thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu: Phương pháp chứng minh phản chứng .
Tài liệu này xin được trình bày về một phương pháp chứng minh kinh điển. Đây là một phương pháp chứng minh hiệu quả ở nhiều chủ đề Đại số, Số học, Hình học và Tổ hợp.
Trích dẫn tài liệu
Mở đầu về phươn pháp chứng minh phản chứng Phương pháp chứng minh phản chứng được tiến hành theo hai bước sau Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh là sai [ phủ định lại mệnh đề cần chứng minh]
Bước 2: Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những tính chất mới này mâu thuẫn với điều đã cho hoặc trái với tính chất đã biết.
Tài liệu
Tài liệu cùng chủ đề:
Các phương pháp chứng minh bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Nguyên Tất Thu: Tải tại đây.
THEO THUVIENTOAN.NET
1. Phương pháp chứng minh quy nạp
Để chứng minh mệnh đề M[n] đúng với mọi số tự nhiên $n\geq n_{0}[n_{0}$ là số tự nhiên cho trước], ta thực hiện các bước sau:
- Chứng minh mệnh đề đúng với $n = n_{0}$, tức là M[$n_{0}$] đúng.
- Giả sử M[n] đúng với số tự nhiên n = $k\geq n_{0}$, tức là M[k] đúng. Hãy chứng minh M[n] đúng với n = k+1, tức là M[k+1] đúng.
Khi đó mệnh đề M[n] đúng với mọi số tự nhiên $n\geq n_{0}$
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi $n\in N*$ ta luôn có:
a] $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n[n+1][2n+1]}{6}$
b] $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\left [ \frac{n[n+1]}{2} \right ]^{2}$
Hướng dẫn:
a] Với n=1 mệnh đề đúng vì $1^{2}\frac{1[1+1][2.1+1]}{6}$
Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là:
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}=\frac{k[k+1][2k+1]}{6}$
Ta sẽ chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k+1, tức là chứng minh:
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+[k+1]^{2}=\frac{[k+1][k+2][2k+3]}{6}$
Thật vậy:
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}+[k+1]^{2}=\frac{k[k+1][2k+1]}{6}+[k+1]^{2}=\frac{k[k+1][2k+1]+6[k+1]^{2}}{6}$
= $\frac{[k+1][2k^{2}+7k+6]}{6}=\frac{[k+1][k+2][2k+3]}{6}$
Vậy mệnh đề đúng với mọi $n\in N*$
b] Với n = 1 mệnh đề đúng vì $1^{3}=\left [ \frac{1[1+1]}{2} \right ]^{2}$
Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}=\left [ \frac{k[k+1]}{2} \right ]^{2}$
Ta sẽ chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k+1, tức là chứng minh:
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+[k+1]^{3}=\left [ \frac{[k+1][k+2]}{2} \right ]^{2}$
Thật vậy:
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+k^{3}+[k+1]^{3}=\left [ \frac{k[k+1]}{2} \right ]^{2}+[k+1]^{3}$
= $\frac{[k[k+1]]^{2}+4[k+1]^{3}}{4}=\frac{[k+1]^{2}[k^{2}+4k+4]}{4}=\left [ \frac{[k+1][k+2]}{2} \right ]^{2}$
Vậy mệnh đề đúng với mọi $n\in N*$
2. Phương pháp chứng minh phản chứng
Giả sử cần chứng minh mệnh đề A $\rightarrow $ B [A là giả thiết, B là kết luận] là đúng.
Muốn chứng minh bằng phương pháp phản chứng ta phủ định mệnh đề cần chứng minh rồi từ đó suy ra sự vô lí.
Vì $\overline{A\Rightarrow B}=A\wedge \bar{B}$ nên để phủ định mệnh đề cần chứng minh ta ghép giả thiết và phủ định của kết luận
Sự vô lí có thể là điều trái với giả thiết, có thể trái với điều đúng [định nghĩa, định lí, mệnh đề đúng đã được chứng minh, ...] và có thể là điều vô lí do hai điều trái ngược nhau.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:
$ax^{2}+2bx+c=0; bx^{2}+2cx+a=0;cx^{2}+2ax+b=0$
Hướng dẫn:
Giả sử cả ba phương trình đều vô nghiệm. Khi đó:
$\Delta _{1}'=b^{2}-ac