f [[−1, 3]]; f [[1, 5]];
- f −1 [1]; f −1 [2]; f −1 [−5]; f −1 [[2, 5]]?
- Ta ký hiệu Im[f ] = f [X], gọi là ảnh của f .
Đáp án.
- f [[1, 3]] = [2, 10]; f [[−2, −1]] = [2, 5]; f [[−1, 3]] = [1, 10]; f [[1, 5]] = [2, 26].
- f −1 [1] = {0}; f −1 [−5] = ∅; f −1 [2] = {−1, 1}; f −1 [[2, 5]] = [−2, −1] ∪ [1, 2]. Ví dụ.[tự làm] Cho f : R → R được xác định f [x] = x 2 − 2x + 3. Hãy tìm
- f [[1, 5]]; f [[−5, −2]]; f [[−3, 3]]; f [[0, 5]];
- f −1 [1]; f −1 [3]; f −1 [−5]; f −1 [[3, 11]]?
2.2.4. Các loại ánh xạ Định nghĩa. Cho ánh xạ f : X → Y. Ta nói f đơn ánh nếu “∀x 1 , x 2 ∈ X, x 1 6 = x 2 → f [x 1 ] 6 = f [x 2 ]”, nghĩa là hai phần tử khác nhau bất kỳ trong X thì có ảnh khác nhau trong Y.
Mệnh đề. Cho ánh xạ f : X → Y. Khi đó:
- f đơn ánh ⇔ “∀x 1 , x 2 ∈ X, f [x 1 ] = f [x 2 ] → x 1 = x 2 ”. ii] f không đơn ánh ⇔ “∃x 1 , x 2 ∈ X, x 1 ≠x 2 ∧ f [x 1 ] = f [x 2 ]”.
Chứng minh. i] Sử dụng luật logic p → q ⇔ ¬q → ¬p. ii] Sử dụng luật logic ¬[p → q] ⇔ p ∧ ¬q.
Ví dụ. Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi f [x] = x + 3. Xét tính đơn ánh của f. Giải. Với mọi x 1 , x 2 ∈ R, nếu x 1 ≠ x 2 thì x 1 + 3 ≠ x 2 + 3 nên f [x 1 ] ≠ f [x 2 ]. Do đó f là đơn ánh. Ví dụ. Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi f [x] = x 3 + x. Xét tính đơn ánh của f.
Giải. Với mọi x 1 , x 2 ∈ R,
Do đó f là đơn ánh.
Ví dụ. Cho ánh xạ f : R → R xác định bởi f [x] = x 2 + x. Xét tính đơn ánh của f. Giải. Ta có f [−1] = f [0] = 0 mà −1 ≠ 0. Do đó f không là đơn ánh.
Định nghĩa. Cho ánh xạ f : X → Y. Ta nói f toàn ánh nếu “∀y ∈ Y, ∃x ∈ X sao cho y = f [x]”, nghĩa là mọi phần tử thuộc Y đều là ảnh của ít nhất một phần tử thuộc X.
Ví dụ.
- Cho f : R → R được xác định f [x] = x 3 + 1 là toàn ánh.
- Cho g : R → R được xác định g[x] = x 2 + 1 không là toàn ánh. Mệnh đề. Cho ánh xạ f : X → Y. Khi đó,
- f là toàn ánh ⇔ với mọi y ∈ Y, phương trình y = f [x] có nghiệm ii] f không là toàn ánh ⇔ tồn tại y 0 ∈ Y sao cho phương trình y 0 = f [x] vô nghiệm Ví dụ. Cho f : R → R xác định bởi f [x] = x 2 − 3x + 5. Hỏi f có toàn ánh không? Giải. Với y = 0 ta có phương trình y = f [x] vô nghiệm. Suy ra f không toàn ánh.
Định nghĩa. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh nghĩa là ∀y ∈ Y, ∃! x ∈ X : f [x] = y
Ví dụ.
- f : R → R được xác định f [x] = x 3 + 1 là song ánh
- g : R → R được xác định g[x] = x 2 + 1 không là song ánh Ví dụ. Cho f : R → R xác định bởi f [x] = x + 3. Hỏi f có song ánh không?
Ví dụ.[tự làm] Cho f : N → N xác định bởi f [x] = 2x + 1. Hỏi f có song ánh không? Ví dụ.[tự làm] Cho f : Z → Z xác định bởi f [x] = x + 5. Hỏi f có song ánh không? Tính chất. Cho ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z. Khi đó [i] f, g đơn ánh ⇒ g ◦ f đơn ánh ⇒ f đơn ánh; [ii] f, g toàn ánh ⇒ g ◦ f toàn ánh ⇒ g toàn ánh; [iii] f, g song ánh ⇒ g ◦ f song ánh ⇒ f đơn ánh, g toàn ánh.
2.2.5. Ánh xạ ngược Định nghĩa. Cho f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mọi y ∈ Y , tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X thỏa f [x] = y. Do đó tương ứng y 7→ x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta gọi đây là ánh xạ ngược của f và ký hiệu f −1 . Như vậy:
f −1 : Y → X y → x với f [x] = y.Ví dụ. Cho f là ánh xạ từ R vào R xác định bởi f [x] = x + 4. Chứng tỏ f song ánh và tìm f −1 ? Đáp án. f −1 [y] = y − 4.
Ví dụ. Cho f : [0; 2] → [0; 4] x → x 2 f −1 : [0; 4] → [0; 2] y→ √y
Định lý. Cho ánh xạ f : X → Y. Khi đó, nếu ∀y ∈ Y , phương trình f [x] = y [theo ẩn x] có duy nhất một nghiệm thì f là song ánh. Hơn nữa, nếu nghiệm đó là x 0 thì f −1 [y] = x 0 . Ví dụ. Cho f : R → R xác định bởi f [x] = 5x − 3. Hỏi f có song ánh không? Giải. Với mọi y ∈ R, ta xét phương trình ẩn x sau y = f [x] ⇔ y = 5x − 3 ⇔ x = [y +3]/5 Như vậy, phương trình có nghiệm duy nhất, suy ra f là song ánh. Hơn nữa
Mệnh đề. Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai song ánh. Khi đó: [i] f −1 cũng là một song ánh và [f −1 ] −1 = f ; [ii] [g ◦ f ] −1 = f −1 ◦ g −1
Mệnh đề. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → X. Nếu g ◦ f = Id X , f ◦ g = Id Y thì f là song ánh và g là ánh xạ ngược của f.