DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức \[z\] thỏa mãn \[\left| {z + 1 3i} \right| = 3\sqrt 2 \] và \[{\left[ {z + 2i} \right]^2}\]là số thuần ảo?
A.\[1\].
B. \[2\].
C. \[3\].
D. \[4\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi số phức \[z\] cần tìm có dạng \[z\, = \,a\, + \,bi\,\,\left[ {a,\,b\, \in \,\mathbb{R}} \right].\] Khi đó ta có
+] \[\left| {z\, + 1 \,3i} \right|\, = \,3\sqrt 2 \, \Leftrightarrow \,\left| {a\, + 1 + \,\left[ {b\, \,3} \right]i} \right|\, = \,3\sqrt 2 \Leftrightarrow \,{\left[ {a + 1} \right]^2}\, + \,{\left[ {b\, \,3} \right]^2}\, = \,18\,\,\left[ 1 \right].\]
+] \[{\left[ {z\, + \,2i} \right]^2} = \,{\left[ {\,a\, + \left[ {b + 2} \right]i} \right]^2} = {a^2} {\left[ {b + 2} \right]^2} + 2a\left[ {b + 2} \right]i.\]
\[{\left[ {z + 2i} \right]^2}\] là số thuần ảo khi và chỉ khi \[{a^2}\, \,{\left[ {b\, + \,2} \right]^2}\, = \,0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b + 2\\a = \left[ {b + 2} \right]\end{array} \right..\]
Với \[a = b + 2\] thay vào \[\left[ 1 \right]\] ta được phương trình \[2{b^2} = 0 \Leftrightarrow b = 0 \Leftrightarrow a = 2\]. Tìm được \[z = 2\]
Với \[a = b 2\] thay vào \[\left[ 1 \right]\] ta được phương trình \[2{b^2} 4b 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1 + \sqrt 5 \\b = 1 \sqrt 5 \end{array} \right.\]. Tìm được \[\left[ \begin{array}{l}z = 3 \sqrt 5 + \left[ {1 + \sqrt 5 } \right]i\\z = 3 + \sqrt 5 + \left[ {1 \sqrt 5 } \right]i\end{array} \right.\]
Vậy có 3 số phức thỏa mãn bài toán.