Để tìm tập xác định của các hàm số lượng giác thì các bạn lưu ý một số kiến thức cơ bản sau:
1. Hàm số $y=sinx$ và $y=cosx$ xác định với mọi x thuộc R. Tập giá trị của hai hàm số này là: $-1\leq sinx\leq 1$; $-1\leq sinx\leq 1$
2. Hàm số $y=tanx=\dfrac{sinx}{cosx}$ xác định khi $cosx\neq 0$ $x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi$
3. Hàm số $y=cotx=\dfrac{cosx}{sinx}$ xác định khi $sinx\neq 0$ $x \neq k\pi$
Như vậy đối với các hàm số lượng giác $sin[u[x]]; cos[u[x]]; tan[u[x]]; cot[u[x]]$ thì điều kiện xác định của chúng như sau:
1. $y=sin[u[x]]$ xác định khi và chỉ khi u[x] xác định.
2. $y=cos[u[x]]$ xác định khi và chỉ khi u[x] xác định.
3. $y=tan[u[x]]=\dfrac{ sin[u[x]]}{ cos[u[x]]}$ xác định khi và chỉ khi $cos[u[x]] \neq 0$ Hay $u[x]\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi $
4. $y=cot[u[x]]=\dfrac{ cos[u[x]]}{ sin[u[x]]}$ xác định khi và chỉ khi $sin[u[x]] \neq 0$ Hay $u[x]\neq k\pi $
[Với $k \in \mathbb{Z}$]
Nếu như hàm $u[x]$ được cho ở dưới dạng hàm phân thức thì các bạn phải chú ý tới cách tìm điều kiện xác định của hàm phân thức. Các bạn có thể xem thêm bài giảng này ở đây nhé: Cách tìm tập xác định hàm phân thức
Để hiểu hơn về việc tìm điều kiện xác định của hàm số lượng giác thì các bạn nên xem bài giảng về cách sử dụng đường tròn lượng giác. Dựa vào đường tròn lượng giác thì các bạn sẽ hiểu rõ hơn tại sao sinx, cosx, tan x, cotx và x lại khác những giá trị như vậy.
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. $y=sin[\dfrac{2}{x-2}]$ b. $y=cos[\sqrt{x^2-1}]$
c. $y=\sqrt{2-cosx}]$ d. $y=\dfrac{sin[x+2]}{cos[x-1]}$
Hướng dẫn:
a. Điều kiện xác định của hàm số là: $x-2\neq 0$ $x\neq 2$
Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$\$\{2\}$
b. Điều kiện xác định của hàm số là: $x^2-1\geq 0$ $x^2\geq 1$ $\left[\begin{array}{ll}x\geq 1\\x\leq -1\end{array}\right.$
Vậy tập xác định của hàm số là: $D=[-\infty;-1]\cup[1;+\infty]$
c. Vì $-1\leq cosx\leq1$ nên $2-cosx>0$ với mọi x.
Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$
d. Điều kiện xác định của hàm số là: $cos[x-1]\neq 0$ $x-1\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi$ $x\neq \dfrac{\pi}{2}+1+k\pi$
Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$\$\{\dfrac{\pi}{2}+1+k\pi, k\in \mathbb{Z}\}$
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:
a. $y=tan[x+2]$ b. $y=cot[x+\dfrac{\pi}{3}]$
c. $y=\dfrac{sinx}{1+2cosx}$ d. $y=\dfrac{tan2x}{sin3x-cos4x}$
Hướng dẫn:
a. Điều kiện xác định của hàm số là: $cos[x+2]\neq 0$ $x+2\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi$ $x\neq \dfrac{\pi}{2}-2+k\pi$
Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$\$\{\dfrac{\pi}{2}-2+k\pi, k\in \mathbb{Z}\}$
b. Điều kiện xác định của hàm số là: $sin[x+\dfrac{\pi}{3}]\neq 0$ $ x+\dfrac{\pi}{3}\neq k\pi$ $ x\neq -\dfrac{\pi}{3}+k\pi$
Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$\$\{ -\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\}$
c. Điều kiện xác định của hàm số là: $1+2cosx \neq 0$ $2cosx\neq -1$ $cosx \neq -\dfrac{1}{2}$ $cosx \neq cos[\dfrac{2\pi}{3}]$ $ x\neq \pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$
Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}$\$\{\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi; k\in \mathbb{Z}\}$
d. Điều kiện xác định của hàm số là:
$\left\{\begin{array}{ll}cos2x\neq 0\\sin3x\neq cos4x\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ll}2x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\\sin3x\neq sin[\dfrac{\pi}{2}-4x]\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ll}x\neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\\3x\neq \dfrac{\pi}{2}-4x+k2\pi\\3x\neq \pi-[ \dfrac{\pi}{2}-4x]+k2\pi \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ll}x\neq \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\\x\neq \dfrac{\pi}{14}+\dfrac{k2\pi}{7}\\x\neq – \dfrac{\pi}{2}+k2\pi \end{array}\right.$
Vậy tập xác định của hàm số là:
$D=\mathbb{R}$\$\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}, \dfrac{\pi}{14}+\dfrac{k2\pi}{7},- \dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\}$
Qua 2 ví dụ trên các bạn đã có thêm kiến thức về cách tìm tập xác định của các hàm số lượng giác. Dựa vào những ví dụ này các bạn có phương pháp để mở rộng ra những dạng bài tập khác. Mọi ý kiến đóng góp cho bài giảng hãy bình luận dưới khung bình luận các bạn nhé.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác cực hay
Muốn tìm tập xác định D của hàm số y = f[x] ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:
- Phương pháp 1. Tìm tập D của x để f[x] có nghĩa, tức là tìm: D = {x∈ R | f[x] có nghĩa}.
