A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Với mỗi góc α [ ≤ α ≤ ], ta xác định điểm M trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho α = . Giả sử điểm M có tọa độ [x; y].
Khi đó:
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1 : Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Phương pháp giải.
Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc
Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
DẠNG 2 : Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc x, đơn giản biểu thức.
Phương pháp giải.
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ .
DẠNG 3 : Xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều kiện.
Phương pháp giải.
Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản
Dựa vào dấu của giá trị lượng giác
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1 : Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
DẠNG 2 : Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc x, đơn giản biểu thức.
DẠNG 3 : Xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều kiện.
>> Tải về file PDF tại đây.
>> Hướng dẫn giải chuyên đề tại đây.
Xem thêm:
– Tích của một vectơ với một số – Chuyên đề Hình học 10
– Tổng và hiệu hai vectơ – Chuyên đề đại số 10
Related
Tags:Giải Toán 10 · Giáo án Toán 10 · Toán 10
Cùng Hoc360.net hệ thống lại khối kiến thức, bài tập môn Toán qua Bài tập trắc nghiệm: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ – Hình học 10. Hi vọng tài liệu sẽ giúp ích cho các em học sinh trong quá trình học, ôn luyện chuẩn bị cho kỳ thi, kỳ kiểm tra sắp tới. Mời các em tham khảo và tải về. Chúc các em học giỏi!
Xem thêm:
►Bài tập trắc nghiệm: Tích của hai vectơ với một số – Hình học 10 tại đây.
►Bài tập trắc nghiệm: Trục tọa độ và hệ trục tọa độ – Hình học 10 tại đây.
Related
Tags:Giải Toán 10 · Giáo án Toán 10 · Toán 10
Bài viết trình bày tóm tắt lý thuyết và hướng dẫn giải một số dạng toán điển hình trong chủ đề giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0º đến 180º.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Với mỗi góc $\alpha $ $\left[ {{0^0} \le \alpha \le {{180}^0}} \right]$, ta xác định điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị tâm $O$ sao cho $\alpha = \widehat {xOM}.$
Giả sử điểm $M$ có tọa độ $[x;y].$
Khi đó:
$\sin \alpha = y$, $\cos \alpha = x$, $\tan \alpha = \frac{y}{x}$ $\left[ {\alpha \ne {{90}^0}} \right]$, $\cot \alpha = \frac{x}{y}$ $\left[ {\alpha \ne {0^0},\alpha \ne {{180}^0}} \right].$
Các số $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\tan \alpha $, $\cot \beta $ được gọi là giá trị lượng giác của góc $\alpha .$
Chú ý: Từ định nghĩa ta có: + Gọi $P$, $Q$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên trục $Ox$, $Oy$ khi đó $M[\overline {OP} ;\overline {OQ} ].$ + Với ${0^0} \le \alpha \le {180^0}$ ta có $0 \le \sin \alpha \le 1$, $ – 1 \le \cos \alpha \le 1.$
+ Dấu của giá trị lượng giác:
2. Tính chất Góc phụ nhau: $\sin \left[ {{{90}^0} – \alpha } \right] = \cos \alpha .$ $\cos \left[ {{{90}^0} – \alpha } \right] = \sin \alpha .$ $\tan \left[ {{{90}^0} – \alpha } \right] = \cot \alpha .$ $\cot \left[ {{{90}^0} – \alpha } \right] = \tan \alpha .$ Góc bù nhau: $\sin \left[ {{{180}^0} – \alpha } \right] = \sin \alpha .$ $\cos \left[ {{{180}^0} – \alpha } \right] = – \cos \alpha .$ $\tan \left[ {{{180}^0} – \alpha } \right] = – \tan \alpha .$
$\cot \left[ {{{180}^0} – \alpha } \right] = – \cot \alpha .$
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
4. Các hệ thức lượng giác cơ bản
1] $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ $\left[ {\alpha \ne {{90}^0}} \right].$
2] $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ $\left[ {\alpha \ne {0^0};{{180}^0}} \right].$
3] $\tan \alpha .\cot \alpha = 1$ $\left[ {\alpha \ne {0^0};{{90}^0};{{180}^0}} \right].$
4] ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.$
5] $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ $\left[ {\alpha \ne {{90}^0}} \right].$
6] $1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ $\left[ {\alpha \ne {0^0};{{180}^0}} \right].$
Chứng minh:
Hệ thức 1, 2 và 3 dễ dàng suy ra từ định nghĩa. Ta có $\sin \alpha = \overline {OQ} $, $\cos \alpha = \overline {OP} .$ Suy ra ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha $ $ = {\overline {OQ} ^2} + {\overline {OP} ^2}$ $ = O{Q^2} + O{P^2}.$ + Nếu $\alpha = {0^0}$, $\alpha = {90^0}$ hoặc $\alpha = {180^0}$ thì dễ dàng thấy ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.$ + Nếu $\alpha \ne {0^0}$, $\alpha \ne {90^0}$ và $\alpha \ne {180^0}$ khi đó theo định lý Pitago ta có: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha $ $ = O{Q^2} + O{P^2}$ $ = O{Q^2} + Q{M^2}$ $ = O{M^2} = 1.$ Vậy ta có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.$ Mặt khác $1 + {\tan ^2}\alpha $ $ = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ $ = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ $ = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ suy ra được hệ thức 5.Tương tự $1 + {\cot ^2}\alpha $ $ = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ $ = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ $ = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ suy ra được hệ thức 6.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC ĐẶC BIỆT.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc.
+ Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.
+ Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a] $A = {a^2}\sin {90^0} + {b^2}\cos {90^0} + {c^2}\cos {180^0}.$
b] $B = 3 – {\sin ^2}{90^0} + 2{\cos ^2}{60^0} – 3{\tan ^2}{45^0}.$
c] $C = {\sin ^2}{45^0} – 2{\sin ^2}{50^0}$ $ + 3{\cos ^2}{45^0} – 2{\sin ^2}{40^0}$ $ + 4\tan {55^0}.\tan {35^0}.$
a] $A = {a^2}.1 + {b^2}.0 + {c^2}.[ – 1]$ $ = {a^2} – {c^2}.$ b] $B = 3 – {[1]^2} + 2{\left[ {\frac{1}{2}} \right]^2}$ $ – 3{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]^2} = 1.$ c] $C = {\sin ^2}{45^0} + 3{\cos ^2}{45^0}$ $ – 2\left[ {{{\sin }^2}{{50}^0} + {{\sin }^2}{{40}^0}} \right]$ $ + 4\tan {55^0}.\cot {55^0}.$
$C = {\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]^2} + 3{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]^2}$ $ – 2\left[ {{{\sin }^2}{{50}^0} + {{\cos }^2}{{40}^0}} \right] + 4$ $ = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} – 2 + 4 = 4.$
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau: a] $A = {\sin ^2}{3^0} + {\sin ^2}{15^0}$ $ + {\sin ^2}{75^0} + {\sin ^2}{87^0}.$ b] $B = \cos {0^0} + \cos {20^0} + \cos {40^0}$ $ + \ldots + \cos {160^0} + \cos {180^0}.$
c] $C = \tan {5^0}\tan {10^0}\tan {15^0} \ldots \tan {80^0}\tan {85^0}.$
a] $A = \left[ {{{\sin }^2}{3^0} + {{\sin }^2}{{87}^0}} \right]$ $ + \left[ {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\sin }^2}{{75}^0}} \right].$ $ = \left[ {{{\sin }^2}{3^0} + {{\cos }^2}{3^0}} \right]$ $ + \left[ {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\cos }^2}{{15}^0}} \right].$ $ = 1 + 1 = 2.$ b] $B = \left[ {\cos {0^0} + \cos {{180}^0}} \right]$ $ + \left[ {\cos {{20}^0} + \cos {{160}^0}} \right]$ $ + \ldots + \left[ {\cos {{80}^0} + \cos {{100}^0}} \right].$ $ = \left[ {\cos {0^0} – \cos {0^0}} \right]$ $ + \left[ {\cos {{20}^0} – \cos {{20}^0}} \right]$ $ + \ldots + \left[ {\cos {{80}^0} – \cos {{80}^0}} \right].$ $ = 0.$ c] $C = \left[ {\tan {5^0}\tan {{85}^0}} \right]$$\left[ {\tan {{15}^0}\tan {{75}^0}} \right]$$ \cdots \left[ {\tan {{45}^0}\tan {{45}^0}} \right].$ $ = \left[ {\tan {5^0}\cot {5^0}} \right]$$\left[ {\tan {{15}^0}\cot {{15}^0}} \right]$$ \ldots \left[ {\tan {{45}^0}\cot {{45}^0}} \right].$
$ = 1.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a] $A = \sin {45^0} + 2\cos {60^0}$ $ – \tan {30^0} + 5\cot {120^0}$ $ + 4\sin {135^0}.$
b] $B = 4{a^2}{\sin ^2}{45^0}$ $ – 3{\left[ {a\tan {{45}^0}} \right]^2} + {\left[ {2a\cos {{45}^0}} \right]^2}.$
c] $C = {\sin ^2}{35^0} – 5{\sin ^2}{73^0}$ $ + {\cos ^2}{35^0} – 5{\cos ^2}{73^0}.$
