CHUYÊN ĐỀ HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN
1. Khái niệm hình thang
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song
2. Hình thang vuông
Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông
3. Hình thang cân
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
3.1. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
1. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
2. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
3.2. Cách chứng minh 1 hình thang là hình thang cân
Cách 1 : Chứng minh hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau → hình thang đó là hình thang cân.
Cách 2 : Chứng mình hình thang đó có hai đường chéo bằng nhau → hình thang đó là hình thang cân.
3.3. Cách chứng minh 1 tứ giác là hình thang cân
Bước 1 : Chứng minh tứ giác đó là hình thang → Chứng minh tứ giác đó có 2 cạnh song song với nhau → dựa vào các cách chứng minh song song như : Hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc so le trong bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau hoặc định lý từ vuông góc đến song song.
Bước 2 : Chứng minh hình thang đó là hình thang cân theo 2 cách ở mục 3.2.
B. BÀI TẬP
Bài toán 1 : Hình thang ABCD [AB//CD] có A – D = 20o, B = 2C . Tính các góc của hình thang.
Giải.
Vì ABCD là hình thang [AB//CD], nên ta có :
B + C = 180o [hai góc trong cùng phía bù nhau]
2C + C = 180o [ vì B = 2C]
3C = 180o → C = 60o → B = 2.60o = 120o
A – D = 20o → A = 20 + D
A + D = 180o [hai góc trong cùng phía bù nhau]
20 + D + D = 180
2D = 160 → D = 80 →à A = 20 + 80 = 100
Vậy A = 100 ; B = 120 ; C = 60 ; D = 80.
Bài toán 2 : Tính các góc của hình thang ABCD [AB // CD] biết A = 3D và B – C = 30.
Gợi ý : Vẽ hình tượng trưng và làm như bài toán 1.
Bài toán 3 : Tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng từ giác ABCD là hình thang.
Gợi ý :
AB = BC để làm gì?
AC là tia phân giác để làm gì?
Bài toán 4 : Tứ giác ABCD có BC = CD và BD là tia phân giác của góc D. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Gợi ý : vẽ hình và làm tương tự bài toán 3.
Cách chứng minh một tứ giác là hình thang à chứng minh 2 cạnh song song à 2 góc đồng vị bằng nhau, so le trong bằng nhau hoặc trong cùng phía bù nhau.
Bài toán 5 : Tính các góc của hình thang ABCD biết A = 60o và C = 130o.
Xem thêm: Nhân Viên Chăm Sóc Khách Hàng Fe Credit Tuyển Dụng, Liên Hệ Bộ Phận Tuyển Dụng
Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 8 Bài 2: Hình thang giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Lời giải:
Ta có: AB // CD ⇒ A + D = 180o [hai góc trong cùng phía]
Ta có: A = 3D [gt]
⇒ 3D + D = 180o ⇒ D = 45o ⇒ A = 3.45o = 135o
B + C = 180o [hai góc trong cùng phía]
B – C = 30o [gt]
⇒ 2B = 210o ⇒ B = 105o
C = B – 30o = 105o – 30o = 75o
Lời giải:
ΔBCD có BC = CD [gt] nên ΔBCD cân tại C.
⇒ ∠B1= ∠D1[tính chất tam giác cân]
Mà ∠D1= ∠D2[gt]
Suy ra: ∠B1= ∠D2
Do đó: BC // AD [vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau]
Vậy ABCD là hình thang.
a. Tứ giác ở hình [1] chỉ có mấy cặp cạnh đối song song?
b. Tứ giác ở hình [3] có mấy cặp cạnh đối song song?
c. Tứ giác ở hình nào là hình thang?
Lời giải:
a. Tứ giác ở hình [1] chỉ có 1 cặp cạnh đối song song.
b. Tứ giác ở hình [3] có hai cặp cạnh đối song song.
c. Tứ giác ở hình [1] và hình [3] là hình thang.
Lời giải:
Trong hình thang ABCD, ta có A và C là hai góc đối nhau.
a. Trường hợp A và B là 2 góc kề với cạnh bên.
⇒ AB // CD
A + B = 180o [hai góc trong cùng phía bù nhau]
⇒ B = 180o – A = 180o – 60o = 120o
C + D = 180o [hai góc trong cùng phía bù nhau]
⇒ D = 180o – C = 180o – 130o = 50o
b. Trường hợp A và D là 2 góc kề với cạnh bên.
⇒ AB // CD
A + D = 180o [hai góc trong cùng phía bù nhau]
⇒ D = 180o – A = 180o – 60o = 120o
C + B = 180o [hai góc trong cùng phía bù nhau]
⇒ B = 180o – C = 180o – 130o = 50o
Lời giải:
Xét hình thang ABCD có AB //CD.
Ta có:
* ∠A và ∠D là hai góc kề với cạnh bên
⇒ ∠A + ∠D = 180o [2 góc trong cùng phía] nên trong hai góc đó có nhiều nhất 1 góc nhọn và có nhiều nhất là 1 góc tù.
* ∠B và ∠C là hai góc kề với cạnh bên
⇒ ∠B + ∠C = 180o [2 góc trong cùng phía] nên trong hai góc đó có nhiều nhất 1 góc nhọn và có nhiều nhất là 1 góc tù.
