Đề bài
Trên đường tròn [O ; R] vẽ dây cung AB sao cho số đo cung lớn AB gấp ba lần số đo cung nhỏ AB .
a] Tính số đo và chiều dài các cung đó.
b] Tính các góc của tam giác OAB và khoảng cách từ O đến dây AB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Tính số đo cung nhỏ AB và cung lớn AB, sử dụng công thức tính chiều dài cung n0 là \[l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\].
b] Chứng minh tam giác OAB vuông cân tại O, tính các góc của tam giác. Áp dụng định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông tính khoảng cách từ O đến dây AB.
Lời giải chi tiết
a] Ta có: Số đo cung lớn AB = 3 số đo cung nhỏ AB.
Mà Số đo cung lớn AB + số đo cung nhỏ AB = 3600
=>3 số đo cung nhỏ AB + số đo cung nhỏ AB = 3600
=> 4 số đo cung nhỏ AB = 3600
=> Số đo cung nhỏ AB\[ = \dfrac{1}{4}{.360^0} = {90^0} \Rightarrow \] Số đo cung lớn AB \[ = {3.90^0} = {270^0}\].
Chiều dài cung nhỏ AB là \[l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}} = \dfrac{{\pi .R.90}}{{180}} = \dfrac{{\pi R}}{2}\]
Chiều dài cung lớn AB là \[l' = \dfrac{{\pi Rn'}}{{180}} = \dfrac{{\pi R.270}}{{180}} = \dfrac{{3\pi R}}{2}\]
b] Ta có: \[\widehat {AOB} = sd\,cung\,AB = {90^0}\] [số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn] \[ \Rightarrow \Delta OAB\] vuông tại O.
Lại có \[OA = OB = R \Rightarrow \Delta OAB\] vuông cân tại O \[ \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA} = {45^0}\].
Gọi H là trung điểm của AB \[ \Rightarrow OH \bot AB\] [quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung].
\[ \Rightarrow \] Khoảng cách từ O đến dây AB chính bằng OH.
Xét tam giác vuông OAB có: \[AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \sqrt {{R^2} + {R^2}}\]\[\, = \sqrt {2{R^2}} = R\sqrt 2 \]
\[ \Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\] [định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông].
Vậy khoảng cách từ O đến dây AB bằng \[\dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\].