d] $D = \frac{{12}}{{1 + {{\tan }^2}{{76}^0}}}$ $ – 5\tan {85^0}\cot {95^0} + 12{\sin ^2}{104^0}.$
e] $E = {\sin ^2}{1^0} + {\sin ^2}{2^0}$ $ + \ldots + {\sin ^2}{89^0} + {\sin ^2}{90^0}.$
f] $F = {\cos ^3}{1^0} + {\cos ^3}{2^0} + {\cos ^3}{3^0}$ $ + \ldots + {\cos ^3}{179^0} + {\cos ^3}{180^0}.$
a] $A = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 2.\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ $ – 5.\frac{{\sqrt 3 }}{3} + 4.\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $ = 1 + \frac{{5\sqrt 2 }}{2} – 2\sqrt 3 .$ b] $B = 4{a^2}.{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]^2}$ $ – 3{a^2} + {[\sqrt 2 a]^2} = {a^2}.$ c] $C = \left[ {{{\sin }^2}{{35}^0} + {{\cos }^2}{{35}^0}} \right]$ $ – 5\left[ {{{\sin }^2}{{75}^0} + {{\cos }^2}{{75}^0}} \right]$ $ = 1 – 5 = – 4.$ d] $D = 12{\cos ^2}{76^0}$ $ + 5\tan {85^0}.\cot {85^0}$ $ + 12{\sin ^2}{76^0}$ $ = 12 + 5 = 17.$ e] $E = \left[ {{{\sin }^2}{1^0} + {{\sin }^2}{{89}^0}} \right]$ $ + \left[ {{{\sin }^2}{2^0} + {{\sin }^2}{{88}^0}} \right]$ $ + \ldots + \left[ {{{\sin }^2}{{44}^0} + {{\sin }^2}{{46}^0}} \right]$ $ + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}{90^0}.$ $E = \left[ {{{\sin }^2}{1^0} + {{\cos }^2}{1^0}} \right]$ $ + \left[ {{{\sin }^2}{2^0} + {{\cos }^2}{2^0}} \right]$ $ + \ldots + \left[ {{{\sin }^2}{{44}^0} + {{\cos }^2}{{44}^0}} \right]$ $ + \frac{1}{2} + 1.$ $E = \underbrace {1 + 1 + \ldots + 1}_{44\:{\rm{số}}} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{{91}}{2}.$ f] $F = \left[ {{{\cos }^3}{1^0} + {{\cos }^3}{{179}^0}} \right]$ $ + \ldots + \left[ {{{\cos }^3}{{89}^0} + {{\cos }^3}{{91}^0}} \right]$ $ + {\cos ^3}{90^0} + {\cos ^3}{180^0}.$
$F = {\cos ^3}{90^0} + {\cos ^3}{180^0}$ $ = 0 – 1 = – 1.$
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau: $P = $ $4\tan \left[ {x + {4^0}} \right].\sin x.\cot \left[ {4x + {{26}^0}} \right]$ $ + \frac{{8{{\tan }^2}\left[ {{3^0} – x} \right]}}{{1 + {{\tan }^2}\left[ {5x + {3^0}} \right]}}$ $ + 8{\cos ^2}\left[ {x – {3^0}} \right]$ khi $x = {30^0}.$
Thay vào ta có: $P = $ $4\tan {34^0}.\sin {30^0}.\cot {146^0}$ $ + \frac{{8{{\tan }^2}\left[ { – {{27}^0}} \right]}}{{1 + {{\tan }^2}{{153}^0}}}$ $ + 8{\cos ^2}{27^0}.$
$P = – 4.\tan {34^0}.\frac{1}{2}.\cot {34^0}$ $ + 8{\tan ^2}{27^0}.{\cos ^2}{27^0}$ $ + 8{\cos ^2}{27^0}$ $ = – 2 + 8 = 6.$
DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC – CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC $X$ – ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
+ Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác.
