Cách tìm phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm đa thức bậc ba $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có phương trình là $y=\frac{2}{3}\left[ c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right]x+d-\frac{bc}{9a}.$

Chứng minh. Gọi $A[{{x}_{1}};{{y}_{1}}],B[{{x}_{2}};{{y}_{2}}]$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình ${y}'=0\Leftrightarrow 3a{{x}^{2}}+2bx+c=0.$

Lấy $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ chia cho $3a{{x}^{2}}+2bx+c$ ta được

$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=\left[ \frac{x}{3}+\frac{b}{9a} \right]\left[ 3a{{x}^{2}}+2bx+c \right]+\frac{2}{3}\left[ c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right]x+d-\frac{bc}{9a}.$

Do đó $y=\left[ \frac{x}{3}+\frac{b}{9a} \right]{y}'+\frac{2}{3}\left[ c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right]x+d-\frac{bc}{9a}.$

Vì ${y}'[{{x}_{1}}]={y}'[{{x}_{2}}]=0\Rightarrow {{y}_{1}}=\frac{2}{3}\left[ c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right]{{x}_{1}}+d-\frac{bc}{9a};{{y}_{2}}=\frac{2}{3}\left[ c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right]{{x}_{2}}+d-\frac{bc}{9a}.$

Điều đó chứng tỏ $A,B\in d:y=\frac{2}{3}\left[ c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right]x+d-\frac{bc}{9a}.$ Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ minh hoạ:

Câu 1: Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}+3[m-3]{{x}^{2}}-3m+11$ có hai điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị và điểm $N[2;-1]$ thẳng hàng là

Lời giải. Ta có ${y}'=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+6[m-3]x=0\Leftrightarrow x=0;x=3-m.$ Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow 3-m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 3.$ Loại đáp án B.

Khi đó đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

\[y=\frac{2}{3}\left[ c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right]x+d-\frac{bc}{9a}=-{{[m-3]}^{2}}x-3m+11.\]

Vì điểm $N[2;-1]$ thuộc đường thẳng này nên $-2{{[m-3]}^{2}}-3m+11=-1\Leftrightarrow m=\frac{9\pm \sqrt{33}}{4}.$ Chọn đáp án A.

Câu 2. Cho hàm số $f[x]={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Biết ${f}'[x]=0$ có hai nghiệm phân biệt $m,n$ sao cho đường thẳng đi qua hai điểm $A[m;f[m]],B[n;f[n]]$ đi qua gốc toạ độ $O.$ Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=abc+ab+c$ là ?

Lời giải chi tiết: Đường thẳng qua hai điểm $AB:y=\frac{2}{3}\left[ b-\frac{{{a}^{2}}}{3} \right]x+c-\frac{ab}{9}.$ Vì $O\in AB$ nên $c-\frac{ab}{9}=0.$ Vì vậy $S=\frac{1}{9}{{[ab]}^{2}}+\frac{10}{9}ab=\frac{1}{9}{{\left[ ab+5 \right]}^{2}}-\frac{25}{9}\ge -\frac{25}{9}.$ Chọn đáp án B.

Câu 3.Khoảng cách từ điểm $P[3;1]$ đến đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-[{{m}^{2}}-2]x+{{m}^{2}}$ có giá trị lớn nhất bằng

Lời giải chi tiết. Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị $A,B$ của đồ thị hàm số đã cho là

\[y=\frac{2}{3}\left[ c-\frac{{{b}^{2}}}{3a} \right]x+d-\frac{bc}{9a}=-\frac{2}{3}[{{m}^{2}}+1]x+\frac{2[{{m}^{2}}+1]}{3}.\]

Đường thẳng qua hai điểm cực trị luôn qua điểm cố định $I[1;0]$ là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.

Vì vậy $d[P,AB]\le PI=\sqrt{5}.$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $PI\bot AB.$

Đường thẳng $AB$ có hệ số góc ${{k}_{1}}=-\frac{2}{3}[{{m}^{2}}+1].$ Đường thẳng $PI$ có hệ số góc ${{k}_{2}}=\frac{{{y}_{P}}-{{y}_{I}}}{{{x}_{P}}-{{x}_{I}}}=\frac{1-0}{3-1}=\frac{1}{2}.$

Vậy $PI\bot AB\Leftrightarrow {{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1\Leftrightarrow -\frac{2}{3}[{{m}^{2}}+1].\frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow {{m}^{2}}=2\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{2}.$ Chọn đáp án A.

