Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] có \[AB > AC.\] Trên cạnh \[AB\] lấy một điểm \[D\] sao cho \[AD = AC.\] Vẽ đường tròn tâm \[O\] ngoại tiếp tam giác \[DBC.\] Từ \[O\] lần lượt hạ các đường thẳng vuông góc \[OH,\] \[OK\] xuống \[BC\] và \[BD\] [\[H \in BC,K \in BD\]].
\[a]\] Chứng minh rằng \[OH < OK.\]
\[b]\] So sánh hai cung nhỏ \[BD\] và \[BC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Trong một tam giác, độ dài một cạnh lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.
+] Trong một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+] Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Trong \[ABC\] ta có:
\[BC > AB AC\] [bất đẳng thức tam giác]
Mà \[AC = AD \;\; [gt]\]
\[ \Rightarrow BC > AB AD\]
Hay \[BC > BD\]
Trong \[[O]\] ta có: \[BC > BD\]
\[ \Rightarrow OH < OK\] [dây lớn hơn gần tâm hơn]
\[b]\] Ta có dây cung \[BC > BD\]
Suy ra: \[\overparen{BC}\] > \[\overparen{BD}\] [dây lớn hơn căng cung lớn hơn].