+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau [giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa].
a] ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ = 1 – 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.$
b] $\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x – 1}}.$
c] $\frac{{\cos x + \sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$ $ = {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + 1.$
a] ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$ $ – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$ $ = {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]^2}$ $ – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$ $ = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.$ b] $\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}}$ $ = \frac{{1 + \frac{1}{{\tan x}}}}{{1 – \frac{1}{{\tan x}}}}$ $ = \frac{{\frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\frac{{\tan x – 1}}{{\tan x}}}}$ $ = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x – 1}}.$ c] $\frac{{\cos x + \sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$ $ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}$ $ = {\tan ^2}x + 1 + \tan x\left[ {{{\tan }^2}x + 1} \right].$
$ = {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + 1.$
Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng:
$\frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \left[ {\frac{{A + C}}{2}} \right]}}$ $ + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \left[ {\frac{{A + C}}{2}} \right]}}$ $ – \frac{{\cos [A + C]}}{{\sin B}}.\tan B = 2.$
Vì $A + B + C = {180^0}$ nên: $VT = \frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \left[ {\frac{{{{180}^0} – B}}{2}} \right]}}$ $ + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \left[ {\frac{{{{180}^0} – B}}{2}} \right]}}$ $ – \frac{{\cos \left[ {{{180}^0} – B} \right]}}{{\sin B}}.\tan B.$ $ = \frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}$ $ – \frac{{ – \cos B}}{{\sin B}}.\tan B$ $ = {\sin ^2}\frac{B}{2} + {\cos ^2}\frac{B}{2} + 1$ $ = 2 = VP.$
Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau [giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa]: a] $A = \sin \left[ {{{90}^0} – x} \right]$ $ + \cos \left[ {{{180}^0} – x} \right]$ $ + {\sin ^2}x\left[ {1 + {{\tan }^2}x} \right]$ $ – {\tan ^2}x.$
b] $B = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{1}{{1 + \cos x}} + \frac{1}{{1 – \cos x}}} – \sqrt 2 .$
a] $A = \cos x – \cos x$ $ + {\sin ^2}x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ $ – {\tan ^2}x = 0.$ b] $B = \frac{1}{{\sin x}} \cdot \sqrt {\frac{{1 – \cos x + 1 + \cos x}}{{[1 – \cos x][1 + \cos x]}}} – \sqrt 2 .$ $ = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{2}{{1 – {{\cos }^2}x}}} – \sqrt 2 $ $ = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} – \sqrt 2 .$
$ = \sqrt 2 \left[ {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 1} \right]$ $ = \sqrt 2 {\cot ^2}x.$
Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x.$
$P = \sqrt {{{\sin }^4}x + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} $ $ + \sqrt {{{\cos }^4}x + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} .$
$P = \sqrt {{{\left[ {1 – {{\cos }^2}x} \right]}^2} + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} $ $ + \sqrt {{{\left[ {1 – {{\sin }^2}x} \right]}^2} + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} .$ $ = \sqrt {4{{\cos }^4}x + 4{{\cos }^2}x + 1} $ $ + \sqrt {4{{\sin }^4}x + 4{{\sin }^2}x + 1} .$ $ = 2{\cos ^2}x + 1 + 2{\sin ^2}x + 1.$ $ = 3.$
Vậy $P$ không phụ thuộc vào $x.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau [giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa]:
a] ${\tan ^2}x – {\sin ^2}x = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x.$
b] ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.$
c] $\frac{{{{\tan }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}} – \frac{1}{{\sin x\cos x}} + \frac{{{{\cot }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ = {\tan ^3}x + {\cot ^3}x.$
d] ${\sin ^2}x – {\tan ^2}x$ $ = {\tan ^6}x\left[ {{{\cos }^2}x – {{\cot }^2}x} \right].$
e] $\frac{{{{\tan }^2}a – {{\tan }^2}b}}{{{{\tan }^2}a.{{\tan }^2}b}}$ $ = \frac{{{{\sin }^2}a – {{\sin }^2}b}}{{{{\sin }^2}a.{{\sin }^2}b}}.$
a] $VT = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} – {\sin ^2}x$ $ = {\sin ^2}x\left[ {1 + {{\tan }^2}x} \right] – {\sin ^2}x$ $ = VP.$ b] ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x$ $ = {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]^3}$ $ – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]$ $ = 1 – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.$ c] $VT = {\tan ^3}x\left[ {{{\cot }^2}x + 1} \right]$ $ – \tan x\left[ {{{\cot }^2}x + 1} \right]$ $ + {\cot ^3}x\left[ {{{\tan }^2}x + 1} \right]$ $ = \tan x + {\tan ^3}x – \cot x$ $ – \tan x + \cot x + {\cot ^3}x = VP.$ d] $VP = {\tan ^6}x{\cos ^2}x – {\tan ^6}x{\cot ^2}x$ $ = {\tan ^4}x{\sin ^2}x – {\tan ^4}x$ $ = {\tan ^4}x.{\cos ^2}x$ $ = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x$ $ = {\tan ^2}x – {\sin ^2}x = VT$ [do câu a].