- Phương pháp 2. Tìm tập E của x để f[x] không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là: D = R \E.
Chú ý:Với các hàm số lượng giác chúng ta cần biết thêm:
1. Hàm số y = sinx xác định trên R và |sinx| ≤ 1 với mọi x.
Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2π và nó là hàm số lẻ nên nếu có
sinx = sinα⇔ x = α + 2kπ hoặc x = π – α + 2kπ, k∈ Z.
sinx = 0⇔ x = kπ, k∈ Z.
sinx = 1⇔ x =π2+ 2kπ, k∈ Z; sinx = -1⇔ x = -π2+ 2kπ, k∈ Z.
2. Hàm số y = cosx xác định trên R và |cosx| ≤ 1 với mọi x.
Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2π và nó là hàm số chẵn nên nếu có:
cosx = cosα⇔ x = α + 2kπ hoặc x = -α + 2kπ, k∈ Z.
cosx = 0⇔ x =π2+ kπ.
cosx = 1⇔ x = 2kπ, k∈ Z; cosx = -1⇔ x = π + 2kπ, k∈ Z.
3. Hàm số y = tanx xác định trên R \{π2+ kπ, k∈ Z}.
Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì π nên nếu có: tanx = tanα⇔ x = α + kπ, k∈ Z.
4. Hàm số y = cotx xác định trên R \{kπ, k∈ Z}.
Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì π nên nếu có: cotx = cotα⇔ x = α + kπ, k∈ Z.
+ Hàm số y= tan[ f[x]]+cot[g[x]] xác định khi cos[f[x]] ≠ 0;sin[ g[x]] ≠ 0
* Chú ý:
sinx ≠ 0⇔ x ≠ k.π
cosx ≠ 0⇔ x ≠ π/2+kπ với k nguyên
sinx ≠ 1⇔ x ≠ π/2+k2π và sinx ≠ -1⇔ x ≠ -π/2+k2π
cosx ≠ 1⇔ x ≠ k2π và cosx ≠ -1⇔ x ≠ π+k2π
Ví dụ vận dụng
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
Giải
a. Điều kiện: sinx ≠ 0⇔ x ≠ kπ, k∈ Z.
Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{kπ, k∈ Z}.
b. Điều kiện: 1 + cosx ≠ 0⇔ cosx ≠ -1⇔ x ≠ π + 2kπ, k∈ Z.
Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{π + 2kπ, k∈ Z}.
Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
Giải
a. Điều kiện: 3 – sinx⇒ 0.
Vì |sinx| ≤ 1 nên 3 – sinx⇒ 2 với mọi x.
Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R .
b. Điều kiện: 1 – cosx > 0⇔ cosx < 1⇔ cosx ≠ 1⇔ x ≠ 2kπ, k∈ Z.
Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{2kπ, k∈ Z}.
Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
Bài 4: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tìm tập xác định của hàm số lượng giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Tìm tập xác định của hàm số lượng giác: Tìm tập xác định của hàm số Phương pháp: Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau. y = u[x] có nghĩa khi và chỉ khi u[x] xác định và u[x] > 0. y = u[x].v[x] có nghĩa khi và chỉ u[x], v[x] xác định và V[x] = 0. y có nghĩa khi và chỉ u[x], v[x] xác định và v[x] > 0. Hàm số y = sinx, y = cosx xác định trên R và tập giá trị của nó xác định khi và chỉ khi u[x] xác định. y = tan u[x] có nghĩa khi và chỉ khi u[x] xác định y = cot u[x] có nghĩa khi và chỉ khi u[x] xác định.
CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG. Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau. Do đó, hàm số luôn luôn xác định hay D = R [không thỏa mãn] khi đó tam thức f[t] có hai nghiệm phân biệt. Vậy giá trị m cần tìm là m < 22.