Các bài tập về bất đẳng thức tam giác

QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC.

BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC [PHẦN 3].

II/ Bài tập vận dụng [tiếp]

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức về độ dài

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về bất đẳng thức. Chú ý đến các phép biến đổi sau:

+ Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức:

\[a > b \Rightarrow a + c > b + c.\]

+ Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều:

\[\left. \begin{array}{l}a AB [bất đẳng thức tam giác] [1]

Trong ΔAMC, ta có:

MA + MC > AC [bất đẳng thức tam giác] [2]

Trong ΔBMC, ta có:

MB + MC > BC [bất đẳng thức tam giác] [3]

Cộng từng vế [1], [2] và [3], ta có:

MA + MB + MA + MC + MB + MC = AB + AC + BC

\[ \Leftrightarrow \] 2[MA + MB + MC] > AB + AC + BC

Vậy MA + MB + MC > [AB + AC + BC] / 2. [đpcm].

Bài 11: Cho tam giác ABC có AB > Ac, tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Trên đoạn thẳng AD lấy điểm E. Chứng minh rằng: AB – AC > EB – EC.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức: Trong một tam giác, một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại và lớn hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

Lời giải:

Vì AB > AC [gt] nên trên AB lấy điểm F sao cho: AF = AC.

Xét tam giác AEF và tam AEC có:

\[\begin{array}{l}\angle {A_1} = \angle {A_2}\,\,\left[ {gt} \right]\\AF = AC\\AE\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta AEF = \Delta AEC\,\,\left[ {c - g - c} \right]\\ \Rightarrow EF = EC.\end{array}\]

Xét tam giác BEF, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

BF

Bài 13: Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tổng AC + CB là nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

+ Vẽ thêm điểm phụ.

+ Áp dụng bất đẳng thức tam giác.

Lời giải:

Giả sử C là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường thẳng d.

Vì C nằm giữa A và B nên ta có:

AC + CB = AB [1]

Lấy điểm C" bất kỳ trên d [C" ≠C]

Nối AC", BC"

Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác vào ∆ABC", ta có:

AC" + BC" > AB [2]

Từ [1] và [2] suy ra:

AC" + C"B > AC + CB.

Vậy C là điểm cần tìm.

Bài 14: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng một phía của d và AB không song song với d. Một điểm M di động trên d. Tìm vị trí của M sao cho |MA – MB| là lớn nhất.

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác.

Lời giải:

Vì AB không song song với d nên AB cắt d tại N.

Với điểm M bất kì thuộc d mà M không trùng với N thì ta có tam giác MAB. Do đó :

|MA – MB|

Bài 15: Một tram biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại địa điểm A và B.

Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để xây dựng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là gần nhất.

Phương pháp giải:

+ Dựa vào định lí: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

+ Với ba điểm A, B, C bất kì luôn có: AB + BC ≥ AC.

Lời giải:

Để độ dài đường dây là ngắn nhất thì C nằm trên đoạn thẳng AB, tức là:

AC + BC = AB.

Thật vậy, nếu C nằm ngoài đoạn thẳng AB thì ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác ABC. Theo định lý tổng hai cạnh trong tam giác ta có:

AC + BC > AB

Do đó AC + BC ngắn nhất khi C nằm giữa A và B.

Vậy vị trí đặt một cột mắc dây điện từ trạm về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn ngắn nhất là C nằm giữa A và B.

Bài 16: Ba thành phố A, B, C là ba đỉnh của một tam giác; biết rằng AC = 30km, AB = 90km [hình dưới]

a] Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?

b] Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120 km.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức: Trong một tam giác, một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại và lớn hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.

Xem thêm: Layout Là Gì - Tầm Quan Trọng Của Layout Trong Thiết Kế

Lời giải:

Theo đề bài AC = 30km, AB = 90km ⇒ AC AB – AC [hệ quả bất đẳng thức tam giác]

⇒ CB > 90 – 30 = 60km

Nếu đặt tại C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B không nhận được tín hiệu.

b] Trong tam giác ABC có: BC Tải về

• Xếp hạng 3,0 [17] 10 thg 7, 2020 · Bài tập Toán lớp 7 về Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác - Bất đẳng thức tam giác được VnDoc biên soạn và giới thiệu gửi tới các bạn học ...

  Xem chi tiết »