e] $VT = \frac{1}{{{{\tan }^2}b}} – \frac{1}{{{{\tan }^2}a}}$ $ = {\cot ^2}b – {\cot ^2}a$ $ = \frac{1}{{{{\sin }^2}b}} – \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} = VP.$
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau [giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa]: a] $A = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ $ – {\tan ^2}\left[ {{{180}^0} – x} \right]$ $ – {\cos ^2}\left[ {{{180}^0} – x} \right].$ b] $B = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{{{\cot }^2}x – {{\tan }^2}x}} – {\cos ^2}x.$ c] $C = \frac{{{{\sin }^3}a + {{\cos }^3}a}}{{{{\cos }^2}a + \sin a[\sin a – \cos a]}}.$
d] $D = \sqrt {\frac{{1 + \sin a}}{{1 – \sin a}}} + \sqrt {\frac{{1 – \sin a}}{{1 + \sin a}}} .$
a] $A = {\tan ^2}x + 1$ $ – {\tan ^2}x – {\cos ^2}x$ $ = {\sin ^2}x.$ b] $B = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 1 – \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 1}}$ $ – {\cos ^2}x$ $ = {\cos ^2}x{\sin ^2}x – {\cos ^2}x$ $ = – {\cos ^4}x.$ c] $C = $ $\frac{{[\sin a + \cos a]\left[ {{{\sin }^2}a – \sin a\cos a + {{\cos }^2}a} \right]}}{{{{\sin }^2}a – \sin a\cos a + {{\cos }^2}a}}$ $ = \sin a + \cos a.$ d] ${D^2} = $ $\frac{{1 + \sin a}}{{1 – \sin a}} + \frac{{1 – \sin a}}{{1 + \sin a}} + 2$ $ = \frac{{{{[1 + \sin a]}^2} + {{[1 – \sin a]}^2}}}{{1 – {{\sin }^2}a}} + 2$ $ = \frac{{2 + 2{{\sin }^2}a}}{{{{\cos }^2}a}} + 2$ $ = \frac{4}{{{{\cos }^2}a}}.$
Suy ra $D = \frac{2}{{|\cos a|}}.$
Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $\alpha $ [giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa]: a] $2\left[ {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right]$ $ – 3\left[ {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right].$ b] ${\cot ^2}{30^0}\left[ {{{\sin }^8}\alpha – {{\cos }^8}\alpha } \right]$ $ + 4\cos {60^0}\left[ {{{\cos }^6}\alpha – {{\sin }^6}\alpha } \right]$ $ – {\sin ^6}\left[ {{{90}^0} – \alpha } \right]{\left[ {{{\tan }^2}\alpha – 1} \right]^3}.$ c] $\left[ {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1} \right]$$\left[ {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x + 2} \right].$
d] $\frac{{{{\sin }^4}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}.$
a] $2\left[ {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right]$ $ – 3\left[ {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right].$ $ = 2\left[ {1 – 3{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right]$ $ – 3\left[ {1 – 2{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right] = – 1.$ b] ${\cot ^2}{30^0}\left[ {{{\sin }^8}\alpha – {{\cos }^8}\alpha } \right]$ $ + 4\cos {60^0}\left[ {{{\cos }^6}\alpha – {{\sin }^6}\alpha } \right]$ $ – {\sin ^6}\left[ {{{90}^0} – \alpha } \right]{\left[ {{{\tan }^2}\alpha – 1} \right]^3}.$ $ = 3\left[ {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right]\left[ {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right]$ $ – 2\left[ {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right]$$\left[ {{{\sin }^4}\alpha + {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right]$ $ – {\left[ {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right]^3}.$ $ = {\left[ {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right]^3}$ $ – {\left[ {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right]^3} = 0.$ c] $\left[ {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1} \right]$$\left[ {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x + 2} \right]$ $ = – 2.$
d] $\frac{{{{\sin }^4}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}$ $ = \frac{2}{3}.$
DẠNG TOÁN 3: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản.
