Toạ độ trọng tâm của tam giác. Trong không gian $Oxyz$ cho tam giác $ABC$ với $A\left[ {{x_A};{y_A};{z_A}} \right],B\left[ {{x_B};{y_B};{z_B}} \right],C\left[ {{x_C},{y_C},{z_C}} \right]$. Khi đó toạ độ trọng tâm $G$ được xác định theo công thức $$\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {z_C}}}{3}\\ {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\ {z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} \end{array} \right.$$
Ví dụ. Trong không gian $Oxyz$ cho tam giác $ABC$ với $A\left[ {1;2;3} \right],B\left[ {2;3;1} \right],C\left[ {4;-4;1} \right].$ Hãy xác định toạ độ trong tâm $G$. Chứng minh đây là tam giác vuông đồng thời cho biết diện tích của tam giác.
Giải. Toạ độ trong tâm $G$ của tam giác $$\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{1 + 2 + 4}}{3} = \frac{7}{3}\\ {y_G} = \frac{{2 + 3 - 4}}{3} = \frac{1}{3}\\ {z_G} = \frac{{3 + 1 + 1}}{3} = \frac{5}{3} \end{array} \right. \Rightarrow G\left[ {\frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3}} \right]$$Bài tập
[nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán]
Với Cách tìm tọa độ của trọng tâm tam giác cực hay, chi tiết Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm tọa độ của trọng tâm tam giác từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.
Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác:
Cho tam giác ABC có A[xA; yA], B[xB; yB], C[xC; yC]. Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A[2; 0], B[0; 4], C[1; 3].
a, Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b, Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
a, Ta có:
Do
Vậy A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b, Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra tọa độ của G là:
Vậy tọa độ trọng tâm tam giác ABC là G [1;
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác DEF với tọa độ ba điểm D[-4;1], E[2; 4] và F[2; -2].
a, Tìm tọa độ trọng tâm H của tam giác DEF.
b, Tìm tọa độ điểm K sao cho F là trọng tâm tam giác DEK.
Hướng dẫn giải:
a, Tọa độ trọng tâm H của tam giác DEF là
b, Gọi tọa độ K[xK; yK]
Vì F là trọng tâm tam giác DEK nên ta có:
Thay số ta được:
Ví dụ 3: Tam giác ABC có C[-2; -4], trọng tâm G[0; 4], trung điểm BC là M[2; 0]. Tọa độ của đỉnh A và đỉnh B là:
A. A[4; 12], B[4; 6]
B. A[-4; -12], B[6; 4]
C. A[-4; 12], B[6; 4]
D. A[4; -12], B[-6; 4]
Hướng dẫn giải:
Vì M là trung điểm BC nên
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
Đáp án C
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[1; -1], B[5; -3] và C thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tọa độ của điểm C là:
A. C[0; 4]
B. C[0; 2]
C. C[2; 0]
D. C[2; 4]
Hướng dẫn giải:
Ta có:
G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
Vậy C[0; 4].
Đáp án A
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M[2; 0] , N[2; 2], P[-1; 3] lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Tọa độ điểm B là:
A. B[1; 1]
B. B[1; -1]
C. B[-1;1]
D. B[-1; -1]
Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ của A[xA; yA], B[xB; yB], C[xC; yC]
M là trung điểm của BC nên ta có:
N là trung điểm của AC nên ta có:
P là trung điểm của AB nên ta có:
Từ [1], [2] và [3], cộng vế theo vế ta được:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Suy ra tọa độ G:
Ta có:
Suy ra:
Đáp án C