Đây là bài thứ 19 of 23 trong series Phương pháp chứng minh hình học THCS
- Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song
- 8 cách chứng minh 2 đường thẳng song song
- 10 cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc
- 10 cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng
- 13 cách chứng minh hai góc bằng nhau
- 8 cách chứng minh tia Oz là tia phân giác của góc xÔy
- 7 cách chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB
- Phương pháp chứng minh các tam giác đặc biệt
- Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác
- Phương pháp chứng minh các tứ giác đặc biệt
- 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
- Phương pháp chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng
- 2 cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
- 4 cách chứng minh hai cung tròn bằng nhau
- 15 cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
- 7 cách chứng minh một đoạn thẳng bằng 1/2 đoạn thẳng khác
- 4 cách chứng minh một góc bằng nửa góc khác
- 5 cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
- Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng và ứng dụng
- Ví dụ cách chứng minh hai tam giác bằng nhau
- Cách chứng minh một điểm là trọng tâm, trực tâm của tam giác
- Chứng minh một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp tam giác
- Chứng minh các quan hệ không bằng nhau [cạnh – góc – cung]
Để chứng minh 2 tam giác đồng dạng thì các em cần phải nắm được lý thuyết hai tam giác đồng dạng và các cách chứng minh mà Toancap2.net đưa ra dưới đây.
Nhắc lại một ít lý thuyết về tam giác đồng dạng.
Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường :
- Phiếu hướng dẫn tự học Toán lớp 8 từ 30/3 tới 4/4
- Chuyên đề tam giác đồng dạng – Toán lớp 8
- Đề cương ôn tập HK1 môn Toán 8 THCS Mai Dịch 2019-2020
- Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào x – Toán lớp 8
- Đề cương ôn tập hè Toán lớp 8
– Trường hợp đồng dạng 1 : 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau [c – c – c]
xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :
=> ∆ABC ~ ∆DEF [c – c – c]
– Trường hợp đồng dạng 2 : 2 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau[c – g – c]
xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :
=> ∆ABC ~ ∆DEF [c – g – c]
– Trường hợp đồng dạng 3 : hai góc tương ứng bằng nhau[g – g]
xét ∆ABC và ∆DEF, ta có :
=> ∆ABC ~ ∆DEF [g – g]
II. Các định lí đồng dạng của hai tam giác vuông
1. Định lí 1 : [cạnh huyền – cạnh góc vuông]
Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
2. Định lí 2 : [hai cạnh góc
vuông]
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
3. Định lí 3: [ góc]
Nếu góc nhọn của tam giác này bằng góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
Mục lục
- 1 Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức :
- 2 Dạng 2 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet + hai đường thẳng song song:
- 3 Dạng 3 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau
Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức :
Bài toán 1 :
cho ∆ABC [AB < AC], có AD là đường phân giác trong. Ở miền ngoài ∆ABC vẽ tia Cx sao cho . Gọi I là giao điểm của Cx và AD. cmr :
a] ∆ADB đồng dạng ∆CDI.
b]
c] AD2 = AB.AC – BD.DC
Giải
[gt]
[đối đỉnh]
=> ∆ADB ~ ∆CDI
b] ]∆ABD và ∆AIC , ta có :
[∆ADB ~ ∆CDI]
[AD là phân giác]
=> ∆ABD ~ ∆AIC
=>
c]=> AD.AI = AB.AC [1]
mà : [∆ADB ~ ∆CDI ]
=> AD.DI = BD.CD [2]
từ [1] và [2] :
AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD[AI – DI ] = AD.AD = AD2
Bài toán 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH . Chứng minh các hệ thức :
a. AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC
b. AB2 +AC2 = BC2
c. AH2 = BH.CH
d. AH.BC = AB.AC
Giải.
là góc chung.
=> ∆ABC ~ ∆HAC [g – g]
=>
=> AC2 = CH.BC [1]
Cmtt : AB2 = BH.BC [2]
2. AB2 +AC2 = BC2
Từ [1] và [2], ta có :
AB2 +AC2 = BH.BC + CH.BC = [BH + CH]BC = BC2
3.AH2 = BH.CH :
Xét hai ∆HBA và ∆ HAC, ta có :
cùng phụ
=> ∆HBA ~ ∆HAC [g – g]
=>
=> AH2 = BH.CH
4. AH.BC = AB.AC :
Ta có : [∆ABC ~ ∆HAC]
=> AH.BC = AB.AC.
Dạng 2 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet + hai đường thẳng song song:
Bài toán :
Cho ∆ABC nhọn. kẻ đường cao BD và CE. vẽ các đường cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh
a] ∆ABD đồng dạng ∆AEG.
b] AD.AE = AB.AG = AC.AF
c] FG // BC
Giải
BD AC [BD là đường cao]
EG AC [EG là đường cao]
=> BD // EG
=> ∆ABD ~ ∆AGE
b] =>
=> AD.AE = AB.AG [1]
cmtt, ta được : AD.AE = AC.AF [2]
từ [1] và [2] suy ra :
AD.AE = AB.AG = AC.AF
c] xét ∆ABC, ta có :
AB.AG = AC.AF [cmt]
=> FG // BC [định lí đảo talet]
Dạng 3 : Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau
Bài toán:
Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh :
a] ∆HBE đồng dạng ∆HCE.
b] ∆HED đồng dạng ∆HBC và
c] cho biết BD = CD. Gọi M là giao điểm của AH và BC. chứng minh : DE vuông góc EM.
Giải
[gt]
[đối đỉnh]
=> ∆HBE ~ ∆HCD [g – g]
b] ∆HED và ∆HBC, ta có :
[∆HBE ~ ∆HCD]
=>
[đối đỉnh]
=> ∆HED ~ ∆HBC [c – g – c]
=> [1]
mà : Đường cao BD và CE cắt nhau tại H [gt]
=> H là trực tâm.
=> AH BC tại M.
=>
mặt khác :
=> [2]
từ [1] và [2] :
hay :
c] cmtt câu b, ta được : [3]
xét ∆BCD, ta có :
DB = DC [gt]
=> ∆BCD cân tại D
=>
mà : [∆HED ~ ∆HBC]
=>
mà :
[cmt]
=>
hay :
=> ED EM.