+ Dựa vào dấu của giá trị lượng giác.
+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1:
a] Cho $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ với ${90^0} < \alpha < {180^0}.$ Tính $\cos \alpha $ và $\tan \alpha .$
b] Cho $\cos \alpha = – \frac{2}{3}.$ Tính $\sin \alpha $ và $\cot \alpha .$
c] Cho $\tan \alpha = – 2\sqrt 2 $, tính giá trị lượng giác còn lại.
a] Vì ${90^0} < \alpha < {180^0}$ nên $\cos \alpha < 0$ mặt khác ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ suy ra: $\cos \alpha = – \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } $ $ = – \sqrt {1 – \frac{1}{9}} $ $ = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.$ Do đó: $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ $ = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}$ $ = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.$ b] Vì ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ nên $\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } $ $ = \sqrt {1 – \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ và $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ $ = \frac{{ – \frac{2}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = – \frac{2}{{\sqrt 5 }}.$ c] Vì $\tan \alpha = – 2\sqrt 2 < 0$ $ \Rightarrow \cos \alpha < 0$ mặt khác ${\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.$ Nên $\cos \alpha = – \sqrt {\frac{1}{{{{\tan }^2} + 1}}} $ $ = – \sqrt {\frac{1}{{8 + 1}}} = – \frac{1}{3}.$ Ta có $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ $ \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha $ $ = – 2\sqrt 2 .\left[ { – \frac{1}{3}} \right] = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.$
$ \Rightarrow \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ $ = \frac{{ – \frac{1}{3}}}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.$
Ví dụ 2: a] Cho $\cos \alpha = \frac{3}{4}$ với ${0^0} < \alpha < {90^0}$. Tính $A = \frac{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}.$
b] Cho $\tan \alpha = \sqrt 2 .$ Tính $B = \frac{{\sin \alpha – \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha + 2\sin \alpha }}.$
a] Ta có $A = \frac{{\tan \alpha + 3\frac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \frac{1}{{\tan \alpha }}}}$ $ = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 3}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}$ $ = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 2}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}$ $ = 1 + 2{\cos ^2}\alpha .$ Suy ra $A = 1 + 2.\frac{9}{{16}} = \frac{{17}}{8}.$ b] $B = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} – \frac{{\cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{3{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{2\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}$ $ = \frac{{\tan \alpha \left[ {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right] – \left[ {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right]}}{{{{\tan }^3}\alpha + 3 + 2\tan \alpha \left[ {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right]}}.$
Suy ra $B = \frac{{\sqrt 2 [2 + 1] – [2 + 1]}}{{2\sqrt 2 + 3 + 2\sqrt 2 [2 + 1]}}$ $ = \frac{{3[\sqrt 2 – 1]}}{{3 + 8\sqrt 2 }}.$
Ví dụ 3: Biết $\sin x + \cos x = m.$ a] Tìm $\sin x\cos x$ và $\left| {{{\sin }^4}x – {{\cos }^4}x} \right|.$
b] Chứng minh rằng $|m| \le \sqrt 2 .$