Vậy trong bốn góc là A, B, C, D có nhiều nhất là hai góc tù và có nhiều nhất là hai góc nhọn.
Lời giải:
Giả sử hình thang ABCD có AB // CD
* Ta có: ∠A1= ∠A2= 12 ∠A [gt]
∠D1= ∠D2= 12 ∠D [gt]
Mà ∠A + ∠D = 180o [2 góc trong cùng phía bù nhau]
Suy ra: ∠A1+ ∠D1= 12 [∠A1+ ∠D1] = 90o
* Trong ΔAED, ta có:
[AED] + ∠A1+ ∠D1= 180o [tổng 3 góc trong tam giác]
⇒ [AED] = 180o – [∠A1+ ∠D1] = 180o – 90o
Vậy AE ⊥ DE.
a. Tìm các hình thang trong hình vẽ.
b. Chứng minh rằng hình thang BDEC có một đáy bằng tổng hai cạnh bên.
Lời giải:
a. Đường thẳng đi qua I song song với BC cắt AB tại D và AC tại E, ta có các hình thang sau: BDEC, BDIC, BIEC
b. DE // BC [theo cách vẽ]
⇒ ∠I1= ∠B1[hai góc so le trong]
Mà ∠B1= ∠B2[gt]
Suy ra: ∠I1= ∠B2
Do đó: ΔBDI cân tại D ⇒ DI = DB [1]
Ta có: ∠I2= ∠C1[so le trong]
∠C1= ∠C2[gt]
Suy ra: ∠I1= ∠C2do đó: ΔCEI cân tại E
⇒ IE = EC [2]
DE = DI + IE [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra: DE = BD + CE
Lời giải:
Vì ΔABC vuông cân tại A nên ∠C1= 45o
Vì ΔBCD vuông cân tại B nên ∠C2= 45o
∠[ACD] = ∠C1+ ∠C2= 45o + 45o = 90o
⇒ AC ⊥ CD
Mà AC ⊥ AB [gt]
Suy ra: AB //CD
Vậy tứ giác ABCD là hình thang vuông.
Lời giải:
Kẻ BH ⊥ CD
Ta có: AD ⊥ CD [gt]
Suy ra: BH // AD
Hình thang ABHG có hai cạnh bên song song nên HD = AB và BH = AD
AB = AD = 2cm [gt]
⇒ BH = HD = 2cm
CH = CD – HD = 4 – 2 = 2 [cm]
Suy ra: ΔBHC vuông cân tại H ⇒ ∠C = 45o
∠B + ∠C = 180o [2 góc trong cùng phía] ⇒ ∠B = 180o – 45o = 135o
Lời giải:
Giả sử hình thang ABCD có AB // CD
Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E.
Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = ED và AD = BE
Ta có: CD – AB = CD – ED = EC [1]
Trong ΔBEC ta có:
BE + BC > EC [bất đẳng thức tam giác]
Mà BE = AD
Suy ra: AD + BC > EC [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AD + BC > CD – AB
Lời giải:
Trên hình vẽ có tất cả 10 hình thang.
Đó là: ABCD, ABEF, ABGH, ABIK, DCEF, DCGH, DCIK, FEGH, FEIK, HGIK
A. ∠[A ] = 45o
B. ∠[B ] = 45o
C. ∠[C ] = 45o
D. ∠[D ] = 60o
Lời giải:
Chọn C. [D ] = 45o
Lời giải:
Hình thang ABCD có AB // CD
⇒ có ∠A + ∠D = 180o [hai góc trong cùng phía bù nhau]
∠A – ∠D = 40o [gt]
⇒ 2∠A = 220o ⇒ ∠A = 110o
∠D = ∠A – 40o = 110o – 40o = 70o
∠A = 2∠C [gt]
⇒ ∠C = ∠A /2 = 110o : 2 = 55o
∠B + ∠C = 180o [hai góc trong cùng phía bù nhau]
⇒B = 180o– ∠C = 180o – 55o = 125o
a. Chứng minh rằng AECB là hình thang vuông
b. Tính các góc và các cạnh của hình thang AECB
Lời giải:
a. Tam giác ABC vuông cân tại A
⇒ ∠[ACB] = 45o
Tam giác EAC vuông cân tại E
⇒ ∠[EAC] = 45o
Suy ra: ∠[ACB] = ∠[EAC]
⇒ AE // BC [vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau]
nên tứ giác AECB là hình thang có ∠E = 90o. Vậy AECB là hình thang vuông
b] ∠E = ∠[ECB] = 90o, ∠B = 45o
∠B + ∠[EAB] = 180o [hai góc trong cùng phía bù nhau]
⇒ ∠[EAB] = 180o – ∠B = 180o – 45o = 135o
Tam giác ABC vuông tại A. Theo định lí Py-ta-go ta có:
AB2 + AC2 = BC2 mà AB = AC [gt]
⇒ 2AB2= BC2 = 22 = 4
AB2 = 2 ⇒ AB= √2[cm] ⇒ AC = √2 [cm]
Tam giác AEC vuông tại E. Theo định lí Py-ta-go ta có:
EA2 + EC2 = AC2, mà EA = EC [gt]
⇒ 2EA2 = AC2 = 2
EA2 = 1
⇒ EA = 1[cm] ⇒ EC = 1[cm]