Bài tập tự luyện:

Câu 1.Khi đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3mx+2$ có hai điểm cực trị $A,B$ và đường tròn $[C]:{{[x-1]}^{2}}+{{[y-1]}^{2}}=3$ cắt đường thẳng $AB$ tại hai điểm phân biệt $M,N$ sao cho khoảng cách giữa $M$ và $N$ lớn nhất. Tính độ dài $MN.$

Câu 2. Cho hàm số $y={{x}^{3}}+[m+3]{{x}^{2}}-[2m+9]x+m+6$ có đồ thị $[C].$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $[C]$ có hai điểm cực trị và khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến đường thẳng nối hai điểm cực trị là lớn nhất.

Câu 3.Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để điểm $M[2{{m}^{3}};m-1]$ cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=2{{x}^{3}}-3[2m+1]{{x}^{2}}+6m[m+1]x$ tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

Gồm 4 khoá luyện thi duy nhất và đầy đủ nhất phù hợp với nhu cầu và năng lực của từng đối tượng thí sinh:

Bốn khoá học X trong gói COMBO X 2020có nội dung hoàn toàn khác nhau và có mục đich bổ trợ cho nhau giúp thí sinh tối đa hoá điểm số.

1. PRO X 2020: Luyện thi THPT Quốc Gia 2020 - Học toàn bộ chương trình Toán 12, luyện nâng cao Toán 10 Toán 11 và Toán 12. Khoá này phù hợp với tất cả các em học sinh vừa bắt đầu lên lớp 12 hoặc lớp 11 học sớm chương trình 12, Học sinh các khoá trước thi lại đều có thể theo học khoá này. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8 đến 9 điểm.
2. PRO XMAX 2020: Luyện nâng cao 9 đến 10 chỉ dành cho học sinh giỏi Học qua bài giảng và làm đề thi nhóm câu hỏi Vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc Gia thuộc tất cả chủ đề đã có trong khoá PRO X. Khoá PRO XMAX học hiệu quả nhất khi các em đã hoàn thành chương trình kì I Toán 12 [tức đã hoàn thành Logarit và Thể tích khối đa diện] có trong Khoá PRO X. Mục tiêu của khoá học giúp các em tự tin đạt kết quả từ 8,5 đếm 10 điểm.
3. PRO XPLUS 2020: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2020 Môn Toán gồm 20 đề 2020. Khoá này các em học đạt hiệu quả tốt nhất khoảng thời gian sau tết âm lịch và cơ bản hoàn thành chương trình Toán 12 và Toán 11 trong khoá PRO X. Khoá XPLUS tại Vted đã được khẳng định qua các năm gần đây khi đề thi được đông đảo giáo viên và học sinh cả nước đánh giá ra rất sát so với đề thi chính thức của BGD. Khi học tại Vted nếu không tham gia XPLUS thì quả thực đáng tiếc.
4. PRO XMIN 2020: Luyện đề thi tham khảo THPT Quốc Gia 2020 Môn Toán từ các trường THPT Chuyên và Sở giáo dục đào tạo, gồm các đề chọn lọc sát với cấu trúc của bộ công bố. Khoá này bổ trợ cho khoá PRO XPLUS, với nhu cầu cần luyện thêm đề hay và sát cấu trúc.

Quý thầy cô giáo, quý phụ huynh và các em học sinh có thể mua Combo gồm cả 4 khoá học cùng lúc hoặc nhấn vào từng khoá học để mua lẻ từng khoá phù hợp với năng lực và nhu cầu bản thân.

>>Xem thêmMột cách giải quyết với bài toán Hai điểm cực trị của đồ thị hàm đa thức bậc ba nằm phác phía với trục hoành - Thầy Đặng Thành Nam

>>Xem thêmĐiểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai/bậc nhất luôn thuộc một parabol cố định

>>Xem thêmĐường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất và hàm phân thức bậc hai trên bậc hai