Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số [m] sao cho phương trình [2fleft[ {sin x - cos x} right] = m - 1] có hai nghiệm phân biệt trên khoảng [left[ { - frac{pi }{4};frac{{3pi }}{4}} right]]?/p 1">
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m\] sao cho phương trình \[2f\left[ {\sin x – \cos x} \right] = m – 1\] có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \[\left[ { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right]\]?
A. \[13.\]
B. \[12.\]
C. \[11.\]
D. \[21.\]
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \[t = \sin x – \cos x = \sqrt 2 \sin \left[ {x – \frac{\pi }{4}} \right]\].
adsense
Với \[x \in \left[ { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right]\] \[ \Rightarrow x – \frac{\pi }{4} \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\] \[ \Rightarrow t \in \left[ { – \sqrt 2;\sqrt 2 } \right]\].
Khi đó phương trình đã cho trở thành \[2f\left[ t \right] = m – 1\] \[ \Leftrightarrow f\left[ t \right] = \frac{{m – 1}}{2}\].\[\]
Với mỗi giá trị của \[{t_0} \in \left[ { – \sqrt 2;\sqrt 2 } \right]\] có duy nhất một giá trị \[{x_0} \in \left[ { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right]\] sao cho \[{t_0} = \sqrt 2 \sin \left[ {{x_0} – \frac{\pi }{4}} \right]\].
Do đó phương trình \[2f\left[ {\sin x – \cos x} \right] = m – 1\] có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \[\left[ { – \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right] \Leftrightarrow \] phương trình \[f\left[ t \right] = \frac{{m – 1}}{2}\]có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \[\left[ { – \sqrt 2;\sqrt 2 } \right]\].
Đáp án:
3
Giải thích các bước giải:
Phương trình \[a.\sin x + b.\cos x = c\] có nghiệm khi và chỉ khi \[{a^2} + {b^2} \ge {c^2}\]
Do đó, phương trình \[\sin x - 3\cos x = m\] có nghiệm khi và chỉ khi:
\[\begin{array}{l}
{1^2} + {\left[ { - 3} \right]^2} \ge {m^2}\\
\Leftrightarrow 10 \ge {m^2}\\
\Leftrightarrow {m^2} \le 10\\
\Leftrightarrow - \sqrt {10} \le m \le \sqrt {10}
\end{array}\]
Mặt khác, \[m \in {Z^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\]
Vậy có 3 giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có nghiệm.