a] Ta có ${[\sin x + \cos x]^2}$ $ = {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x$ $ = 1 + 2\sin x\cos x$ $[*].$ Mặt khác $\sin x + \cos x = m$ nên ${m^2} = 1 + 2\sin x\cos x.$ Hay $\sin x\cos x = \frac{{{m^2} – 1}}{2}.$ Đặt $\dot A = \left| {{{\sin }^4}x – {{\cos }^4}x} \right|.$ Ta có: $A = \left| {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]\left[ {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x} \right]} \right|$ $ = |[\sin x + \cos x][\sin x – \cos x]|.$ $ \Rightarrow {A^2} = {[\sin x + \cos x]^2}{[\sin x – \cos x]^2}$ $ = [1 + 2\sin x\cos x][1 – 2\sin x\cos x].$ $ \Rightarrow {A^2} = \left[ {1 + {m^2} – 1} \right]\left[ {1 – {m^2} + 1} \right]$ $ = 2{m^2} – {m^4}.$ Vậy $A = \sqrt {2{m^2} – {m^4}} .$ b] Ta có: $2\sin x\cos x$ $ \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ kết hợp với $[*]$ suy ra: ${[\sin x + \cos x]^2} \le 2$ $ \Rightarrow |\sin x + \cos x| \le \sqrt 2 .$
Vậy $|m| \le \sqrt 2 .$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết:
a] $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ với ${0^0} < \alpha < {90^0}.$
b] $\cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{5}} .$
c] $\cot \alpha = – \sqrt 2 .$
d] $\tan \alpha + \cot \alpha < 0$ và $\sin \alpha = \frac{1}{5}.$
a] $\cos \alpha = \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } = \frac{4}{5}$, $\tan \alpha = \frac{3}{4}$, $\cot \alpha = \frac{4}{3}.$ b] $\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$, $\tan \alpha = 2$, $\cot \alpha = \frac{1}{2}.$ c] $\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$, $\cos \alpha = – \frac{{\sqrt 6 }}{3}$, $\tan \alpha = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$ d] Ta có $\tan \alpha \cot \alpha = 1 > 0$ mà $\tan \alpha + \cot \alpha < 0$ suy ra $\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0.$
$\cot \alpha = – \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} – 1} $ $ = – 2\sqrt 6 $ $ \Rightarrow \tan \alpha = – \frac{1}{{2\sqrt 6 }}$, $\cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha $ $ = – \frac{{2\sqrt 6 }}{5}.$
Bài 2: a] Cho $\sin a = \frac{1}{3}$ với ${90^0} < a < {180^0}.$ Tính $B = \frac{{3\cot a + 2\tan a + 1}}{{\cot a + \tan a}}.$
b] Cho $\cot a = 5.$ Tính $D = 2{\cos ^2}a + 5\sin a\cos a + 1.$
a] Từ giả thiết suy ra: $\cos a = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$, $\tan a = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$, $\cot a = – 2\sqrt 2 $ $ \Rightarrow B = \frac{{26 – 2\sqrt 2 }}{9}.$ b] $\frac{D}{{{{\sin }^2}a}}$ $ = 2{\cot ^2}a + 5\cot a + \frac{1}{{{{\sin }^2}a}}$ $ \Rightarrow \left[ {{{\cot }^2}a + 1} \right]D$ $ = 3{\cot ^2}a + 5\cot a + 1.$
Suy ra $D = \frac{{101}}{{26}}.$
Bài 3: Biết $\tan x + \cot x = m.$ a] Tìm ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x.$
b] $\frac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}}.$
a] ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {m^2} – 2.$ b] ${\tan ^4}x + {\cot ^4}x$ $ = {\left[ {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right]^2} – 2$ $ = {\left[ {{m^2} – 2} \right]^2} – 2$ $ = {m^4} – 4{m^2} + 2.$
$ \Rightarrow \frac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}}$ $ = \frac{{\left[ {{m^2} – 2} \right]\left[ {{m^4} – 4{m^2} + 1} \right]}}{{{m^4} – 4{m^2} + 2}}.$
Bài 4: Cho $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{12}}{{25}}.$ Tính ${\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha .$
${[\sin \alpha + \cos \alpha ]^2} = 1 + \frac{{24}}{{25}}$ $ \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{7}{5}$ [do $\cos \alpha > 0$].
$ \Rightarrow {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha $ $ = [\sin \alpha + \cos \alpha ]$$\left[ {{{\sin }^2}\alpha – \sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right]$ $ = \frac{{91}}{{125}}.$